বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা নির্ণয় করুন যাদের বর্গের অন্তর ৪৯?

সমাধান:
“বর্গের অন্তর ৪৯” মানে হলো দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের মধ্যে ব্যবধান = ৪৯

ধরি,
দুইটি ক্রমিক সংখ্যা হলো ক এবং ক+১
তাদের বর্গের পার্থক্য:
(ক + ১)^২ - ক^২
= ক^২ +২ক + ১ - ক^২
= ২ক + ১ 

আমরা জানি,
২ক + ১ = ৪৯
২ক = ৪৮  
⇒ ক = ২৪
তাহলে,
ক + ১ = ২৪ + ১ = ২৫ 

∴সংখ্যা দুইটি = ২৪, ২৫  

0.02 × 0.4 × 0.08
= 2/100 × 4/10 × 8/100
= 64/100000 = 0.00064

প্রশ্ন: √৩ এবং ৫ এর মধ্যে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান: 
পূর্ণসংখ্যা: পূর্ণসংখ্যা হলো এমন সব সংখ্যা যার কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক অংশ নেই। এতে ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য অন্তর্ভুক্ত থাকে। পূর্ণসংখ্যার সেট অসীম এবং এটিকে সাধারণত 'Z' অক্ষর দিয়ে বোঝানো হয়। 
যেমন, ....- ২, - ১, ০ , ১, ২, ......

এখন, 
√৩ = ১.৭৩২ 

∴ ১.৭৩২ < পূর্ণসংখ্যা < ৫ 
পূর্ণসংখ্যা তালিকা = ২, ৩, ৪ 
∴ মোট পূর্ণসংখ্যা = ৩টি 

ক ও খ এর মানের সমষ্টি = ২ × ৯ = ১৮
এবং গ = ১২।
সুতরাং ক, খ এবং গ এর মানের সমষ্টি = ১৮ + ১২
= ৩০
সুতরাং তাদের গড় = ৩০/৩ = ১০

প্রশ্ন: যে সংখ্যা ৫৪২ এর চেয়ে যতটা বড়, ৬৩০ এর চেয়ে ততটাই ছোট, সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
ক - ৫৪২ = ৬৩০ - ক 
বা, ক + ক = ৬৩০ + ৫৪২
বা, ২ক = ১১৭২
বা, ক = ১১৭২/২
∴ ক = ৫৮৬

∴ সংখ্যাটি ৫৮৬ ।

০.০০০০১/(০.০১ × ০.১ × ০.০০১ × ১.০)
= ১০^-৫/১০^-৬
= ১০^-৫+৬
= ১০^১
= ১০

২৩ থেকে ৪৭ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৭টি।
সংখ্যাগুলো হলো: ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ ও ৪৭।

x + y = 18 এবং z = 12
∴ x, y এবং z এর মানের গড় = 30/3
= 10

প্রশ্ন: দুইটি রাশির ল.সাগু. সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গুর ১২ গুণ। গ.সা.গু. ও ল.সা.গুর সমষ্টি ৮০৬। যদি একটি সংখ্যা ১৮৬ হয় তাহলে অন্য সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গ.সা.গু. = ক
∴ ল.সা.গু. = ১২ক

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ক = ৮০৬
⇒ ১৩ক = ৮০৬
⇒ ক = ৮০৬/১৩
⇒ ক = ৬২ 

∴ গ.সা.গু. = ৬২
এবং ল.সা.গু. = ১২ × ৬২ = ৭৪৪

এখন,
১৮৬ × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু. × গ.সা.গু
⇒ অপর সংখ্যা = (৬২ × ৭৪৪)/১৮৬
⇒ অপর সংখ্যা = ২৪৮

প্রশ্ন: পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১০০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
পাঁচটি ক্রমিক সংখ্যা হলো ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪)।

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) = ১০০
⇒ ৫ক + ১০ = ১০০
⇒ ৫ক = ১০০ - ১০
⇒ ৫ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/৫
⇒ ক = ১৮

∴ পাঁচটি সংখ্যা হলো = ১৮, ১৯, ২০, ২১, ২২।

সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যা = ২২

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ১৫ থেকে যত বেশি ৪৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ১৫ = ৪৫ - x
বা, x + x = ৪৫ + ১৫
বা, ২x = ৬০
বা, x = ৬০/২
∴ x = ৩০

∴ সংখ্যাটি = ৩০ ।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৪, ৭৭ ও ৯০ কে  ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫ ও ৬ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৬৪, ৭৭ ও ৯০ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫ ও ৬ অবশিষ্ট থাকে সেহেতু ,
৬৪ - ৪ = ৬০ 
৭৭ - ৫ = ৭২
৯০ - ৬ = ৮৪

এখন, ৬০, ৭২ ও ৮৪ এর গ.সা.গু হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা। 
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫ 
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 
৮৪ = ২ × ২ × ৩ × ৭

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ = ১২

২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল. সা. গু = ৬০,
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করলে ৩৯ অবশিষ্ট থাকে
∴ যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করতে হবে = (৬০ - ৩৯) = ২১

২৩৭÷৩ = ৭৯
∴ ক্রমিক সংখ্যাত্রয় ৭৮, ৭৯,৮০
∴ জোড় সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = ৭৮+৮০
= ১৫৮

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান:
৩/১৬ = ০.১৮৭৫
৪/১৯ = ০.২১০৫
২/৯ = ০.২২২২
৩/১২ = ০.২৫

∴ সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ হলো ৩/১৬

প্রশ্ন: কোনটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলো দশমিক আকারে রূপান্তর:
২/১২ = ০.১৬৬৭
৩/১১ ≈ ০.২৭২৭ 
৪/১৫ ≈ ০.২৬৬৭
২/১৩ ≈ ০.১৫৩৮

∴ সবচেয়ে ছোট ভগ্নাংশ হলো ২/১৩

ধরি, অপর সংখ্যাটি = y

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুনফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ৮০ × y = ১৬০ × ১২
বা, y = (১৬০ × ১২)/৮০
∴ y = ২৪
সুতরাং অপর সংখ্যাটি = ২৪

ধরি, ছাত্রসংখ্যা = ক
প্রশ্নমতে, ক^২ = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১

প্রশ্ন: পরপর আটটি সংখ্যার প্রথম ৪টির যোগফল ৪৪৬ হলে, শেষ ৪টির যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি,
পরপর আটটি সংখ্যা = ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪), (ক + ৫), (ক + ৬), (ক + ৭)

∴ প্রথম চারটির যোগফল = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩)
= ৪ক + ৬

শেষ চারটির যোগফল = (ক + ৪) + (ক + ৫) + (ক + ৬) + (ক + ৭)
= ৪ক + ২২

শর্তমতে,
৪ক + ৬ = ৪৪৬
⇒ ৪ক = ৪৪৬ - ৬
⇒ ৪ক = ৪৪০
∴ ক = ১১০

সুতরাং, শেষ চারটির যোগফল = (৪ × ১১০) + ২২
= ৪৪০ + ২২
= ৪৬২

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ৪ ঘণ্টা, ৬ ঘণ্টা ও ৯ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকে। ২ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪, ৬ ও ৯ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩
= ৪ × ৯
= ৩৬
অর্থাৎ, তিনটি ঘণ্টা ৩৬ ঘণ্টা পরপর একত্রে বাজবে।

এখন,
২ দিন = ২ × ২৪ = ৪৮ ঘণ্টা।
∴ ২ দিন বা ৪৮ ঘণ্টায় বাজবে = ৪৮/৩৬ = ১ (ভাগশেষ ১২ থাকবে)
কিন্তু শুরুতে একবার একত্রে বাজে (সময় = 0:00),
তারপর ৩৬ ঘণ্টা পর আবার বাজে।

∴ ২ দিনে তারা একত্রে বাজবে মোট ২ বার।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল ১৫। লব ৪ বাড়ালে এবং হর ৫ কমালে ভগ্নাংশের মান হয় ৩/৪। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব = ক 
ভগ্নাংশের হর = ১৫ - ক 

ভগ্নাংশটি =  ক/(১৫ - ক)

প্রশ্নমতে, 
(ক + ৪)/(১৫ - ক - ৫) = ৩/৪
⇒ (ক + ৪)/(১০ - ক) = ৩/৪
⇒ ৪ক + ১৬ = ৩০ - ৩ক  
⇒ ৪ক + ৩ক = ৩০ - ১৬ 
⇒ ৭ক = ১৪ 
∴ ক = ২ 

∴ ভগ্নাংশটি = ২/(১৫ - ২) = ২/১৩ 

ধরি,
সংখ্যা দুটি, x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 47
বা, x² + 2x + 1 - x² = 47
বা, 2x + 1 = 47
বা, 2x = 46
বা, x = 46/2
= 23
এবং অপর সংখ্যা (x + 1) = 23 + 1
= 24

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৯ এবং এদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?
 
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৪x এবং ৯x

∴ ৪x এবং ৯x এর ল.সা.গু = ৩৬x

প্রশ্নমতে,
৩৬x = ৩৬০
⇒ x = ৩৬০ ÷ ৩৬
⇒ x = ১০

∴ ১ম সংখ্যাটি = ৪x
= ৪ × ১০
= ৪০

∴ ২য় সংখ্যাটি = ৯x
= ৯ × ১০
= ৯০

ধরি, সংখ্যাটি x
x এর ১/২ + ৬ = x এর ২/৩
⇒ x/২ + ৬ = ২x/৩
⇒ ২x/৩ - x/২ = ৬
⇒ (৪x - ৩x)/৬ = ৬
∴ x = ৩৬

২/৩ = ০.৬৭
৩৩/৫০ = ০.৬৬
৮/১১ = ০.৭৩
৩/৫ = ০.৬০
১১/১৭ = ০.৬৫
অর্থাৎ, ৮/১১, ২/৩ এর চেয়ে বড়

প্রশ্ন: Q-কে যদি ১৮ এবং ১৬ দিয়ে ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ যথাক্রমে ৪ এবং ১০ হয়। Q -এর মান কত হতে পারে?

সমাধান:
ধরি
উভয় ক্ষেত্রে ভাগফল = ক
এখন
Q = ১৮ ক + ৪
আবার
Q = ১৬ক + ১০

সুতরাং, 
⇒ ১৮ ক + ৪ = ১৬ক + ১০
⇒ ১৮ক - ১৬ক = ১০ - ৪
⇒ ২ক = ৬
∴ ক = ৩

∴ Q এর মান = ১৮ × ৩ + ৪ 
= ৫৮

১ম রাশি = x³ + x²y
= x²(x + y)
২য় রাশি = x²y - xy²
= xy(x - y)
∴ ল.সা.গু. = x²y(x + y)(x - y)
= x²y(x² - y²)

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 20, 28, 40 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 9 অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
12, 20, 28, 40 এর ল. সা. গু এর সাথে 9 যোগ করলে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

12 = 2²× 3
20 = 2² × 5
28 = 2² × 7
40 = 2³ × 5

2 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2³
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3¹
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 5¹
7 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 7¹
ল. সা. গু = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840

∴ সংখ্যাটি = 840 + 9 = 849

প্রশ্ন: ৪৩২১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৩৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩৪) ৪৩২১ (১২ 
       ৩৪  
_____________
         ৯২
         ৬৮ 
______________
           ২৪১ 
           ২৩৮
______________ 
                ৩ 
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৪ - ৩ = ৩১  

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ হলে সংখ্যাগুলোকে সহমৌলিক সংখ্যা বলে।

২৭ এর গুণনীয়কগুলো হলো - ১, ৩, ৯, ২৭
৫৪ এর গুণনীয়কগুলো হলো - ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮, ২৭, ৫৪

৫২ এর গুণনীয়কগুলো হলো - ১, ২, ৪, ১৩, ২৬, ৫২
৯৭ এর গুণনীয়কগুলো হলো - ১, ৯৭

৫২ এবং ৯৭ সংখ্যা দুইটিতে ১ ছাড়া সাধারণ গুণনীয়ক নেই তাই সংখ্যা দুইটি সহমৌলিক।

৬৩ এর গুণনীয়কগুলো হলো - ১, ৩, ৭, ৯, ২১, ৬৩
৯১ এর গুণনীয়কগুলো হলো - ১, ৭, ১৩, ৯১

১৮৯ এর গুণনীয়কগুলো হলো - ১, ৩, ৭, ৯, ২৭, ৬৩, ১৮৯
২১০ এর গুণনীয়ক গুলো হলো - ১, ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ১০, ১৪, ১৫, ২১, ৩০, ৩৫, ৪২, ৭০, ১০৫, ২১০

প্রশ্ন: পরীক্ষায় রিফাতের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৬৮, ৭২ ও ৮৩। চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৭৫ হয়?

সমাধান:
ধরি, চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ক

প্রশ্নমতে,
(৬৮ + ৭২ + ৮৩ + ক)/৪ = ৭৫
বা, (২২৩ + ক)/৪ = ৭৫
বা, ২২৩ + ক = ৭৫ × ৪
বা, ২২৩ + ক = ৩০০
বা, ক = ৩০০ - ২২৩
∴ ক = ৭৭

∴ চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৭৭

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 114 হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2) এবং (x + 3)

প্রশ্নমতে,
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 114
⇒ 4x + 6 = 114
⇒ 4x = 114 - 6
⇒ 4x = 108
⇒ x = 108/4
⇒ x = 27

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো 27

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = 27 + 3 = 30

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় ভাগ করতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
তিনটি কাঠের টুকরো যথাক্রমে, ১৪৩ মি, ৭৮ মি এবং ১১৭ মি।

এখন, 
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
১৪৩ = ১৩ × ১১ 
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩  

∴  গ.সা.গু হল ১৩ 

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হল ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব হর অপেক্ষা ৩ কম। যদি লব ও হর উভয়ের সাথে ২ যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটির মান ১/২ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
লব x এবং হর  y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

১ম শর্ত, 
x = y - ৩
∴ y = x + ৩ ..........(১)

২য় শর্ত, 
(x + ২)/(y + ২) = ১/২ 
⇒ ২x + ৪ = y + ২
⇒ ২x + ৪ = x + ৩ + ২ 
⇒ x = ৫ - ৪ 
∴ x = ১ 

(১) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই, 
y = ১ + ৩
∴ y = ৪ 

∴ ভগ্নাংশটি = x/y = ১/৪