বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 0 X (a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 3abc

x² - 3x - 1 = 0
বা, (x² - 3x - 1)/x = 0
বা, x²/x - 3x/x - 1/x = 0
বা, x - 1/x = 3

এখন, (x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4.x.1/x
বা, (x + 1/x)² = 3² + 4 = 13
বা, x + 1/x = √13

∴ x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= √13.3
= 3√13

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 0 হয়, তবে √x + (1/√x) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 0

ধরি, 
y = √x + (1/√x)
⇒ y² = {√x + (1/√x)}²
⇒ y² = (√x)² + 2 × √x  × (1/√x) + (1/√x)² ; [(a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ y² = x + 2 + (1/x)
⇒ y² = x + (1/x) + 2
⇒ y² = 0 + 2
⇒ y² = 2
∴ y = ± √2

∴ √x + (1/√x) = √2

প্রশ্ন: যদি (x - y) = 4 এবং xy = 5 হয়, তাহলে, x³ - y³ + 5(x + y)² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x - y = 4 এবং xy = 5

এখন, 
x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y)
= 4³ + 3 × 5 × 4
= 64 + 60
= 124

এবং 
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 4² + 4 × 5
= 16 + 20
= 36

প্রদত্ত রাশি, 
x³ - y³ + 5(x + y)²
=  124 + 5 × 36
= 124 + 180
= 304

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে, (x⁴ + 2x² + 1)/x² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

x² - 2x + 1 = 0  
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1 

 এখন,
(x⁴ + 2x² + 1)/x²
 = (1⁴ + 2 × 1² + 1)/1²
= (1 + 2 + 1)/1
= 4

প্রশ্ন: a + b + c =20 এবং a²+ b²+ c² = 152 , ab + bc + ca = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
a + b  + c = 20 
a²+ b²+ c² = 152

আমরা জানি, 
 (a + b + c)² = a²+b²+c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 20²= 152 + 2(ab + bc + ca)
বা, 400 = 152 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 400 - 152
বা, 2(ab + bc + ca) = 248
বা, (ab + bc + ca) = 248/2
∴ (ab + bc + ca) = 124

প্রশ্ন: যদি x + y = 12 এবং xy = 20 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = 12 এবং xy = 20।
আমরা জানি, (x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (12)² - 4 × 20
= 144 - 80
= 64
⇒ x - y = √64
∴ x - y = ± 8

(a - b + c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac [সূত্র]

প্রশ্ন: যদি (p + q)² = 144 এবং pq = 32 হয়, তবে (p - q) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(p + q)² = 144 এবং pq = 32

আমরা জানি, 
(p - q)² = (p + q)² - 4pq
⇒ (p - q)² = 144 - (4 × 32)
⇒ (p - q)² = 144 - 128
⇒ (p - q)² = 16
⇒ (p - q) = √16
∴ p - q = 4

প্রশ্ন: x + (1/x) = 7 হলে, x/(x² + x + 1) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 7
⇒ x² + 1 = 7x

এখন, 
 x/(x² + x + 1)
= x/(x² + 1 + x)
= x/(7x + x)
= x/8x 
= 1/8

প্রশ্ন: যে সরলরেখাটি (1, 2) এবং (3, 4) বিন্দু দুটির মধ্য দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A(1, 2) এবং B(3, 4)

আমরা জানি,
ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (4 - 2)/(3 - 1) = 2/2 = 1 
∴ m = 1
আবার, আমরা জানি,
বিন্দু আর ঢাল থাকলে সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ = m(x - x₁)
⇒ y - 2 = 1(x - 1) [ঢাল = 1 এবং বিন্দু = (1, 2)]
⇒ y - 2 = x - 1
∴ y = x + 1

সুতরাং, নির্ণয়ে সমীকরণ y = x + 1

প্রশ্ন: A = x³ - 3x² - 10x, B = x³ + 6x² + 8x হলে, A ও B এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

∴ A = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x{x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5)

∴ B = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 4x + 2x + 8)
= x{x(x + 4) + 2(x + 4)}
= x(x + 2)(x + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)

প্রশ্ন: x + y = 3 এবং x² + y² = 5 হলে, x³ + y³ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 3
x² + y² = 5

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ 3² = 5 + 2xy
⇒ 9 - 5 = 2xy
⇒ 2xy = 4
⇒ xy = 2

এখন, x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
 = 3³ - (3 × 2 × 3)
 = 27 - 18
= 9

x/a + a = x/b + b
⇒ x/a - x/b = b - a
⇒ x(1/a - 1/b) = b - a
⇒ x = (b - a) / (1/a - 1/b)
⇒ x = (b - a) / {(b - a)/ab}
⇒ x = (b - a).ab / (b - a)
∴ x = ab

a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= ( a - b)³ - b³
= (a - 2b){(a - b)² + b(a -b) + b²}
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

a² + b²
= a² + 2ab + b² - 2ab
= (a+b)² - 2ab
সুতরাং a² + b² এর সাথে 2ab যোগ করলে সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: x³ - 2x², x² - 4 ও xy - 2y এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ - 2x² 
= x²(x - 2)

২য় রাশি = x² - 4
= x² - 2² 
= (x + 2)(x - 2)
৩য় রাশি = xy - 2y
= y(x - 2)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 2)

x = √3 - √2
∴ 1/x = √3 + √2 এবং x - 1/x = - 2√2
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (-2√2)³ + 3. -2√2
= -16√2 - 6√2
= -22√2

(a + 2)(a - 2)/(a + 3)(a - 3)

= (a² - 4)/(a² - 9)

a² - 9)a² - 4(1
          a² - 9
          -------
                 5

∴ ভাগশেষ = 5

প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a² + b² = 58 হলে ab এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 10
a² + b² = 58

আমরা জানি,
​(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, (10)² = 58 + 2ab
বা, 100 = 58 + 2ab
বা, 100 - 58 = 2ab
বা, 42 = 2ab
বা, ab = 42/2
∴ ab = 21

a² − 6a + 1 = 0
⇒ a - 6 + 1/a = 0
∴ a + 1/a = 6

প্রশ্ন: x² - √7x + 1 = 0 হলে, x⁶ + (1/x)⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x - √7 + 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √7

∴ (x⁶ + (1/x)⁶
= (x³)² + (1/x³)²
= {x³ + (1/x³)}² - 2.x³.1/x³
= {(x + (1/x)³ - 3. x .1/x (x + 1/x)}² - 2
= {(√7)³ - 3.√7}² - 2
= (7√7 - 3√7)² -2
= (4√7)² - 2
= 112 - 2
= 110

প্রশ্ন: x + y এর সাথে y - z যোগ করুন।

সমাধান:
x + y এবং y - z এর যোগফল = x + y + y - z
= x + 2y - z

প্রশ্ন: a - b = 8 এবং ab = 10 হলে a² + b² + 3ab = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
a - b = 8
এবং ab = 10

প্রদত্ত রাশি, 
a² + b² + 3ab
= (a - b)² + 2ab + 3ab.   ; [a² + b² = (a - b)² + 2ab ]
= (a - b)² + 5ab
= 8² + 5 . 10
= 64 + 50
= 114

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হয়, তবে x² + y² + 4xy = ?

সমাধান:
x² + y² + 4xy
= (x + y)² - 2xy + 4xy
= (x + y)² + 2xy
= (5)² + 2 × 6
= 25 + 12
= 37

(x+(1/x))² - 2.x.(1/x) = 3
⇒ (x+(1/x))² = 5
⇒ x+(1/x) = √5
প্রদত্ত রাশি, (x⁶+1)/x³
= (x⁶/x³)+(1/x³)
= x³+(1/x³)
= (x+(1/x))³-3.x.(1/x)(x+(1/x))
= (√5)³-3√5
= 2√5.

প্রশ্ন: x + y = 4, x - y = 2 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 4 .....(1)
x - y = 2 ......(2)

দুটি সমীকরণ যোগ করলে:
(x + y) + (x - y) = 4 + 2
⇒ 2x = 6 
⇒ x = 3

এখন প্রথম সমীকরণে x এর মান বসাই:
3 + y = 4
⇒ y = 4 - 3 
⇒ y = 1

প্রশ্ন: যদি t² - 4t + 1 = 0 হয়, তাহলে t³ + 1/t³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
t² - 4t + 1 = 0
⇒ t² + 1 = 4t
⇒ (t²/t) + (1/t) = 4t/t
∴ t + 1/t = 4

প্রদত্ত রাশি, 
t³ + 1/t³
= (t + 1/t)³ - 3 . t . (1/t)(t + 1/t)
= (4)3 - 3 . 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 6x² হলে, (x + 1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 6x²
⇒ x⁴ - 4x² + 1 = 0

উভয় পাশে x² দিয়ে ভাগ করি,
⇒ x² - 4 + 1/x² = 0
⇒ x² + 1/x² = 4

আমরা জানি,
(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
⇒ (x + 1/x)² = 4 + 2
∴ (x + 1/x)² = 6

প্রশ্ন: x - 2y - 8 = 0 এবং 2x + y - 12 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 2y - 8 = 0 এবং 2x + y - 12 = 0

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল:
x - 2y - 8 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = x - 8
∴ y = (1/2)x - 4  
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 1/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
2x + y - 12= 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 2x + 12  
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - 2

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂ = (1/2) × (- 2) = - 1  
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ (ab + bc + ca) = {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}/2
= (11² - 45)/2
= (121 - 45)/2
= 76/2
= 38

দেওয়া আছে, p + q = 12 এবং pq = 27
এখন, p² + q²
= (p + q)² - 2 pq
= 12² - 2 × 27
= 144 - 54
= 90

প্রশ্ন: a + 3/a = 4 হলে a³ + 27/a³ এর মান কত?
 
সমাধান: 
a³ + 27/a³
= (a)³ + (3/a)³
= (a + 3/a)³ - 3.a.(3/a).(a + 3/a)
= (4)³ - 3 × 3 × 4
= 64 - 36
= 28