বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে x⁶ − 1/x⁶ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² − 2. x . 1 + 1² = 0
বা, (x − 1)² = 0
বা, x − 1 = 0
∴ x = 1

এখন, 
x⁶ − 1/x⁶
= (1)⁶ − {1/(1)⁶}
= 1 − 1/1
= 1 − 1
= 0

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 ...........(1)
⇒ a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3 
⇒ 3(a² - ab + b²) = 3 [মান বসিয়ে]
⇒ a² - ab + b² = 3/3
∴ a² - ab + b² = 1 ........(2)

এখন, (1) + (2) যোগ করে পাই,
⇒ 2(a² + b²) = 4
⇒ a² + b² = 4/2 
∴ a² + b² = 2

(x + (1/x))²
= (x - (1/x))² + 4.x.(1/x)
= 5 + 4
= 9
∴ x + 1/x = 3
বা, (x + (1/x))³ = 27
বা, x³ + 1/x³ + 3.x.(1/x)(x + (1/x)) = 27
বা, x³ + 1/x³ + 3.3 = 27
∴ x³ + 1/x³ = 18

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 3x - 10
= (x² - 5x + 2x - 10)
= {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= (x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 2) 

প্রশ্ন: যদি x - y = 5 হয়, তবে x³ - y³ - 15xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 5

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 15xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 15xy
= 5³ + 3xy × 5 - 15xy
= 125 + 15xy - 15xy
= 125

প্রশ্ন: যদি 4x² - 6x + 1 = 0 হয়, তবে 8x³ + 1/8x³ এর মান কত?

সমাধান: 

প্রশ্ন: x² - 16 এবং x² - 8x + 16 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4)(x - 4)

২য় রাশি, 
x² - 8x + 16
= x² - 2 . x. 4 + 4²
= (x - 4)²
= (x - 4)(x - 4)

∴ নির্ণয়ে গ.সা.গু = (x - 4)

প্রশ্ন: a + b = √11 এবং a = √7 + b হলে ab এর মান কত?  

সমাধান: 
a + b = √11 
a = √7 + b
a - b = √7

ab = {(a + b)/2}² -  {(a - b)/2}² 
= {(√11)/2}² -  {(√7)/2}² 
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: 4x² + 25y² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² + 25y²
= (2x)² + 2 . 2x . 5y + (5y)² - 20xy
= (2x + 5y)² - 20xy

∴ 4x² + 25y² রাশিটির সাথে 20xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: P + 2^1/3 + 2^2/3 = 0 হলে P³ + 6 এর মান কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P + 2^1/3 + 2^2/3 = 0
P = - (2^1/3 + 2^2/3)

ধরি, 
a = 2^1/3, b = 2^2/3, ab = (2^1/3)(2^2/3) = 2^{(1 + 2)/3} = 2^3/3 = 2¹ = 2
এবং a + b = - P

আমরা জানি,
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
⇒ (- P)³ = (21/3)³ + (2^2/3)³ + 3 × 2(- P)
⇒ - p³ = 2 + 4 - 6p
⇒ - p³ = 6 - 6p
⇒ p³ = 6p - 6
∴ P³ + 6 = 6p

প্রশ্ন: x - 2 = √3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x - 2 = √3
x = 2 + √3

∴ 1/x = 1/(2 +√3)
= (2 - √3)/((2 + √3)(2 - √3)
= (2 - √3)/(2² -(√3)²)
= (2 - √3)/(4 - 3)
∴ 1/x = 2 - √3

এখন, x + 1/x = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

প্রদত্ত রাশি,
x⁴ + 1/x⁴ = (x²)² + (1/x²)²
 = (x² + 1/x²)² - 2 . x² . 1/x²
= {(x + 1/x)² - 2 . x . 1/x}² - 2
= {(4)² - 2}² - 2
= (16 - 2)² - 2
= 196 - 2
= 194

এখানে x+2y = 4…..(1)
এবং x/y = 2
বা, x = 2y….(2)
(1)নং হতে পাই,
2y + 2y = 4
বা, 4y = 4
বা, y = 1
y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 2.1 = 2

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হয়, তাহলে, {x² + y² + 4xy}² = ?

সমাধান:
x² + y² + 4xy
= (x + y)² - 2xy + 4xy
= (x + y)² + 2xy
= (5)² + 2 × 6
= 25 + 12
= 37

∴ {x² + y² + 4xy}² = (37)² = 1369

প্রশ্ন: যদি 3m² + 5m - 2 এবং m² - 4 এর গ.সা.গু m + x হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
3m² + 5m - 2
= 3m² + 6m - m - 2
= 3m(m + 2) - 1(m + 2)
= (3m - 1)(m + 2)

এবং
২য় রাশি,
m² - 4
= m² - 2²
= (m + 2)(m - 2)

∴ গ.সা.গু = m + 2

প্রশ্নমতে, 
m + x = m + 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: যদি a = 2 হয়, তবে 8a³ + 60a² + 150a + 130 এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,  
a = 2

প্রদত্ত রাশি, 
8a³ + 60a² + 150a + 130
= (2a)³ + 3 × (2a)² × 5 + 3 × 2a × 5² + 5³ + 5
= (2a + 5)³ + 5
= (2 × 2 + 5)³ + 5
= 9³ + 5
= 729 + 5
= 734

প্রশ্ন: যদি a + b = √5 এবং a − b = √3 হয়, তাহলে  a² + b² -এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a + b = √5
a - b = √3

প্রদত্ত রাশি: a² + b²

আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, 2(a² + b²) = (√5)² + (√3)² [মান বসিয়ে]
বা, 2(a² + b²) = 5 + 3
বা, 2(a² + b²) = 8
বা, a² + b² = 8/2
বা, a² + b² = 4

প্রশ্ন: 16a² + 25b² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি, x যোগ করতে হবে।
16a² + 25b² + a
= (4a)² + (5b)² + 2.4a.5b
= (4a)² + (5b)² + 40ab

∴ 40ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

a² + 16/a² = 8
বা, a⁴ + 16 = 8a²
বা, a⁴ - 8a² + 16 = 0
বা, (a² - 4)² = 0
বা, a² = 4
∴ 1/a² = 1/4

∴ a⁴ - 1/a⁴ = (a² + 1/a²)(a₂ - 1/a²)
=(4 + 1/4)(4 - 1/4)
=17/4 × 15/4
= 255/16

প্রশ্ন: m = 2 হলে 27m³ + 54m² + 36m + 3 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
m = 2

∴ 27m³ + 54m² + 36m + 3
= (3m)³ + 3 × (3m)² × 2 + 3 × (3m) × 2² + 2³ - 5
= (3m + 2)³ - 5

এখন, m = 2 বসাই,
= (3 × 2 + 2)³ - 5
= (6 + 2)³ - 5
= 8³ - 5
= 512 - 5
= 507

অতএব, সঠিক উত্তর:
খ) 507

(a + b+ c)²
= (a + b)² + 2(a + b)c + c²
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
=2(ab + bc + ac) + a² + b² + c² 
∴ সবগুলো সঠিক।

প্রশ্ন: a² - a - 56 = 0 হলে a = ?

সমাধান: 
a² - a - 56 = 0 
a² - 8a + 7a - 56 = 0
a(a - 8) + 7(a - 8) = 0
(a - 8)(a + 7) = 0

হয় 
a - 8 = 0
a = 8

অথবা 
a + 7= 0
a = - 7

প্রশ্ন: 2(a² - b²) এবং (a² - 2ab + b²) এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 2(a² - b²)
= 2(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a² - 2ab + b²
= (a - b)²
= (a - b)(a - b) 

এখানে,
সাংখ্যিক সহগ 2 ও 1 এর গ.সা.গু = 1
এবং সাধারণ মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক = (a - b)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 1 × (a - b)
= (a - b) 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴) এর গুণফল?

সমাধান:
(p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴)
={(p²)² - (q²)²}(p⁴ + q⁴)
=(p⁴ -q⁴)(p⁴ + q⁴)
= (p⁴)² - (q⁴)²
= p⁸ - q⁸

প্রশ্ন: p + q + r = 8  এবং pq + qr + rp = 19 হলে p² + q² + r² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q + r = 8
pq + qr + rp = 19

আমরা জানি,
(p + q + r)² = (p² + q² + r²) + 2(pq + qr + rp)

∴ p² + q² + r² = (p + q + r)² - 2(pq + qr + rp)
= 8² - 2 × 19
= 64 - 38
= 26

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বা, x² = 15 + 2√56
বা, x² = 8 + 2√56  + 7
বা, x² = (√8)² + 2.√8.√7 + (√7)²
বা, x² = (√8 + √7)²
বা, x = √8 + √7
 
এখন,
1/x
= 1/(√8 + √7)
= (√8 - √7)/ (√8 + √7) (√8 - √7)
=  (√8 - √7)/ {(√8)² - (√7)²}
= (√8 - √7)/(8 - 7)
= √8 - √7
= 2√2 - √7

প্রশ্ন: (x + 4)(x - 4) কে x² - 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
(x + 4)(x - 4)
= x² - 4²
= x² - 16

এখন,
 x² - 10)  x² - 16  ( 1
               x² - 10   
—————————
                     - 6

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ = - 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x + y = 14 এবং xy = 49 হয়, তবে (x² + y²)/xy = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x² - 2√2 x + 1 = 0 হয়, তাহলে   x² + (1/x² )​ এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 16x² + 49y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 16x² + 49y²
= (4x)² + (7y)²

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²

∴ (4x)² + 2.(4x).(7y) + (7y)²
= (4x + 7y)²

অর্থাৎ (4x)² + (7y)² এর সাথে যদি 2.4x.7y = 56xy যোগ করি তাহলে পূর্ণবর্গ হবে।

∴ 16x² + 49y² এর সাথে 56xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

দেয়া আছে, 
x + y = 7
xy = 10

আমরা জানি 
      (x - y)² = (x + y)² - 4xy
                 = 7² - (4×10)
                 = 49 - 40 
                 = 9

প্রশ্ন: x = 3 হলে, 9x² - 24x + 16 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 3 

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 24x + 16
= 9. (3)² - 24 × 3 + 16
= 81 - 72 + 16
= 9 + 16
= 25

প্রশ্ন: যদি x² - 4x - 1 = 0 হয়, তবে (x + 1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 4x - 1 = 0
⇒ x² - 1 = 4x
⇒ (x²)/x - 1/x = (4x)/x
⇒ x - 1/x = 4

আমরা জানি,
(x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4 . x . 1/x
বা, (x + 1/x)² = (4)² + 4
∴ (x + 1/x)² = 16 + 4 
∴ (x + 1/x)² = 20

প্রশ্ন: p + q + r = 0 হলে, p³ + q³ + r³ এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr - rp) 
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 × (p² + q² + r² - pq - qr - rp) 
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 
বা, p³ + q³ + r³ = 3pqr 
∴ p³ + q³ + r³ = 3pqr 

  x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y²+ (-4)² + 2.x.y + 2.y(-4) + 2.(-4).x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy
অর্থাৎ 2xy যোগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= 10² - 4.24
= 4 
∴ x - y = 2

∴ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
বা, 2x = 12 
∴ x = 6

দেওয়া আছে, x - y = 2, xy = 3
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(2)² + 4.3}
= √16
= ±4

প্রশ্ন: a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
(a/b) এর সাথে x যোগ করলে যোগফল (2b/a) হবে 

প্রশ্নমতে, 
(a/b) + x = (2b/a)
⇒ x = (2b/a) - (a/b)
⇒ x = (2b² - a²)/ab
∴ x = (2b² - a²)/ab