বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
যেহেতু √৬২৫ = ২৫
সুতরাং √৬২৫ একটি মূলদ সংখ্যা।

ল.সা.গু. = (লবগুলোর ল.সা.গু.)/(হরগুলোর গ.সা.গু.)
= ({২, ৩, ২} এর ল.সা.গু.)/({৫, ৫, ৩}এর গ.সা.গু.)
= ৬/১
= ৬

প্রশ্ন: 2n + 1 সর্বদা মৌলিক সংখ্যা না হলে, n এর ক্ষুদ্রতম মান কত? (যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা)  

সমাধান:
এখানে 
n স্বাভাবিক সংখ্যা
⇒ n = 1, 2, 3,….........

n = 1 হলে: 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3 (মৌলিক) 
n = 2 হলে: 2n + 1 = 2(2) + 1 = 5(মৌলিক)
n = 3 হলে: 2n + 1 = 2(3) + 1 = 7 (মৌলিক)
n = 4 হলে: 2n + 1 = 2(4) + 1 = 9(মৌলিক নয়) 

n-এর ক্ষুদ্রতম মান = 4

প্রশ্ন: ১ ÷ (৮/৯){(৫/৮) + (৩/৮)} = কত ?

সমাধান: 
১ ÷ (৮/৯){(৫/৮) + (৩/৮)} 
= ১ ÷ (৮/৯){(৫ + ৩)/৮}
= ১ ÷ (৮/৯)×(৮/৮)
= ১  ÷ (৮/৯)
= ১ × (৯/৮)
= ৯/৮

প্রশ্ন: যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে যোগফল কী হব? 

সমাধান:
মনে করি, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা যথাক্রমে x, x + 1, x + 2, x + 3
ক্রমিক সংখ্যা চারটির গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে পাওয়া যায়,
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1
= x(x + 3){(x + 1)(x + 2)} + 1
= (x² + 3x)(x² + 3x + 2) + 1

ধরি, 
x² + 3x = a

প্রদত্ত রাশি, 
a(a + 2) + 1
= a² + 2a + 1
= (a + 1)²
= (x² + 3x + 1)² ; [a এর মান বসিয়ে]
যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সুতরাং যে কোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে 1 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি Q একটি মৌলিক সংখ্যা হয়  তাহলে √Q কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

Back Solving Method/Option Test:
18+9 = 27 ≠ 30
10+3 = 13 ≠ 30
63+3= 66 ≠ 30
16+7 = 23 ≠ 30
অপশন গুলোর কোনটিই প্রশ্নের দ্বিতীয় শর্ত মানছে না। তাই সঠিক উত্তর কোনটিই নয়।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ৪৪০ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম জোড় সংখ্যা = ক
∴ দ্বিতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ২
∴ তৃতীয় ক্রমিক জোড় সংখ্যা = ক + ৪

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ২)^২ + (ক + ৪)^২ = ৪৪০
⇒ ক^২ + ক^২ + ৪ক + ৪ + ক^২ + ৮ক + ১৬ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক + ২০ = ৪৪০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক = ৪২০
⇒ ৩ক^২ + ১২ক - ৪২০ = ০
⇒ ক^২ + ৪ক - ১৪০ = ০
⇒ ক^২ + ১৪ক - ১০ক - ১৪০ = ০
⇒ ক(ক + ১৪) - ১০(ক + ১৪) = ০
⇒ (ক + ১৪)(ক - ১০) = ০

∴ ক = ১০ (যেহেতু ক = - ১৪ ঋণাত্মক, তাই গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ প্রথম জোড় সংখ্যা = ১০
∴ দ্বিতীয় জোড় সংখ্যা = ১২
∴ তৃতীয় জোড় সংখ্যা = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১৪

অতএব, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ১৪

√8/2 = 2√2/2 = √2 যা অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২১ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

শর্তমতে, 
(ক/২) + ৬ = ২ক - ২১ 
⇒ (ক + ১২)/২ = ২ক - ২১ 
⇒ ক + ১২ = ২ × (২ক - ২১) 
⇒ ক + ১২ = ৪ক - ৪২ 
⇒ ৪ক - ক = ১২ + ৪২ 
⇒ ৩ক = ৫৪ 
⇒ ক = ৫৪/৩ 
∴ ক = ১৮ 

∴ সংখ্যাটি = ১৮

প্রশ্ন: ৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতকের গড় কত?

সমাধান:
৫ এর প্রথম পাচঁটি বিজোড় গুণিতক = ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫
∴ সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫ + ১৫ + ২৫ + ৩৫ + ৪৫ 
= ১২৫

∴ নির্ণেয় গড় = ১২৫/৫
= ২৫

৭/৯ = ০.৭৮
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৯ = ০.৪৪
৯/১৩ = ০.৬৯
সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশ = ৭/৯

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ১৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ৯৬০ হলে তাদের  ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = ক 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ১৫ক 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ১৫ক × ক = ৯৬০
⇒  ১৫ক^২ = ৯৬০ 
⇒  ক^২ = ৬৪  
⇒ ক^২ = ৮^২ 
∴ ক = ৮ 

∴ ল.সা.গু = ১৫ × ৮ = ১২০ 

প্রশ্ন: ৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যা = ৮৪২০
৪, ২, ৮, ০ অংকগুলো দ্বারা গঠিত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৮

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গড় = (৮৪২০ + ২০৪৮)/২
= ১০৪৬৮/২
= ৫২৩৪

১/২ = ০.৫
২/৩ = ০.৬৭
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৫ = ০.৮০
সুতরাং ৪/৫ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়।

Sourov's monthly income = (2,34,000)/12 = Tk 19,500.

Jashim's monthly income = (3/2)×19,500 = Tk 29,250.

Gourob's monthly income = (2×29,250) = Tk 58,500.

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 1/3 সংখ্যাটির 1/5 অপেক্ষা 4 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x/3 = (x/5) + 4
বা, x/3 = (x + 20)/5
বা, 5x = 3(x + 20)
বা, 5x = 3x + 60
বা, 5x - 3x = 60
বা, 2x = 60
বা, x = 60/2
∴ x = 30

প্রশ্ন:


সমাধান: 

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৩/৪ অংশ থেকে ৫ বিয়োগ করলে সংখ্যাটির ১/২ অংশ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে,
(৩x/৪) - ৫ = x/২
বা, (৩x/৪) - (x/২) = ৫
বা, (৩x - ২x)/৪ = ৫
বা, x/৪ = ৫ 
বা, x = ৫ × ৪ 
∴ x = ২০

∴ সংখ্যাটি = ২০ ।

প্রশ্ন: ৪৫ থেকে ৭৫ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?
 
সমাধান: 
৪৫ থেকে ৭৫ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩

সুতরাং, ৪৫  থেকে ৭৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা ৭ টি। 

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

৮০ এর উৎপাদক = {২, ৪, ৫, ৮, ১০, ১৬, ২০, ৪০, ৮০} = ৯টি,
৮৮ এর উৎপাদক = {২, ৪, ৮, ১১, ২২, ৪৪, ৮৮} = ৭টি,
৯৫ এর উৎপাদক = {৫, ১৯, ৯৫} = ৩টি,
৯৯ এর উৎপাদক = {৩, ৯, ১১, ৩৩, ৯৯} = ৫টি

৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৮৯ এবং ৩১।
এদের পার্থক্য = ৮৯ - ৩১ = ৫৮ 

পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে ১০২৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
√(১০২৪) = ৩২
সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে।

এখন, ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করিঃ
১০২৪ = ১ X ১০২৪
= ২ X ৫১২
= ৪ X ২৫৬
= ৮ X ১২৮
= ১৬ X ৬৪
= ৩২ X ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪ = ১১ টি

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্ন: ৮টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৪টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৪টির গড় ২১। সম্মিলিতভাবে ১২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৮টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪০ × ৮) = ৩২০
৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ২১) = ৮৪

∴ ১২টি সংখ্যার গড় = (৩২০ + ৮৪) / ১২ = ৩৩.৬৭ (প্রায়)

উত্তর- ৩৩.৬৭ (প্রায়)

১.১ × ০.০১ = ০.০১১