বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x − ৩৫ = x এর ৮০% 
বা, x − ৩৫ = x × ৮০/১০০ 
বা, ১০০x − ৩৫০০ = ৮০x
বা, ১০০x − ৮০x = ৩৫০০ 
বা, ২০x = ৩৫০০ 
বা, x = ৩৫০০/২০ 
∴ x = ১৭৫ 

∴ সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশ = ১৭৫ × (৩/৫) 
= ১০৫

ধরি সংখ্যা তিনটি ক, ক+২, ক+৪
ক+(ক+২)+(ক+৪)=৫৭
ক=১৭
মধ্যম ১৯

প্রশ্ন: ০.০০৫৭৭৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
√০.০০৫৭৭৬ = √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৭৬^২/১০০০^২)
= ৭৬/১০০০
= ০.০৭৬

প্রশ্ন: যদি ৬৫ ও ১১৭ এর গ.সা.গু- কে (৬৫ক - ১১৭) রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাহলে ক এর মান কত?

সমাধান:
৬৫ ও ১১৭ এর গ.সা.গু হলো ১৩

∴ ৬৫ক - ১১৭ = ১৩
⇒ ৬৫ক = ১৩০
⇒ ক = ১৩০/৬৫
∴ ক = ২

ধরি সংখ্যা দুইটি 2x এবং 3x
2x এবং 3x এর গসাগু = x
তাহলে, x = 6
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 3×6 = 18

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 15, 20 ও 25 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 11 অবশিষ্ট থাকে? 

সমাধান:
এখানে 12, 15, 20 ও 25 এর ল.সা.গু এর সাথে 11 যোগ করলে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
20 = 2² × 5
25 = 5²

2 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2²
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3¹
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 5²
ল.সা.গু = 2² × 3 × 5² = 300
∴ সংখ্যাটি = 300 + 11 = 311

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত ৫ : ২। লব থেকে ৮ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ১/৫। ভগ্নাংশটির হর কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = ৫ক
ভগ্নাংশের লব = ২ক
∴ ভগ্নাংশটি = ২ক/৫ক

প্রশ্নমতে,
(২ক - ৮)/৫ক = (২ক/৫ক) × (১/৫)
⇒ (২ক - ৮)/৫ক = (২ক/২৫ক)
⇒ ২ক - ৮ = (২ক/২৫ক) × ৫ক
⇒ ২ক - ৮ = ২ক/৫
⇒ ৫ × (২ক - ৮) = ২ক
⇒ ১০ক - ৪০= ২ক
⇒ ১০ক - ২ক = ৪০
⇒ ৮ক = ৪০
∴ ক = ৫

∴ নির্ণেয় হর = ৫ × ৫ = ২৫

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ এবং ৭ উভয় দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩ ও ৭ এর ল.সা.গু = ২১ 
২১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 

অপশন টেস্ট অনুযায়ী, 
৩৯৯/২১= ১৯
∴ ৩৯৯ সংখ্যাটি ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অন্যদিকে,
৩০৩,৩৪১ ও ৪০৬ সংখ্যাগুলো ২১ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়।

ধরি, সংখ্যা দুইটি ২x ও ৩x।
∴এদের গ.সা.গু. = x.
প্রশ্নমতে, x = ৪
∴ বৃহত্তর সংখ্যাটি ৩ × ৪ = ১২

মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে 
৩ক + ২ক = ৯০
বা,৫ক = ৯০
∴ক = ১৮

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 5। অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
একক স্থানীয় অঙ্ক = y + 5

∴ সংখ্যাটি = 11y + 5
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে = 11y + 50

প্রশ্নমতে,
2(11y + 5) + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 10 + 18 = 11y + 50
বা, 22y + 28 = 11y + 50
বা, 11y = 22
বা, y = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 11 × 2 + 5
= 22 + 5 = 27

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার ছয়গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x,
সুতরাং পরবর্তী সংখ্যাটি = x + 1

প্রশ্নমতে,
x² + x = 6(x + 1)
⇒ x² + x - 6x - 6 = 0
⇒ x(x + 1) - 6(x + 1) = 0
⇒  (x + 1)(x - 6) = 0

হয়,
⇒  x - 6 = 0
∴  x = 6
অথবা 
⇒  x + 1 = 0
∴ x = - 1 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, সংখ্যাটি 6.

প্রশ্ন: (a - b), a² - ab, a² - b² এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = (a - b)

২য় রাশি = a² - ab
= a(a - b)

৩য় রাশি = a² - b²
= (a + b)(a - b) 

ল.সা.গু = a(a + b)(a - b) = a(a² - b²)

প্রশ্ন: ৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৭, ০, ২, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৫৭

∴ এদের অন্তর = ৭৫২০ - ২০৫৭ = ৫৪৬৩

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা এবং পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান: 
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০ 
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯ 

অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২,৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯ = ৮ টি

ধরি,
একটি ক্রমিক সংখ্যা = a
অন্যটি = a + ১

প্রশ্নমতে,
তাদের বর্গের অন্তর = (a + ১)^২ - a^২
= a^২ + ২a + ১ - a^২
= ২a + ১
= ২x যে কোন পূর্ণ সংখ্যা + ১
= জোড় সংখ্যা + ১
= বিজোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৭, ১৩ এবং ১৯ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
১২ - ৭ = ৫
১৮ - ১৩ = ৫
২৪ - ১৯ = ৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. অপেক্ষা ৫ কম।

১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২ 

∴ সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে= ৭২ - ৫ = ৬৭

ধরি, সংখ্যাদ্বয় x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 199
⇒ x² + 2x + 1 - x² = 199
⇒ 2x = 199 - 1
⇒ x = 198/2 = 99
∴ বড় সংখ্যাটি = 99 + 1 = 100

প্রশ্ন: ছয়টি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ২, ৪, ৬, ৮, ১০ এবং ১২ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?

সমাধান:
​২ = ২ 
​৪ = ২ × ২ 
​৬ = ২ × ৩ 
​৮ = ২ × ২ × ২
​১০ = ২ × ৫ 
​১২ = ২ × ২  × ৩
​
∴ ​২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২  × ৩ × ৫ = ১২০
​
তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১২০ সেকেন্ড বা, ২ মিনিট পর একসাথে বাজবে।

∴ ৬০ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৬০/২) + ১ = ৩০ + ১ = ৩১ বার

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফল, ভাজ্য এবং ভাগশেষ যথাক্রমে ১৫, ৯৪০ এবং ২৫ হলে, ভাজক কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১৫
ভাজ্য = ৯৪০
ভাগশেষ = ২৫
ধরি, ভাজক = ক

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
⇒ ৯৪০ = (ক × ১৫) + ২৫
⇒ ৯৪০ - ২৫ = ক × ১৫
⇒ ক × ১৫ = ৯১৫
⇒ ক = ৯১৫/১৫
∴ ক = ৬১

∴ ভাজক হলো ৬১

প্রশ্ন: যদি P এবং Q উভয়ই জোড় সংখ্যা হয়, তবে নিম্নের কোনটি অবশ্যই বিজোড় হবে?

সমাধান:
ধরি, P = 2 এবং Q = 4 (যেহেতু P ও Q দুটিই জোড় সংখ্যা)।

এখন অপশনগুলোতে মান বসিয়ে পাই,
(ক) P² + Q = 2² + 4 = 4 + 4 = 8 (জোড়)
(খ) 3P + Q = 3(2) + 4 = 6 + 4 = 10 (জোড়)
(গ) P + Q + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 (বিজোড়)
(ঘ) 2P + Q² = 2(2) + 4² = 4 + 16 = 20 (জোড়)

∴ সঠিক উত্তর: (গ) P + Q + 1

প্রশ্ন: √- 18  × √- 2 = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
i = √- 1
বা, i² = - 1

দেওয়া আছে, 
√- 18  × √- 2
= √(- 1  × 18)  × √(- 1 × 2)
= √(- 1) × √18 × √(- 1) × √2
= {√(- 1) × √(- 1)} × √(18 × 2)
= i × i × √(36)
= 6i²
= - 6

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ৮ ইনিংসে রানের গড় ৪৫। ৯ম ইনিংসে সে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংস মিলিয়ে তার রানের গড় ৪৮ হবে? 

সমাধান:
৮ ইনিংসে মোট রান (৪৫ × ৮) = ৩৬০
৯ ইনিংসে মোট রান (৪৮ × ৯) = ৪৩২

∴ ৯ম ইনিংসে রান করতে হবে = (৪৩২ – ৩৬০) = ৭২

যদি কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক বা গুননীয়ক না থাকে তবে ঐ ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করা হয়েছে বোঝায়।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) ভগ্নাংশটির অর্থাৎ ১১৩/৩৫৫ এর লব ও হরের মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক নেই। 
অন্যদিকে, ৭৭/১৪৩ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১১, ১০২/২৮৯ এর সাধারণ গুণনীয়ক ১৭ এবং ৩৪৩/১০০১ এর সাধারণ গুণনীয়ক ৭। 
সুতরাং সঠিক উত্তর (গ)।

1/(x - 1) = 0 হলে, 1 = 0 হয় যা অসম্ভব।