বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

x + y + x - y = 12 + 2
বা, 2x = 14
বা, x = 7
∴ y = 5
∴ xy = 35

সমাধানের বিকল্প পদ্ধতিঃ
4xy = ( x + y)² – (x – y)² [সূত্র]
বা, xy = {(12)² – (2)²}/4
বা, xy = 140/4
∴ xy = 35

প্রশ্ন: p + (1/p) = √3 + √2 হলে, p² + (1/p²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + (1/p) = √3 + √2

এখন,
p² + (1/p²) = {p + (1/p)}² - 2 · p · (1/p)
= (√3 + √2)² - 2
= (√3)² + 2 · √3 · √2 + (√2)² - 2
= 3 + 2 · √3 · √2 + 2 - 2
= 3 + 2√6

দেওয়া আছে,
a² = ৯
⇒ a = √৭ = ৩
এবং b² = ২৫
⇒ b = √২৫ = ৫ 
∴ a + b = ৩ + ৫ = ৮

x² + 9y² + 4x - 12y + 4
= x² + 9y² + 4 + 4x - 12y
= x² + (-3y)² + 2² + 2.x.(-3y) + 2.(-3y).2 + 2.2.x + 6xy
= (x-3y+2)² + 6xy
∴ - 6xy যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি p - 1/p = √5 হয়, তাহলে (p⁶ - 1)/p³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p - 1/p = √5
এখন,
(p⁶ - 1)/p³ 
= (p⁶/p³) - (1/p³)
= p³ - (1/p³)
= {p - (1/p)}³ + 3 × p × (1/p){(p - (1/p)}
⇒ (√5)³ + 3 × √5
⇒ 5√5 + 3√5
∴ (p⁶ - 1)/p³ = 8√5

প্রশ্ন: (x + p)⁶ এর পদ সংখ্যা কয়টি?
 
সমাধান:
আমরা জানি,
(a + x)ⁿ এর পদসংখ্যা = n + 1 টি
সুতরাং (x + p)⁶ এর পদসংখ্যা = 6 + 1 = 7 টি

দেওয়া আছে, x + y = 17 এবং xy = 60
আমরা জানি, (x - y)² = (x + y)² - 4xy = 17² - 4 × 60 = 49
∴ x - y = 7

প্রশ্ন: a - (1/a) = 5√3 হলে a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 5√3
⇒ {a - (1/a)}² = (5√3)²
⇒ a² + (1/a)² - 2.a.(1/a) = 25 × 3
⇒ a² + (1/a)² - 2 = 75
⇒ a² + (1/a)² = 75 + 2
∴ a² + (1/a²) = 77

∴  সঠিক উত্তর: গ) 77

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x³ - (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/{(√3 + √2)(√3 - √2)}
= (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
= (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x = √3 - √2

∴ x - 1/x = √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

এখন,
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√2)³ + (3 × 2√2)
= 16√2 + 6√2 = 22√2

দেওয়া আছে, x - 1/x = 1
এখন, (x + 1/x)²
= (x - 1/x)² + 4. x. 1/x
= 1² + 4
= 1 + 4
= 5

দেওয়া আছে,
a + b + c = 8 এবং ab + bc + ca = 30
আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = 8² - 2 . 30
বা, a² + b² + c² = 64 - 60
সুতরাং 2 + b² + c² = 4

(5a + 5 + 10a)/{a(a + 1)} = 0
বা, 5a + 5 + 10a = 0
বা, 15a + 5 = 0
বা, 15a = -5
বা, ‍a = -5/15
বা, a = -1/3

দেওয়া আছে, p + q = 12 এবং pq = 27
এখন, p² + q²
= (p - q)² + 2 pq
= 12² + 2 × 27
= 144 + 54
= 198

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x³ - 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = √3 - √2

∴ x - 1/x = √3 + √2 - (√3 - √2)
= √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

∴ x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (2√2)³ + 3.2√2
= 8.2√2 + 3.2√2
= 16√2 + 6√2
= 22√2

x² = 100
∴ x = 10
এখন,
x^-3 = 1/x³
= 1/10³
= 1/1000
= 0.001

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে,  2p - 3q + 5r মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 7a + 5b + 6c
q = 3a - b + 9c
এবং r = - 3c + 6b + 4a

∴ 2p - 3q + 5r = 2(7a + 5b + 6c) - 3(3a - b + 9c) + 5(- 3c + 6b + 4a)
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c + 20a + 30b - 15c
= 25a + 43b - 30c

প্রশ্ন: x - y = 3 এবং xy = 10 হলে (x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 3 
xy = 10

এখন
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
(x + y)² = 3² + 4 × 10
(x + y)² = 9 + 40
(x + y)² = 49

x²+y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x-y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x²+y² = (x+y)² - 2xy
⇒ 185 = (x+y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x+y)² = 361
⇒ x+y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x+y) + (x-y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x+y) - (x-y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x,y) = (11, 8)

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং a² + b² = 58 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং a² + b² = 58

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ 10² = 58 + 2ab
⇒ 100 = 58 + 2ab
⇒ 2ab = 100 - 58
⇒ 2ab = 42
∴ ab = 21

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি 2x = 2/x + 3 হয়, তবে 8x³ - 8/x³ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2x = 2/x + 3
⇒ 2x - 2/x = 3
⇒ 2(x - 1/x) = 3
⇒ x - 1/x = 3/2

∴ 8x³ - 8/x³
= 8(x³ - 1/x³)
= 8 {(x - 1/x)³ + 3. x. 1/x(x - 1/x)}
= 8 {(3/2)³ + 3 × 3/2}
= 8 {(27 + 36)/ 8}
= 63

প্রশ্ন: যদি x = 1 + √2 এবং y = 1 - √2 হয়, তাহলে (x² + y²) এর মান কত?

সমাধান:
x = 1 + √2
 y = 1 - √2

x + y = 1 + √2 + 1 - √2
= 2

xy = (1 + √2)(1 - √2)
= 12 - (√2)2
= 1 - 2
= - 1

(x² + y²)= (x + y)² - 2xy
= 22 - 2(- 1)
= 4 + 2
= 6

প্রশ্ন: a - (6/a) = 1 হলে 6/(a² - a + 1) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a - (6/a) = 1
⇒ (a² - 6)/a = 1
⇒ a² - 6 = a
∴ a² - a = 6

প্রদত্ত রাশি, 
6/(a² - a + 1)
= 6/(6 + 1)
= 6/7

প্রশ্ন: 9a² - 12a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9a² - 12a
= (3a)² - 2 × 3a × 2 + (2)² - 4
= (3a - 2)² - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

16x² - px + 625
= (4x)² - px + 25²
∴ px = 2 . 4x . 25
বা, p = 200

প্রশ্ন: a² + b² = 13 এবং ab = 6 হলে, a⁴ + b⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 13 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি,
a⁴ + b⁴
=(a²)² + (b²)²
= (a² + b²)² - 2a²b²
= (a² + b²)² - 2(ab)²
= (13)² - 2 × (6)²
= 169 - 72
= 97

দেওয়া আছে,
x² + y² = 20 এবং
xy = 4
আমরা জানি,
(x - y)² = x² + y² - 2xy
= 20 - 2 × 4
= 20 - 8
= 12

প্রশ্ন: যদি 4a² + (1/a)² = 4 হয়, তবে 8a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a² + (1/a)² = 4
⇒ (2a)² + (1/a)² = 4
⇒ {2a + (1/a)}² - 2 × 2a  × (1/a) = 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 4 + 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 8
 ∴ 2a + (1/a) =√8 = 2√2

এখন, 
8a³ + (1/a)³
= (2a)³ + (1/a)³
= {2a + (1/a)}³- 3 × 2a × (1/a) {2a + (1/a)}
= (2√2)³ - 6 × 2√2
= 16√2 - 12√2
= 4√2

প্রশ্ন: a² + b² = c² হয়, তবে a⁶ + b⁶ + 3a²b²c² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b² = c²

প্রদত্ত রাশি, 
a⁶ + b⁶ + 3a²b²c²
= (a²)³ + (b²)³ + 3a²b²c²
= (a² + b²)³ - 3a²b²(a² + b²) + 3a²b²c²  ; [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
= (c²)³ - 3a²b²c² + 3a²b²c²
= c⁶

a + 1/a + 1 = 0
বা, a² + 1 + a = 0
∴ a² + a + 1 = 0

এখন, a⁶ - 1
= (a³ + 1)(a³ - 1)
= (a + 1)(a² - a + 1)(a - 1)(a² + a + 1)
= (a + 1)(a² - a + 1)(a - 1) × 0
= 0

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:


সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) 4x² + 6x + 9

x² - 3x + 1 = 0
⇒ x² +1 = 3x
⇒ (x² +1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3
সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4.x.1/x
⇒ x - 1/x = √{(3)² - 4}
∴ x - 1/x = √5
এখন,
(x² - 1/x²) = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে 
4b² + 1/b² = 5
(2b)² + (1/b)² = 5
(2b + 1/b)² - 2.2b.1/b = 5
(2b + 1/b)² - 4 = 5
(2b + 1/b)²  = 9
(2b + 1/b) = 3

এখন 
8b³ + 1/b³ = (2b)³ + (1/b)³
= (2b + 1/b)³ - 3.2b.(1/b).(2b + 1/b)
= 3³- 3.2.3
= 27 - 18
= 9

প্রশ্ন: যদি a = √12 + 3 হয়, তবে a³ - (27/a³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = √12 + 3

এখন, 
1/a = 1/√12 + 3
= (√12 - 3)/(√12 + 3)(√12 - 3)
= (√12 - 3)/{(√12)² - 3²}
= (√12 - 3)/(12 - 9)
= (√12 - 3)/3
∴ 3/a = √12 - 3

∴ a - (3/a) = √12 + 3 - √12 + 3 = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a³ - (27/a³) = a³ - (3/a)³
= {a - (3/a)}³ + 3 . a . (3/a){a - (3/a)}      ;[a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)]
= 6³ + (9 × 6)
= 216 + 54
= 270