বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: 36m² + 64n² রাশিটির সাথে কোনটি যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
36m² + 64n²
⇒ (6m)² + 2 . 6m . 8n + (8n)2 
⇒ 36m² + 96mn + 64n²

∴ 36m² + 64n² রাশিটি সাথে 96mn যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: (1/2) {(p + q)² - (p - q)²} এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
(p + q)² - (p - q)² = 4pq
∴  (1/2) {(p + q)² - (p - q)²}
= (1/2) × 4pq
= 2pq

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 5² = (a² + b² + c²) + 2.8
বা, 25 - 16 = a² + b² + c²
∴ a² + b² + c² = 9

Given, p - 6/p = 1
⇒ p² - 6 = p
⇒ p² - p = 6
So, 3/(p²-p+3)
∴ 3/(6+3) = 1/3

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দ্বারা একটি সরল রেখা বোঝায় না?

সমাধান: 
সরল রেখার সমীকরণ হওয়ার শর্ত হলো y = mx + c
যেখানে, m = ঢাল এবং c = ধ্রুবক সংখ্যা।
প্রশ্নের অপশনগুলোর ক), খ) এবং ঘ) এই শর্তটি পূরণ করে বলে সমীকরণ তিনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করবে।

কিন্তু শুধু অপশন গ) এর 
y(2 + x) = 3
⇒ 2y + xy = 3
⇒ xy + 2y = 3
যা সরল রেখা হওয়ার শর্তটি পূরণ করে না। তাই এটি উত্তর।

প্রশ্ন: a + 3 + (1/a) = 0 হলে a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 3 + (1/a) = 0
⇒ a + (1/a) = - 3

এখন,
a³ + (1/a)³ 
= {a + (1/a)}³ - 3.a.(1/a){a + (1/a)}
= (- 3)³ - 3(- 3)
= - 27 + 9
= - 18

প্রশ্ন: (3, 10) এবং (7, 26) বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিন্দু দুইটি হলো (x₁, y₁) = (3, 10)
এবং (x₂, y₂) = (7, 26)।

আমরা জানি, সরলরেখার ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (26 - 10)/(7 - 3)
= 16/4
= 4

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো 4।

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং x² + y² = 13 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
⇒ (x + y)² = 5²
⇒ x² + 2xy + y² = 25 [যেহেতু x² + y² = 13]
⇒ 13 + 2xy = 25
⇒ 2xy = 12
∴ xy = 6

এখন,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

প্রশ্ন: যদি a + b = 15 এবং a² + b² = 117 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + b = 15 এবং a² + b² = 117

আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 2ab = (a + b)² - (a² + b²)
⇒ 2ab = 15² - 117
⇒ 2ab = 225 - 117
⇒ 2ab = 108
⇒ ab = 108/2
∴ ab = 54

প্রশ্ন: x + y = √11 এবং x - y = √3 হলে, 8xy(x² + y²) =?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√11)² - (√3)²}{(√11)² + (√3)²}
= (11 - 3)(11 + 3)
= 8 × 14
= 112

প্রশ্ন: যদি 2q = 2/q + 3 হয়, তবে 8q³ - 8/q³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2q = 2/q + 3
⇒ 2q - 2/q = 3
⇒ 2(x - 1/q) = 3
⇒ q - 1/q = 3/2

∴ 8q³ - 8/q³
= 8(q³ - 1/q³)
= 8 {(x - 1/q)³ + 3. q. 1/q(q - 1/q)}
= 8 {(3/2)³ + 3 × 3/2}
= 8 {(27 + 36)/ 8}
= 63

প্রশ্ন: যদি x - y = 14 এবং xy = 120 হয়, তাহলে x + y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, x - y = 14
এবং xy = 120

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (14)² + 4 × 120
⇒ (x + y)² = 196 + 480
⇒ (x + y)² = 676
⇒ x + y = √676
∴ x + y = 26

প্রশ্ন: a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6 হলে, (a + b)² + (b + c)² + (c + a)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5 এবং ab + bc + ac = 6

প্রদত্ত রাশি, 
(a + b)² + (b + c)² + (c + a)²
= a² + 2ab + b² + b² + 2bc + c² + c² + 2ca + a²
= 2(a² + b² + c²) + 2ab + 2bc + 2ca
= 2{(a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)} + 2(ab + bc + ca)
= 2{5² - 2 × 6} + 2 × 6
= 2(25 - 12) + 12
= 2 × 13 + 12
= 26 + 12
= 38

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং, 
a² + b² = 25

আমরা জানি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ 25 = (7)² - 2ab
⇒ 25 = 49 - 2ab
⇒ 2ab = 49 - 25
⇒ 2ab = 24
∴ ab = 12

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে (9x² - xy + 16) রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9x² - xy + 16
= (3x)² - 2 × 3x × 4 + 4²
= (3x - 4)²

অতএব,
- xy = - 2 × 3x × 4
⇒ - xy = - 24x
⇒ y = 24

∴ y এর মান 24 হলে প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

1/x³ এর লব ও হরের সাথে -x যোগ করে পাই,
(1 - x)/(x³ - x)
= -(x - 1)/{x(x² - 1)}
= - (x - 1)/{ x(x + 1)(x - 1)}
= - {1/(x² + x)}

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: x² = 5 + 2√6 হলে, 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x² = 5 + 2√6 
⇒ x² = 3 +  2√6 + 2
⇒ x² = (√3)² + 2 (√3)(√2) + (√2)²
⇒ x² = (√3 + √2)²
∴ x = √3 + √2

এখন, 
 1/x = 1/(√3 + √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x= √3 - √2

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = 8 এবং x - y = 4

আমরা জানি, xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= {(8/2}² - {(4/2}²
= 4² - 2²
= 16 - 4
= 12

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 21 এবং a² - ab + b² = 3 হলে, a² + ab + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 21
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 21
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 21
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 21
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 21
⇒ (a² + ab+ b²). 3 = 21
⇒ a² + ab + b² = 21/3
∴ a² + ab + b² = 7

প্রশ্ন: যদি x = √3 +√2 হয়, তাহলে, x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √3 + √2
বা, 1/x =  √3 - √2

এখন, 
 x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2 
∴ x + 1/x = 2√3 

আমরা জানি, 
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (2√3)³ - 3 . 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, (x² - 1/x²)² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 5

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 5² - 4 = 25 - 4 = 21
∴ (x - 1/x) = √21

প্রদত্ত রাশি, 
(x² - 1/x²)²
= {(x + 1/x)(x - 1/x)}²
= (5 × √21)²
= 25 × 21
= 525

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: 2x² + 3x + 1 এর ক্ষুদ্রতম মান হবে:

সমাধান: 
প্রদত্ত সমীকরণ,
f(x) = 2x² + 3x + 1
এখন, f(x) = ax² + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
a = 2, b = 3 এবং c = 1

যদি a > 0 হয়, তাহলে সমীকরণটির (দ্বিঘাত ফাংশনের) ক্ষুদ্রতম মান = c - (b²/4a)
= 1 - {3²/(4 × 2)}
= 1 - (9/8)
= (8 - 9)/8
= - 1/8

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 14a² + 1 = 0 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 14a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 14a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 14
⇒ a² + (1/a²) = 14
⇒ {a + (1/a)}² - 2 . a . (1/a) = 14 
⇒ (a + 1/a)² = 14 + 2
⇒ a + (1/a) = √16
∴ a + (1/a) = ± 4

 আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (6)² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: x + (1/x) = 3 হলে {x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x= 3
⇒ (x + 1/x)² = 3²
⇒ x² + 2 . x . (1/x) + 1/x² = 9
⇒ x² + 1/x² = 9 - 2
∴ x² + 1/x² = 7

আবার,
x² + 1/x² = 7
⇒ {x² + (1/x²)}² = 7²
⇒ (x²)² + 2 . x² . (1/x²) + (1/x²)² = 49
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 49 - 2
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 47

সুতরাং,
{x² + (1/x²)}{x⁴ + (1/x⁴)} = 7 × 47 = 329

প্রশ্ন: 8x - by - 9 = 0 এবং 4x + 3y + 2 = 0 সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হলে b এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x - by - 9 = 0
⇒ by = 8x + 9
∴ y = (8/b)x + (9/b)
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 8/b ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে] 

আবার, 
4x + 3y + 2 = 0
⇒ 3y = - 4x - 2
∴ y = (- 4/3)x - 2/3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = - 4/3

আমরা জানি, 
সমান্তরাল হওয়ার শর্ত - দুটি রেখা সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হবে।
অর্থাৎ, m₁ = m₂
​⇒ 8/b = - 4/3
​⇒ - 4b = 24
​⇒ b = 24/- 4
∴ b = - 6

সুতরাং, b এর মান - 6 হলে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে।