বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে ৫০ কম হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক। 
সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ = ঐ সংখ্যা থেকে ৫০ কম

অর্থাৎ (২/৩) ক = ক - ৫০
⇒ ৫০ = ক - (২/৩)ক  
⇒ ৫০ = (৩ক - ২ক)/৩
⇒ ৫০ = ক/৩
⇒ ক = ৫০ × ৩ 
ক = ১৫০

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

মনে করি, প্রথম সংখ্যাটি (ক-১) এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি ক।
শর্তমতে, ক^২ - (ক-১)^২ = ৪৭
বা, ক^২ - (ক^২ - ২ক + ১) = ৪৭
বা, ক^২ - ক^২ + ২ক - ১ = ৪৭
বা, ২ক = ৪৮
বা, ক = ২৪
সুতরাং প্রথম সংখ্যাটি = ২৪ -‌ ১ = ২৩

ধরি,
m = 2,
n = 3 হলে,
2nm = 2.3.2
= 12 যা জোড়সংখ্যা
আবার,
m = 3,
n = 2 হলে,
2nm = 12 যা জোড়সংখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

সমাধান:
প্রতিটি সংখ্যাকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:

ক) ২/৫ = ০.৪
খ) ০.৩ = ০.৩
গ) √০.৩  = ০.৫৪৭৭ (প্রায়)
ঘ) ১/৩ = ০.৩৩৩৩ (প্রায়)

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো (খ) ০.৩

রং দ্বারা বাঁশটির আবৃত অংশ = (২/৫ + ১/৪ + ১/৩) অংশ
= (২৪ + ১৫ + ২০)/৬০ অংশ
= ৫৯/৬০ অংশ।
প্রশ্নমতে,
(১ - ৫৯/৬০) অংশ = ৬ মিটার
বা, ১/৬০ অংশ = ৬ মিটার
বা, ১ মিটার = ৬×৬০ = ৩৬০ মিটার।

প্রশ্ন: n যদি জোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হতে পারবে না?

সমাধান:
ধরি,
n = 2 (জোড় সংখ্যা)
∴ n +  3 = 2 + 3 = 5; যা বিজোড় সংখ্যা

2(n + 3) = 2 × (2 + 3) = 10; যা জোড় সংখ্যা

3(n + 1) = 3 × (2 + 1) = 9; যা বিজোড় সংখ্যা

n² - 1 = 2² - 1 = 3 যা বিজোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ৪, ৮, ১২ ও ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৪, ৮, ১২ ও ২০ এর ল.সা.গু = ১২০ 

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ১২০ - ১
= ১১৯

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১১৯

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কত?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা হলো যে সংখ্যাগুলোর মাত্র দুইটি গুণনীয়ক থাকে ১ এবং সংখ্যা নিজে।

১ থেকে ২৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা তালিকা:
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩

এগুলো মোট ৯টি। 

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার বর্গ তার বর্গমূল অপেক্ষা ৭৮ বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এক্ষেত্রে অপশন টেস্ট করা শ্রেয়।

৯ সংখ্যাটির বর্গ = ৯২ = ৮১

৯ এর বর্গমূল = √৯ = ৩

বর্গ ও বর্গমূলের পার্থক্য = ৮১ - ৩ = ৭৮

অর্থাৎ সংখ্যাটি = ৯ 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ১০৮ এবং ৯। যদি একটি সংখ্যা ৩৬ হয়, তাহলে অন্য সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু. = ১০৮
গ.সা.গু. = ৯
একটি সংখ্যা = ৩৬
ধর, অপর সংখ্যা = ক 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যা গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
৩৬ × ক = ৯ × ১০৮
⇒ ৩৬ × ক = ৯৭২
⇒ ক = ৯৭২/৩৬
∴ ক = ২৭

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি ২৭। 

এখানে,
১৬১ - ৫ = ১৫৬
২২৮ - ৭ = ২২১
৪০২ - ১২ = ৩৯০
১৫৬, ২২১, ৩৯০ এর গ.সা.গু. = ১৩
∴ ১৩ জনের মধ্যে ভাগ করে দিতে হবে।

অর্থাৎ, সংখ্যাটির (১০০ - ৪০)% = ৬০% = ৩০
∴  সংখ্যাটি, ১০০% = (৩০/৬০%) × ১০০% = ৫০

৫ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটি ১৫ দ্বারা বিভাজ্য এবং ১৫ এর গুণিতক।
৫ ও ৯৫ এর মধ্যে ১৫ এর গুণিতক সংখ্যাগুলো হচ্ছে- ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫ এবং ৯০।
∴ নির্ণেয় সংখ্যা ৬ টি।

৭| ৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২
   ২| ১, ২, ৩, ৫, ৬
     ৩| ১, ১, ৩, ৫, ৩
          ১, ১, ১, ৫, ১
∴ ল. সা. গু. = ৭ × ২ × ৩ × ৫ = ২১০
অর্থাৎ ২১০ সে. = ৩ মিনিট ৩০ সে.

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ীর কাছে ১২০টি আম, ১৫০টি লিচু এবং ১৮০টি কমলা আছে। সে সর্বোচ্চ কতজন ক্রেতার কাছে প্রত্যেককে সমান সংখ্যক করে তিন ধরনের ফলই দিতে পারবে?

সমাধান: 
যখন প্রশ্নে 'সর্বোচ্চ' কতজনের মধ্যে কোনো কিছু 'সমানভাবে' ভাগ করে দেওয়ার কথা বলা হয়, তখন প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) বের করতে হয়।

এখানে ফলের সংখ্যাগুলো হলো ১২০, ১৫০ এবং ১৮০।
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
১৫০ = ২ × ৩ × ৫ × ৫
১৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
এখানে, সাধারণ উৎপাদকগুলো হলো ২, ৩ এবং ৫
∴ গ.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০

সুতরাং, সে সর্বোচ্চ ৩০জন ক্রেতার কাছে প্রত্যেককে সমান সংখ্যক করে তিন ধরনের ফলই দিতে পারবে। 

এখানে, ৩, ৩, ৯ লবগুলোর ল.সা.গু = ৯।
এবং ৮, ৪, ৪ হরগুলোর গ.সা.গু = ৪
আমরা জানি, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলোর গ.সা.গু।
সুতরাং ৩/৮, ৩/৪, ৯/৪ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৯/৪
= ৯/৪

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৪২ থেকে যত বড়, ৮৩০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৭৪২ = ৮৩০ - ক
বা, ক + ক = ৮৩০ + ৭৪২
বা, ২ক = ১৫৭২
বা, ক = ১৫৭২/২
∴ ক = ৭৮৬

অতএব, সংখ্যাটি ৭৮৬

প্রশ্ন: ২/৩ এবং ৫/৬ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 
লব ২ ও ৫ এর ল.সা.গু = ১০
হর ৩ ও ৬ এর গ.সা.গু = ৩

∴ ২/৩ এবং ৫/৬ এর ল.সা.গু = ১০/৩ । 

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৭১। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি = n এবং n + ১
∴ তাদের বর্গের অন্তর = (n + ১)^২ - n^২

প্রশ্নমতে,
(n + ১)^২ - n^২ = ৭১
⇒ (n^২ + ২n + ১) - n^২ = ৭১
⇒ ২n + ১ = ৭১
⇒ ২n = ৭১ - ১
⇒ ২n = ৭০
⇒ n = ৩৫

অতএব, সংখ্যা দুটি = ৩৫ এবং ৩৬

৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, এর ল.সা.গু. = ১৮০
∴ লঘষ্ঠি সংখ্যাটি = ১৮০ + ২
= ১৮২

প্রশ্ন: ৪০ ও ৯০ এর মধ্যে অবস্থিত ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা দুটির অন্তর কত?

সমাধান:
৪০ এবং ৯০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৪১
আবার,
৪০ এবং ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৮৯

∴ সংখ্যা দুটির অন্তর = (৮৯ - ৪১)
= ৪৮

প্রশ্ন: সামি একটি শ্রেণির সামনে থেকে সপ্তম এবং পেছন থেকে ২০ তম হলে ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
সামি শ্রেণির সামনে থেকে সপ্তম অর্থাৎ সামির সামনে আছে ৬ জন
সামি শ্রেণির পিছন থেকে কুড়িতম অর্থাৎ সামির পিছনে আছে ১৯ জন

∴ ঐ শ্রেণিতে মোট শিক্ষার্থী আছে (৬ + ১ + ১৯) জন 
= ২৬ জন

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে ৪ যোগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে,
(x/৩) + ৪ = x/২
বা, (x/২) - (x/৩) = ৪
বা, (৩x - ২x)/৬ = ৪
বা, x/৬ = ৪ 
∴ x = ২৪

∴ সংখ্যাটি = ২৪ ।

৫/৬= ০.৮৩
৩/৪= ০.৭৫
৮/১১= ০.৭২

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৩৬০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ৮০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৩৬০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৮০

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩৬০০ = ৮০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৩৬০০/৮০
∴ গ.সা.গু = ৪৫

প্রশ্ন: কমপক্ষে কতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৭২০ = ৮ × ৯ × ১০ (৩টি)
৭২০ = ২ × ৩ × ৪ × ৫ × ৬ (৫টি)
৭ × ৮ × ৯ × ১০= ৫০৪০ , যা ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য। 
৮ × ৯ × ১০ × ১১ = ৭৯২০, যা ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য। 

এটা সঠিক উত্তর মূলত ৩টি।
অপশনে যেহেতু ৩ নেই তাই সঠিক উত্তর হিসেবে ৪ গ্রহণযোগ্য।

∴ কমপক্ষে ৪ টি পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই ৭২০ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

ধরি,
সংখ্যাটি x.
∴ (3 - x)/(5 - x) = 4/5
বা, 15 - 5x = 20 - 4x
বা, -x = 5
∴ x = -5