বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: x³ - x² + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - x² + ax - 12
যেহেতু (x - 3) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 3 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(3) এর মান নির্ণয় করি,
f(3) = (3)³ - (3)² + a(3) - 12
= 27 - 9 + 3a - 12
= 18 + 3a - 12
= 3a + 6

শর্তমতে,
f(3) = 0
⇒ 3a + 6 = 0
⇒ 3a = - 6
∴ a = - 2

আমরা জানি,
(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy
বা, (x + y)^2 = (4)^2 + 4 × 60
বা, (x + y)^2 = 256
বা, x + y = ±√256
∴ x + y = ±16

প্রশ্ন: যদি a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তবে m³ + 2p³ = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p<sup>3

প্রদত্ত রাশি,</sup> 
m³ + 2p³ 
= (a + b)³ + 2(a³ + b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 2a³ + 2b³
= 3a³ + 3a²b + 3ab² + 3b³
= 3a²(a + b) + 3b²(a + b)
= 3(a² + b²)(a + b)
= 3mn

প্রশ্ন: যদি

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি a + 4/a = 6 হলে, a³ + 64/a³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + 4/a = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 64/a³
= a³ + (4/a)³
= (a + 4/a)³ - 3 × a  × (4/a)(a + 4/a)
= (6)3 - 12 × 6
= 216 - 72
= 144

প্রশ্ন: 2a - b = 25 এবং a - 2b = 8 হলে (a - b)² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2a - b = 25 ……………(i)
a - 2b = 8 …………….(ii)

এখন,
(i) - 2 × (ii) করে পাই,

2a - b - 2a + 4b  = 25 -16 
⇒ 3b = 9 
⇒ b = 3

আবার, b এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
 2a - 3 = 25
⇒ 2a = 28
⇒ a = 14

∴ (a - b)² = (14 - 3)² 
= (11)²
= 121

প্রশ্ন: 1 - 1/x = 3 হলে (x² + 1)/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
1 - 1/x = 3
⇒ (x - 1)/x = 3
⇒ x - 1 = 3x
⇒ 2x = - 1
⇒ x = - 1/2

(x² + 1)/x²
= {(- 1/2)² + 1}/(- 1/2)²
= (1/4 + 1)/(1/4)
= (5/4) × 4
= 5

⁴√x³ = 2
বা, x³ = 2⁴
বা, x³ = 16
∴ x⁶ = 16² 
= 256

প্রশ্ন: a² + 1 - √7 · a = 0 হলে  এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1 - √7 · a = 0
⇒ a² + 1 = √7 · a
⇒ (a² + 1)/a = √7a/a
⇒ a + 1/a = √7

এখন,
{a - (1/a)}²
= {a + (1/a)}² - 4 · a · 1/a
= (√7)² - 4
= 7 - 4
= 3

1/(x - y) + 1(x + y) = (x + y + x - y)/(x + y)(x - y)
= 2x/(x² - y²)
∴ -2x/(x² - y²) যোগ করতে হবে

(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
2(ab+bc+ca) = (a+b+c)² - (a²+b²+c²)
2(ab+bc+ca) = 9² - 29
2(ab+bc+ca) = 52
∴ (ab+bc+ca) = 26

x²/y² + 2x/y + 1
= (x/y)²+ 2.(x/y).1 + (1)²
= (x/y +1)²

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং ab + bc + ca = 74 হলে a² + b² + c² = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
ab + bc + ca = 74

আমরা জানি,
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca) 
= (15)² - 2 × 74 
= 225 - 148
= 77

∴ a² + b² + c² = 77

প্রশ্ন: 9x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 

∴ 9x² + 16y² + a 
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y 
= (3x)² + (4y)² + 24xy 
∴ a = 24xy 

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে, a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √3 + √2
বা, 1/a = 1/(√3 + √2)
= {1 × (√3 - √2)} / {(√3 + √2) (√3 - √2)}
= (√3 - √2) / (√3)² - (√2)²
= (√3 - √2) / (3 - 2)
= √3 - √2

∴ ‍a + (1/a) = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

এখন, 
a³ + (1/a)³ = {a + (1/a)}³ - 3.a.(1/a) {a + (1/a)}
= (2√3)³ - 3 × (2√3)
= 8 × 3√3 - 6√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

a³ + b³ = 16
⇒ (a + b)³ - 3ab(a + b) = 16
⇒ 4³ - 3ab.4 = 16
⇒ 64 - 16 = 12ab
⇒ 12ab = 48
∴ ab = 4.

x^-3 - 0.001 = 0
বা, x^-3 = 0.001 = 1/1000
বা, x³ = 1000

প্রশ্ন: a + b + c = 17 এবং a² + b² + c² = 93 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
এবং a² + b² + c² = 93

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
= (17)² - 93
= 289 - 93
= 196
⇒ 2(ab + bc + ac) = 196
∴ ab + bc + ac = 196/2 = 98

প্রশ্ন: যদি a = 2 + √3 হয়, তবে a³ + 1/(a³) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 2 + √3

এখন, 
1/a = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/((2 + √3)(2 - √3))
= (2 - √3)/(4 - 3)
∴ 1/a = 2 - √3

∴ a + 1/a = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/(a³)
= (a + 1/a)³ - 3a(1/a)(a + 1/a)
= 4³ - 3 × 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: 2a + 3b = 14 এবং ab = 5 হলে, 8a³ + 27b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 14
ab = 5

এখন,
8a³ + 27b³
= (2a)³ + (3b)³
= (2a + 3b)³ - 3 ⋅ 2a ⋅ 3b(2a + 3b)
= (2a + 3b)³ - 18ab(2a + 3b)
= 14³ - (18 × 5 × 14)
= 2744 - 1260
= 1484

∴ 8a³ + 27b³ এর মান 1484

x = 2 + √3
∴ 1/x = 2 - √3
∴ x² + 1/x²
= (2 + √3)² + (2 - √3)²
= 2{2² + (√3)²}
= 2(4 + 3)
= 14

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 এবং x - y = 2

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = (12)² - (2)²
⇒ 4xy = 144 - 4
⇒ 4xy = 140
⇒ xy = 140/4
∴ xy = 35

প্রশ্ন: x² - 2x - 3 এবং x² + 2x - 3 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 2x - 3
= x² - 3x + x - 3 
= x(x - 3) + 1(x - 3)
= (x - 3)(x + 1)

২য় রাশি = x² + 2x - 3
= x² + 3x - x - 3
= x(x + 3) - 1(x + 3) 
= (x + 3)(x - 1)

গ.সা.গু. হলো রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক।
এখানে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং ab = 6 হলে a³ + b³ + 4a²b + 4ab² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 5 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + b³ + 4a²b + 4ab²
= a³ + b³ + 4ab(a + b)
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 4ab(a + b)
= (a + b)³ + ab(a + b)
= 5³ + 5 × 6
= 125 + 30
= 155

এখানে,
2x³ + x² = x²(2x + 1),
4x² - 1 = (2x + 1)(2x - 1),
2x2 - x = x(2x - 1)
∴ ল.সা.গু. = x²(2x + 1)(2x - 1)
= x²(4x² - 1)

প্রশ্ন: যদি x - (1/x) = 7 হয় তবে  x³ - (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x - (1/x) = 7

∴ x³ - (1/x)³ 
= {x - (1/x)}³ + 3.x.(1/x){x - (1/x)}
= (7)³ + 3 × 7
= 343 + 21
= 364

প্রশ্ন: p + q = 9 এবং p² + q² = 45 হলে, p³ + q³ এর মান কত?

সমাধান:
p² + q² = 45
⇒ (p + q)² - 2pq = 45
⇒ 9² - 2pq = 45
⇒ 81 - 2pq = 45
⇒ - 2pq = 45 - 81
⇒ - 2pq = - 36
∴ pq = 18

এখন,
p³ + q³ = (p + q)³ - 3pq(p + q)
= 9³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 54 × 9
= 729 - 486
= 243

∴ p³ + q³ এর মান 243 

প্রশ্ন: যদি x = 2 হয়, তাহলে x³ + 27x² + 243x + 729 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = 2

প্রদত্ত রাশি, 
x³ + 27x² + 243x + 729
= x³ + 3. x² . 9 + 3 . x . 9² + 9³
= (x + 9)³
= (2 + 9)³
= (11)³
= 1331

দেওয়া আছে, x + y = 18……(i) এবং x - y = 4…….(ii)
(i) + (ii) = 2x = 22
∴ x = 11
∴ (i) নং হতে, 11 + y = 18
⇒ y = 7 
∴ xy = 11 × 7 = 77

প্রশ্ন: a = 4 এবং b = - 1 হলে, (5a + 3b) + (- 2a - 6b) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a = 4 এবং b = - 1 

প্রদত্ত রাশি = (5a + 3b) + (- 2a - 6b)
= 5a + 3b - 2a - 6b
= 3a - 3b
= (3 × 4) - {3 × (- 1)}
= 12 + 3
= 15

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3x.1/x (x - 1/x)
= 1³ + 3. 1
= 4

1/(x - 2) - {(3 - x)/(x - 2)}
= (1 - 3 + x)/(x - 2)
= (x - 2)/(x - 2)
= 1

প্রশ্ন: 64a² + 48a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

64a² + 48a
= 64a² + 48a + 9 - 9
= (8a)² + 2 ×(8a) × (3)+ (3)² - 9
= (8a + 3)² - 9

সুতরাং, 64a² + 48a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং xy = 16 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 10 এবং xy = 16

প্রদত্ত রাশি = x³ + y³
= (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 10³ - (3 × 16 × 10)
= 1000 − 480
= 520