বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২০ থেকে কত বেশি এবং ৭০ থেকে তত কম? সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ২০ = ৭০ - x
বা, x + x = ৭০ + ২০
বা, ২x = ৯০
বা, x = ৯০/২
∴ x = ৪৫

∴ সংখ্যাটি = ৪৫ ।

৬৫৫৮ | ৮১
৬৪
______
১৬১ |১৫৮
       ১৬১
________
      -৩
∴ ৬৫৫৮ এর সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে। 

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ছাত্রদেরকে ৬, ৮, ১২, ও ১৫ জন করে সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ১০ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

৬, ৮, ১২, ও ১৫ এর লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ১২০

∴ ছাত্রসংখ্যা = ১২০ + ১০ = ১৩০

এখানে,
(০.০১)²
= ০.০১ × ০.০১
= ০.০০০১
∴ √০.০০০১ = √(০.০১)²
= ০.০১

ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় n, n + ১ হলে,
(n + ১)² - n² = ৩৭
বা, n² + 2n + ১ - n² = ৩৭
বা, 2n = ৩৬
∴ n = ১৮
∴ সংখ্যাদ্বয় ১৮, ১৯ এবং সমষ্টি = ১৮ + ১৯
= ৩৭

ভাগফলের সাথে ভাজক গুণ দিয়ে এর সাথে ভাগশেষ যোগ করলে ভাজ্য পাওয়া যায়।
সুতরাং সঠিক সূত্র হবে: ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।

প্রশ্ন: দুইটি দলের সদস্য সংখ্যার ল.সা.গু. ৯০ এবং গ.সা.গু. ১৫ হলে, উভয় দলের সদস্য মোট কত জন?

সমাধান: 
 দুটি দলের সদস্য সংখ্যার গুণফল
= তাদের ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
= ৯০ × ১৫
= ১৩৫০
এখন অপশন যাচাই করে পাই, ১৩৫০ কে ৬৫, ৮৫ কিংবা ৯৫ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণ সংখ্যা আসে না। শুধু ৭৫ দিয়ে ভাগ করলে পূর্ণ সংখ্যা আসে।

সুতরাং সর্বনিম্ন মোট সদস্য সংখ্যা = ৭৫ জন।

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০।

৯ = ৩^২
১২ = ২^২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
২৪ = ২^৩ × ৩

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ × ৫
= ৮ × ৯ × ৫ = ৩৬০

এখন ১০০০ কে ৩৬০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ৩৬০ = ২ ভাগফল,
৩৬০ × ২ = ৭২০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৭২০ = ২৮০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩৬০ - ২৮০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে ফলাফল হবে ৩৬০ এর গুণিতক, যা ৯, ১২, ১৫ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

ধরি, সংখ্যাটি x
x এর ১/২ + ৬ = x এর ২/৩
⇒ x/২ + ৬ = ২x/৩
⇒ ২x/৩ - x/২ = ৬
⇒ (৪x - ৩x)/৬ = ৬
∴ x = ৩৬

ধরি, সংখ্যাটি ক
বা, ক - ৩১ = ৫৫ - ক
বা, ২ক = ৮৬
বা, ক = ৪৩
∴ সংখ্যাটি ৪৩।

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল (৪/২৭)। একটি ভগ্নাংশ (২/৩) হলে, অপর ভগ্নাংশ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল (৪/২৭)
একটি ভগ্নাংশ (২/৩)

∴ অপর ভগ্নাংশ = দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ 
= (৪/২৭) ÷ (২/৩)
= (৪/২৭) × (৩/২)
= ২/৯

∴ অপর ভগ্নাংশ = ২/৯

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের চেয়ে ৫ বেশি এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-দশমাংশ। ভাগফল ৪৫ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৪৫

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ৪৫ + ৫ = ৫০
ভাগশেষ = ৫০ × (১/১০) = ৫

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
ভাজ্য = (৪৫ × ৫০) + ৫ = ২২৫০ + ৫
∴ ভাজ্য = ২২৫৫

প্রশ্ন: ০.০০৮১ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০০৮১ এর বর্গমূল = √(০.০০৮১)
= √(৮১/১০০০০)
= ৯/১০০
= ০.০৯

ধরি, ছোট টুকরোর দৈর্ঘ্য x একক।
∴ বড় টুকরোর দৈর্ঘ্য ৩x একক।
তাহলে সংযুক্ত টুকরো দৈর্ঘ্য হবে (x + ৩x) = ৪x একক।
অর্থাৎ, সংযুক্ত টুকরোটির দৈর্ঘ্য ছোট টুকরোর চেয়ে ৪ গুণ বড় হবে।

0.01/(0.1×0.1)
= 0.01/0.01
= 1

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক ৩-এর গুণিতকের যোগফল ১১৭। সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
প্রথম গুণিতক = ৩ক
দ্বিতীয় গুণিতক = ৩(ক + ১) = ৩ক + ৩
তৃতীয় গুণিতক = ৩(ক + ২) = ৩ক + ৬

প্রশ্নানুসারে,
৩ক + (৩ক + ৩) + (৩ক + ৬) = ১১৭
⇒ ৯ক + ৯ = ১১৭
⇒ ৯ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮/৯
∴ ক = ১২

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যা = ৩ক + ৬
= (৩ × ১২) + ৬
= ৩৬ + ৬
= ৪২

এখানে, সকল সংখ্যা জোড়ের সমষ্টি ৩০;  কিন্তু শুধু ৯ × ২১ = ১৮৯
সুতরাং, সঠিক উত্তর - ক) ৯ এবং ২১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ৩১ = ৫৫ - x
বা, x + x = ৫৫ + ৩১
বা, ২x = ৮৬
বা, x = ৮৬/২
∴ x = ৪৩

∴ সংখ্যাটি = ৪৩ ।

প্রশ্ন: ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)} = কত?

সমাধান:
= ১ ÷ (৩/৫){(১/৩) + (২/৩)}
= ১ ÷ (৩/৫){(১ + ২)/৩}
= ১ ÷ (৩/৫)(৩/৩)
= ১ ÷ (৩/৫) × ১
= ১ ÷ (৩/৫)
= ১ × (৫/৩)
= ৫/৩

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু. ৩৬০। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি হলো ৩ক এবং ৪ক

সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. হলো ৩ × ৪ × ক = ১২ক

প্রশ্নমতে,
১২ক = ৩৬০
⇒ ক = ৩৬০/১২
⇒ ক = ৩০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৩ × ৩০ = ৯০ এবং ৪ × ৩০ = ১২০

সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৯০ + ১২০ = ২১০

সংখ্যা দু'টি 3x, 4x
∴ ল.সা.গু. = 180, গ.সা.গু = x
∴ 3x × 4x = 180 × x
বা, 12x = 180
∴ x = 15

প্রশ্ন: x³ - 3x² - 10x এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)  ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার পাঁচ গুণের সাথে ১২ যোগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তা সংখ্যাটির সাত গুণ থেকে ৪৮ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত মানের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ১২ = ৭ক - ৪৮
⇒ ১২ + ৪৮ = ৭ক - ৫ক
⇒ ৬০ = ২ক
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০

∴ সংখ্যাটি ৩০

প্রশ্ন: √4 × i⁴ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √4 = √(2)² 
= 2
এবং i⁴ = (i²)²
= (- 1)²            [∵ i² = -1]
= 1

প্রদত্ত রাশি, √4 × i⁴ = 2 × 1 = 2

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: ০.১৬২৩ - ৩১ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
০.১৬২৩ - ৩১

∴ ০.১৬২৩ - ৩১
= - (৩১ - ০.১৬২৩)
= -৩০.৮৩৭৭

অতএব, সঠিক উত্তর:
ক) -৩০.৮৩৭৭

প্রশ্ন: ২০ ও ১০০ এর মধ্যে ৩ ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট কয়টি সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সকল সংখ্যা ৩ ও ৪ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তারা অবশ্যই ৩ ও ৪ এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২

২০ ও ১০০ এর মধ্যে ১২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
১২ × ২ = ২৪
১২ × ৩ = ৩৬
১২ × ৪ = ৪৮
১২ × ৫ = ৬০
১২ × ৬ = ৭২
১২ × ৭ = ৮৪
১২ × ৮ = ৯৬

সংখ্যাগুলো হলো: ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪ এবং ৯৬

∴ মোট সংখ্যা আছে ৭টি।