বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: x² + xy + y² কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি ঘনরাশির অন্তরের সূত্র,
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

অর্থাৎ, x² + xy + y² কে (x - y) দ্বারা গুণ করলে তা ঘনরাশির অন্তর x³ - y³ রূপে প্রকাশ করা যায়।

প্রশ্ন: x⁵ + (1/x ⁵) = 6 হলে, x⁵ -(1/x ⁵) = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x ⁵ - 1/x ⁵) ²
= (x ⁵ + 1/x ⁵) ² - 4 × x⁵ × 1/x⁵
= 6² - 4
= 36 - 4
= 32
∴ (x ⁵ - 1/x⁵)
= √32
= √16 × 2
= 4√2

প্রশ্ন: যদি 1/a = 4 - a হয়, তবে a³ + 1/a³ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1/a = 3 - a
∴ a + 1/a = 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 . a . (1/a)(a + 1/a)
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

We know,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
Or, 9² = a² + b² + c² + 2×27
∴ a² + b² + c² = 81 - 54 = 27

প্রশ্ন: (1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

(x + 7)(x - 6)
= x² + 7x - 6x - 42
= x² + x - 42

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 15 এবং তাদের বর্গের যোগফল 113 হলে, সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে a এবং b
তাহলে, 
a + b = 15
a² + b² = 113

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ 15² = 113 + 2ab
⇒ 225 = 113 + 2ab
⇒ 2ab = 225 - 113
⇒ 2ab = 112
⇒ ab = 112/2
∴ ab = 56

সুতরাং, সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল 56

আমরা জানি,
a² + b² = ( a + b )² - 2ab
দেওয়া আছে, x + 1/x = 3/2
x⁴ + 1/x⁴  = ( x² - 1/x² )² - 2x²(1/x)²
= ( ( x + 1/x )² - 2x(1/x) )² - 2
= ( ( 9/4 - 2 )² - 2
= (1/4)² - 2
= 1/16 - 2
= - 31/16

প্রশ্ন: যদি 2x + (2/x) = 4 হয়, তবে x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2x + (2/x) = 4
⇒ 2(x + 1/x) = 4
⇒ x + (1/x) = 2

প্রদত্ত রাশি = x² + 1/x²
= x² + (1/x)²
= {x + (1/x)}² - 2 . x . (1/x)
= (2)² - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: x² + y² = 8 এবং xy =7 হলে (x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
x² + y² = 8
xy = 7

এখন
(x + y)² = x² + y² + 2xy 
= 8 + 2 × 7
= 8 + 14 
= 22

x² + 1/x² 
= (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= (√2)² - 2
= 0

প্রশ্ন: b + 1/b = 2 হলে b⁵ - 1/b⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b + 1/b = 2
বা, b² + 1 = 2b
বা, b² - 2b + 1 = 0
বা, (b - 1)² = 0
বা, b - 1 = 0
∴ b = 1

∴ ‍b⁵ - 1/b⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
xy = 91

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (6)² + 4 × 91
⇒ (x + y)² = 36 + 364
⇒ (x + y)² = 400
⇒ x + y = √400
∴ x + y = 20

প্রশ্ন: x² - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1 = 0 
∴ x = - 1

এখন, x = - 1 বসিয়ে পাই, 
x² - 3x - 2
= (- 1)² - 3 × (- 1) - 2
= 1 + 3 - 2 
= 4 - 2 
= 2 
∴ 2, অবশিষ্ট থাকবে।

প্রশ্ন: যদি p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y² হয়, তবে q - p = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y²

প্রদত্ত রাশি, 
q - p
= (4x² - 4xy + y²) - (4x² + 4xy + y²) 
= 4x² - 4xy + y² - 4x² - 4xy - y²
= - 8xy

প্রশ্ন: 3x² + 9, x⁴ - 9 এবং x⁴ + 6x² + 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
১ম রাশি, 3x² + 9 = 3(x² + 3)

২য় রাশি, x⁴ - 9 = (x²)² - (3)²
= (x² + 3)(x² - 3)

৩য় রাশি, x⁴ + 6x² + 9 = (x²)² + 2 × x² × 3 + (3)²
= (x² + 3)²

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = 3(x² - 3)(x² + 3)²

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং x - y = 6 হলে, xy = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 10
x - y = 6
আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= {10/2}² - {6/2}²
= (5)² - (3)²
= 25 - 9
= 16

প্রশ্ন: a + b = 13 এবং  a - b = 3 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 
a² + b² = {(a + b)² + (a - b)²}/2
= {(13)² + (3)²}/2
= (169 + 9)/2
= 178/2
= 89

প্রশ্ন: x² - y² = 15 এবং x + y = 5 হলে, 8xy(x² + y²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² - y² = 15
বা, (x + y)(x - y) = 15
বা, 5(x - y) = 15
∴ x - y = 3

প্রদত্ত রাশি, 
 8xy(x² + y²)
= 4xy.2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= (5² - 3²)(5² + 3²)
= 16 × 34
= 544

x³ - 1
= (x - 1)(x² + x + 1)

x³ + 1
= (x + 1)(x² - x + 1)

x⁴ + x² + 1
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

∴ ল.সা.গু = (x + 1) (x - 1) (x² + x + 1) (x² - x + 1)
= (x³ + 1) (x³ - 1)
= x⁶ - 1

 x² + y² = 50
বা, (x + y)² - 2xy = 50
বা, 8² - 2xy = 50
64 - 50 = 2xy
বা, 2xy = 14
∴ xy = 7

প্রশ্ন: যদি x + y = a, x - y = b হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে
x + y = a
x - y = b

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = a² - b²
⇒ 4xy/2 = (a² - b²)/2
⇒ 2xy = (a² - b²)/2

প্রশ্ন: যদি a + b = 6 এবং a - b = 2 হয় , তাহলে 2(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 6 এবং a - b = 2

∴ 2(a² + 2b²)
= {(a + b)² + (a - b)²}
= (6)² + (2)²
= 36 + 4 
= 40

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = √x + (1/√x) 
B = √x - (1/√x) 

প্রশ্ন: p = 4, q = 6, r = 3 হলে, 4p²q² - 16pq²r + 16q²r² এর মান কত?

সমাধান,
দেওয়া আছে,
p = 4
q = 6
r = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = 4p²q² - 16pq²r + 16q²r²
= (2pq)² - 2 × 2pq · 4qr + (4qr)²
= (2pq - 4qr)²
= (2 × 4 × 6 - 4 × 6 × 3)²
= (48 - 72)²
= (- 24)²
= 576

9x² - ax + 4
= (3x)² - 2.3x.2 + 2² + 2.3x.2 - ax
= (3x - 2)² + 12x - ax
রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে যদি,
12x - ax = 0
বা, ‍-ax = -12x
বা, a = 12

প্রশ্ন: M(x) = 2x² - 5x + x³ + 7 এবং N(x) = x² - 2x + 3 হলে, M(x)/N(x) এর মাত্রা কত?

সমাধান:
M(x) = 2x² - 5x + x³ + 7 
 সর্বোচ্চ ঘাত হলো 3, তাই M(x) এর মাত্রা 3
এবং 
N(x) = x² - 2x + 3
সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2, তাই N(x) এর মাত্রা 2

M(x)/(N) = x³/x² = x^{3 - 2} = x¹
অতএব, M(x)/N(x)​ এর মাত্রা হলো 1

প্রশ্ন: 4b² + 1/b² = 2 হলে 8b³ + 1/b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
4b² + 1/b² = 2
(2b)² + (1/b)² = 2
(2b + 1/b)² - 2.2b.(1/b) = 2
(2b + 1/b)² - 4 = 2
(2b + 1/b)² = 6
(2b + 1/b) = √6

8b³ + 1/b³ = (2b)³ + (1/b)³
=(2b + 1/b)³ - 3.2b(1/b)(2b + 1/b)
= (√6)³ - 6√6
= 6√6 - 6√6
= 0

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি x + y = m, x - y = n হয়, তাহলে 2xy = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে
x + y = m
x - y = n

আমরা জানি
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = m² - n²
⇒ 4xy/2 = (m² - n²)/2
⇒ 2xy = (m² - n²)/2

দেওয়া আছে, a + b = 4 এবং a - b = 2
আমরা জানি, 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
= 4² + 2²
= 16 + 4
= 20

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 12 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 12
বা, 2{a + (1/a)} = 12
বা, a + (1/a) = 12/2
∴ a + (1/a) = 6

এখন,
 a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রথম রাশি, x³ + x²y
= x²(x + y)
দ্বিতীয় রাশি, x²y + xy²
= xy(x + y)

∴ গ.সা.গু = x(x + y)

প্রশ্ন: যদি a³ + b³ = 189 এবং a + b = 9 হয়, তবে ab-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a³ + b³ = 189 এবং a + b = 9

আমরা জানি, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⇒ 189 = 9³ - 3ab × 9
⇒ 189 = 729 - 27ab
⇒ 27ab = 729 - 189
⇒ 27ab = 540
⇒ ab = 540/27
∴ ab = 20