বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)²
= (x² + 1/x²)² - 2.x².1/x²
= {(x - 1/x)² + 2.x.1/x}² - 2
= (2² + 2)² - 2
= 36 - 2 = 34

প্রশ্ন: a + b + c = 11 এবং ab + bc + ca = 42 হলে a² + b² + c² এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b + c = 11 
ab + bc + ca = 42

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2(ab + bc + ca)
11² = a² + b² +c² + 2 × 42
121 = a² + b² +c² + 84
121 - 84 = a² + b² + c² 
a² + b² + c² = 37 

প্রশ্ন: যদি x = 5a + 7b + 9c,  y = b - 3a - 4c,  z = c - 2b + a হয়, তবে  (x + y + z) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 5a + 7b + 9c
y = b - 3a - 4c
z = c - 2b + a

∴  x + y + z = 5a + 7b + 9c + b - 3a - 4c + c - 2b + a
= 3a + 6b + 6c
= 3(a + 2b + 2c)

প্রশ্ন: (x² + 1)² = 3x² হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(x² + 1)² = 3x² 
বা, x² + 1 = √3.x 
বা, (x² + 1)/x = √3 
∴ x + (1/x) = √3 

∴ প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³) 
= {x + (1/x)}³ - 3 . x. 1/x {x + (1/x)} 
= (√3)³ - 3. √3 
= 3√3 - 3√3 
= 0

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a² + (1/a)²
= (a - 1/a)² + 2. a. 1/a
= 3² + 2
= 9 + 2
∴ a² + (1/a)² = 11
বাঁ, {(a² + (1/a)²}²= 11²
বাঁ, a⁴ + 2.a².1/a² + (1/a)⁴ = 121
∴ a⁴ + (1/a)⁴ = 121 - 2 = 119

দেওয়া আছে,
p + 1/p = 4
এখন,
p⁴ + (1/p⁴)
= (p² + 1/p²)² - 2.p².1/p²
= [(p + 1/p)² - 2.p.1/p]² - 2
= [4² - 2]² - 2
= [16 - 2]² - 2
= 14² - 2
= 196 - 2
= 194
∴ p⁴ + (1/p⁴) = 194

প্রশ্ন: যদি A = a² + ab + b² এবং B = a² + b² - ab হয় তবে A - B = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = a² + ab + b²
B = a² - ab + b²

∴ A - B
= (a² + ab + b²) - (a² - ab + b²)
= a² + ab + b² - a² + ab - b²
= 2ab

প্রশ্ন: a + b + c = 12 এবং a² + b² + c² = 50 হলে, ab + bc + ac = ?

সমাধন:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 12
a² + b² + c² = 50

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 12² = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 144 = 50 + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = 144 - 50
⇒ 2(ab + bc + ac) = 94
⇒ ab + bc + ac = 94/2 = 47
∴ ab + bc + ac = 47

প্রশ্ন: 4a + (4/a) + 8 = 0 হলে, a² + 2a + 1 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 4a + (4/a) + 8 = 0
 4a + (4/a) = - 8
⇒ 4{a + (1/a)} = - 8
⇒ a + (1/a = - (8/4)
⇒ (a² +1)/a = - 2
⇒ a² + 1 = - 2a
∴ a² + 2a + 1 = 0

x+y+x-y = 12+2
বা, 2x = 14
বা, X = 7
∴ y = 5
So, xy = 35

প্রশ্ন: A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k)

আমরা জানি,
(X₁, Y₁) ও (X₂, Y₂) বিন্দুগামী রেখার ঢাল = (y₂​ - y₁​​)/(x_2​ - x_1​)
তিনটি বিন্দু A(1, 2), B(4, 5) এবং C(7, k) সমরেখ হলে, তাদের মধ্যে যেকোনো দুইটি বিন্দু দ্বারা নির্ধারিত সরলরেখার ঢাল এবং তৃতীয় বিন্দুর সাথে অন্য একটি বিন্দুর মধ্যকার ঢাল সমান হবে।
এখন,
AB এর ঢাল,
m_AB​ = (y₂​ - y₁​​)/(x₂​ - x₁​)
= (5 - 2)/(4 - 1)
= 3/3
= 1

আবার,
BC এর ঢাল
m_BC = (y₂​ - y₁​​)/(x₂​ - x₁​)
= (k - 5)/(7 - 4)
= (k - 5)/3

∴ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে ঢাল দুটি সমান হবে।
∴ (k - 5)/3 = 1
⇒ k - 5 = 3
⇒ k = 5 + 3
⇒ k = 8

সুতরাং, k এর মান 8

a - [a - {a - (a + 1)}]
= a - [a - {a - a - 1}]
= a - [a - {-1}]
= a - [a + 1]
= a - a - 1
= -1

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x² - 30xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 8 এবং y = 7 

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)² 
= (3x - 5y)²
= {(3 x 8) - (5 x 7)}²   [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (24 - 35)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x⁶ - 1/x⁶ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2. x . 1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, 
x⁶ - 1/x⁶
= (1)⁶ - {1/(1)⁶}
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 5 এবং a² + b² + c² = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5
এবং 
a² + b² + c² = 9 

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = {(5)2 - 9}
বা, 2(ab + bc + ca) = (25 - 9)
বা, 2(ab + bc + ca) = 16
বা, (ab + bc + ca) = 16/2
∴ (ab + bc + ca) = 8

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 41 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 41 এবং a + b = 9

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ (9)² = 41 + 2ab
⇒ 81 = 41 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 41
⇒ 2ab = 40
⇒ ab = 40/2
⇒ ab = 20

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - (3 × 20 × 9)
= 729 - 540
= 189

প্রশ্ন: যদি (x + y) = 7 এবং xy = 10 হয়, তবে (x - y) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y) = 7 এবং xy = 10

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
⇒ (x - y)² = 7² - (4 × 10)
⇒ (x - y)² = 49 - 40
⇒ (x - y)² = 9
⇒ x - y = √9
∴ x - y = 3

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 2x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x + 1/x = 2

এখন,
(x - 1/x)² = {x + (1/x)}² - 4.x.(1/x)
= (2)² - 4
= 4 - 4
= 0
∴ ‍x - 1/x = 0

প্রদত্ত রাশি,
x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2 × 0
= 0

প্রশ্ন: x + y = 5; xy = 4 হলে,  x⁵ + y⁵ এর মান কত?

সমাধান:

x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ (x - y)² + 4xy = 25
⇒ (x - y)² + 4.4=25
⇒ (x - y)² = 25 - 16
⇒ (x - y)²= 9
⇒ (x - y) = √9
∴ (x - y) = 3

এখন,
x + y = 5 ................ (1)
x - y = 3 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4
x এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
4 + y = 5
⇒ y = 5 - 4
∴ y = 1

এখন,
x⁵ + y⁵
= (4)⁵ + (1)⁵
= 1024 +1
 = 1025

প্রশ্ন: 3x + 3/x​ = 6 হলে, x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
3x + 3/x​ = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + 1/x = 2
⇒ (x + 1/x)³ = 2³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
⇒ x³ + 1/x³​ + 3 × (x + 1/x) = 8
⇒ x³ + 1/x³ + 3 × 2 = 8 [প্রাপ্ত (x + 1/x) = 2]
⇒ x³ + 1/x³ + 6 = 8
⇒ x³ + 1/x³ = 8 - 6
∴ x³ + 1/x³ = 2

প্রশ্ন: যদি x² - x - 12 এবং x² - 16 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² - x - 12
= x² - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)

এবং
২য় রাশি,
x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4)(x - 4)

∴ গ.সা.গু = x - 4

প্রশ্নমতে, 
x - a = x - 4
∴ a = 4

প্রশ্ন: যদি x² - √7x + 1 = 0 হয়, তবে  {5x + (5/x)} =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √7x
⇒ (x²/x) + (1/x) = √7x/x ; [x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ 5{x + (1/x)} = 5√7
∴ 5x + (5/x)} = 5√7

= m - [m - {m - (-1)}]
= m - [m - {m + 1}]
= m - [m - m - 1]
= m - [-1]
= m + 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 5 এবং x - y = 3

আমরা জানি, 
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (5/2)² - (3/2)²
= (25/4) - (9/4)
= (25 - 9)/4
= 16/4
∴ xy = 4

প্রশ্ন: যদি a - b = 7 এবং ab = 60 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a - b = 7 এবং ab = 60

আমরা জানি, 
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= (7)² + 2 × 60
= 49 + 120
 = 169

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x² + bx + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
কোনো রাশি পূর্ণবর্গ হবে যদি, b² - 4ac = 0 হয়।
∴ b² - 4ac = 0
⇒ (b)² - (4 × 9 × 25) = 0
⇒ b² - 900 = 0
⇒ b² = 900
⇒ b = √900 = 30
∴ b = 30

3x² + 3 = 6x
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
বা, x = 1

x⁵ - 1/x⁴
= 1⁵ - 1/1⁴
= 1 - 1
= 0

ধরি,
a বিয়োগ হবে।
∴ (5 - a)/(7 - a) = 5/3
বা, 15 - 3a = 35 - 5a
বা, -3a + 5a = 35 - 15
বা, 2a = 20
∴ a = 10

প্রশ্ন: x² - 3x + 1 = 0 হলে, x² + 1/x² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 3x + 1 = 0
বা, x² + 1 = 3x
বা, x²/x + 1/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3

আমরা জানি, 
x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= (3)² - 2
= 9 - 2
= 7

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: x + (1/x) = √7 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √7

আমরা জানি,
x³ + (1/x³) = (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)
= (√7)³ - 3 × √7
= 7√7 - 3√7
= 4√7

প্রশ্ন: x = 3 + √8 হলে, x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x = 3 + √8
∴ 1/x = 1/(3 + √8)
= (3 - √8)/{(3 + √8)(3 - √8)}
= (3 - √8)/(9 - 8)
= 3 - √8

এখন,
x + 1/x = (3 + √8) + (3 - √8) = 6

আমরা জানি,
x² + (1/x²) = (x + 1/x)² - 2 . x . (1/x)
= 6² - 2
= 36 - 2
= 34