PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১৬ / ৩৪ · ১,৫০১–১,৬০০ / ৩,৪০১
প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 10 হলে, a2 + (1/a2) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 10
বা, 2{a + (1/a)} = 10
বা, a + (1/a) = 10/2
∴ a + (1/a) = 5
এখন,
a2 + (1/a2)
= a2 + (1/a)2
= {a + (1/a)}2 - {2 × a × (1/a)}
= 52 - 2
= 25 - 2
= 23
(a+b)²- 2ab = a²+ b²
= (√2)² +(√3)²
= 2+3
= 5
প্রশ্ন: x3 + x2y, x2y + xy2, x3 + y3 এবং (x + y)3 এর ল.সা.গু. কত?
সমাধান:
এখানে,
প্রথম রাশি,
x3 + x2y
= x2(x + y)
দ্বিতীয় রাশি,
x2y + xy2
= xy(x + y)
তৃতীয় রাশি,
x3 + y3
= (x + y)(x2 - xy + y2)
চতুর্থ রাশি,
(x + y)3
= (x + y)(x + y)(x + y)
ল.সা.গু. = x2y(x + y)3(x2 - xy + y2)
= x2y(x + y)2(x3 + y3)
x3 + y3 = 20
বা, (x + y)3 - 3xy(x + y) = 20
বা, 23 - 3xy.2 = 20
বা, -6xy = 12
∴ xy = -2
x2 + y2
= (x + y)2 - 2xy
= 22 - 2.(-2)
= 4 + 4
= 8
প্রশ্ন: যদি p + q = √7 এবং p - q = √3 হয়, তবে 8pq(p2 + q2) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = √7
p - q = √3
আমরা জানি,
4pq = (p + q)2 - (p - q)2
এবং,
2(p2 + q2) = (p + q)2 + (p - q)2
এখন,
8pq(p2 + q2)
= (4pq) × 2(p2 + q2)
= [(p + q)2 - (p - q)2] × [(p + q)2 + (p - q)2]
= [(√7)2 - (√3)2] × [(√7)2 + (√3)2]
= (7 - 3) × (7 + 3)
= 4 × 10
= 40
সুতরাং, 8pq(p2 + q2) এর মান 40।
প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a4 + (1/a4) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4
এখন,
{a4 + (1/a4)}
= (a2)2 + (1/a2)2
= {a2 + (1/a2)}2 - 2 · a2 . (1/a2)
= [{a + (1/a)}2 - 2 · a · (1/a)]2 - 2
= {(4)2 - 2}2 - 2
= (14)2 - 2
= 196 - 2
= 194
x4 + 1/x4 = 47
বা, (x2 + 1/x2)2 - 2.x2.1/x2 = 47
বা, (x2 + 1/x2)2 - 2 = 47
বা, (x2 + 1/x2)2 = 49
x2 + 1/x2 = 7
(x + 1/x)2 - 2.x.1/x = 7
বা, (x + 1/x)2 = 9
∴ x + 1/x = ± 3
প্রশ্ন: a - [a - {a - (a + 1)}] এর মান কত?
সমাধান:
a - [a - {a - (a + 1)}]
= a - [a - {a - a - 1}]
= a - [a - {- 1}]
= a - [a + 1]
= a - a - 1
= - 1
প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a2 + 2b2 এর মান নির্ণয় করুন-
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 13 এবং a - b = 3
প্রদত্ত রাশি,
2a2 + 2b2
= 2(a2 + b2)
= (a + b)2 + (a - b)2
= 132 + 32
= 169 + 9
= 178
a + b = -c
∴ a + b + c = 0
এখন,
a3 + b3 - 3abc = a3 + b3 + c3 - 3abc - c3
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) - c3
= 0 - c3
= -c3
প্রশ্ন: যদি a3 - b3 = 513 এবং a - b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
a3 - b3 = 513
a - b = 3
আমরা জানি,
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
33 = 513 - 3ab(3)
27 = 513 - 9ab
9ab = 513 - 27
9ab = 486
ab = 486/9
ab = 54
(x - y)2 = (x + y)2 - 4xy
=72 - (4 × 10)
= 9
প্রশ্ন:
সমাধান:
প্রশ্ন: যদি x + y = 12 এবং xy = 35 হয়, তবে, x2 + y2 = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 এবং xy = 35
আমরা জানি,
x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy
⇒ x2 + y2 = (12)2 - 2(35)
⇒x2 + y2 = 144 - 70
∴ x2 + y2 = 74
প্রশ্ন: যদি a + b = 13 এবং a2 + b2 = 85 হয়, তবে a3 + b3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 85
এবং
a + b = 13
⇒ (a + b)2 = (13)2
⇒ a2 + 2ab + b2 = 169
⇒ a2 + b2 + 2ab = 169
⇒ 85 + 2ab = 169
⇒ 2ab = 169 - 85
⇒ 2ab = 84
⇒ ab = 84/2
⇒ ab = 42
এখন,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= (13)3 - (3 × 42 × 13)
= 2197 - 1638
= 559
(a-b)2
= (a+b)2 - 4ab
= (9m)2 - 4X18m2
= 81m2 - 72m2
= 9m2
∴ (a-b) = ±3m
প্রশ্ন: x + (1/x) = √10 হলে, x3 + (1/x3) এর মান কত?
সমাধান:
এখানে, x + (1/x) = √10
আমরা জানি,
x3 + (1/x3) = (x + 1/x)3 - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= (x + 1/x)3 - 3(x + 1/x)
= (√10)3 - 3 × √10
= 10√10 - 3√10
= 7√10
a + b = -c
∴ a + b + c = 0
এখন, a3 + b3 + c3
= a3 + b3 + c3 - 3abc + 3abc
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
= 3abc
x4 + 1/x3 + x
= 1 - 1 - 1
= -1
ধরি, 4a - 8b = x এবং 3a - 9b = y
∴ x - y = 4a - 8b - 3a + 9b = a + b
এখন প্রদত্ত রাশি = x3 -y3 -3 ( x - y ) xy
= ( x- y )3 = ( a + b )3
প্রশ্ন: 12x2y4 কে 5x2y3 দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে?
সমাধান:
12x2y4 × 5x2y3
= (12 × 5) × (x2 × x2) × (y4 × y3)
= (12 × 5) × (x2 + 2) × (y4 + 3)
= 60x4y7 [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]
∴ নির্ণেয় গুণফল = 60x4y7
প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং x2 + y2 = 20 হয়, তবে x3 + y3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, x + y = 6 এবং x2 + y2 = 20
আমরা জানি,
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
বা, 62 = 20 + 2xy
বা, 36 = 20 + 2xy
বা, 2xy = 36 - 20
বা, 2xy = 16
∴ xy = 8
প্রদত্ত রাশি,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 63 - 3(8) × 6
= 216 - 3(48)
= 216 - 144
= 72
প্রশ্ন: p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে, 3p - 4q + 7r মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 7a + 5b + 6c
q = 3a - b + 9c
এবং r = - 3c + 6b + 4a
∴ 3p - 4q + 7r = 3(7a + 5b + 6c) - 4(3a - b + 9c) + 7(- 3c + 6b + 4a)
= 21a + 15b + 18c - 12a + 4b - 36c + 28a + 42b - 21c
= 37a + 61b - 39c
√7 - x = y
∴ x + y = √7
আবার,
x - √3 = y
∴ x - y = √3
∴ 4xy = (x + y)2 - (x - y)2
= (√7)2 - (√3)2
= 7 -3
= 4
প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 70 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
সমাধান:
a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
= (5)2 + 2 × 70
= 25 + 140
= 165
দেওয়া আছে, a + b = √3 এবং a - b = √2
আমরা জানি, 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
= (√3)2 + (√2)2
= 3 + 2
= 5
y/x = 1/3......(1)
এবং xy = 27.......(2)
(1)নং × (2)নং ⇒ y2 = 9
∴ y = 3
(2)নং থেকে পাই x.3 = 27
∴ x = 9
দেওয়া আছে,
a + 1/a = 3
এখন,
a2 + a + 1/a + (1/a)2
= a + 1/a + a2 + (1/a)2
= (a + 1/a) + (a + 1/a)2 - 2. a. 1/a
= 3 + 32 - 2
=3 + 9 - 2
= 12 - 2
= 10
প্রশ্ন:
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + 1 - √5a = 0
⇒ a2 + 1 = √5a
⇒ (a2 + 1)/a = √5a/a
⇒ (a2/a) - (1/a) = √5
∴ a + (1/a) = √5
আমরা জানি,
{a - (1/a)}2 = {a + (1/a)}2 - 4 · a · (1/a)
= (√5)2 - 4
= 5 - 4
= 1
প্রশ্ন: যদি y2 - (√7)y + 1 = 0 হয়, তবে y3+ (1/y3) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
y2 - (√7)y + 1 = 0
⇒ y2 + 1 = (√7)y
⇒ (y2)/y + 1/y = (√7)y/y [উভয়পক্ষকে y দ্বারা ভাগ করে]
⇒ y + 1/y = √7
এখন,
y3 + 1/y3
= (y + 1/y)3 - 3 . y . 1/y × (y + 1/y)
= (√7)3 - 3 × √7
= 7√7 - 3√7
= 4√7
প্রশ্ন: 2(a2 + b2) = কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
বা, a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab
বা, a2 + b2 = {(a + b)2 + (a - b)2}/2
বা, 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
∴ 2(a2 + b2) = (a + b)2 + (a - b)2
x²+y² = 4
⇒ (x+y)² - 2xy = 4
⇒ 2² - 2xy = 4 [∵ x+y = 2]
⇒ 2xy = 4-4
∴ xy = 0
এখন,
x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²)
= 2(4-0)
= 8
প্রশ্ন: x - 1/x = √3 (যেখানে x ≠ 0) হলে x2 - √3x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 1/x = √3
⇒ (x2 - 1)/x = √3
⇒ x2 - 1 = √3x
∴ x2 - √3x = 1
প্রশ্ন: 125 - 225y + 135y2 - 27y3 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
125 - 225y + 135y2 - 27y3
= 53 - 3 × 52 × 3y + 3 × 5 × (3y)2 - (3y)3
= (5 - 3y)3
= (5 - 3y) (5 - 3y) (5 - 3y)