বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ

প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে, (1/27)(a³ + b³ + c³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
a + b = - c

এখন,
(1/27)(a³ + b³ + c³)
= (1/27){(a + b)³ - 3ab(a + b) + c³}
= (1/27){(- c)³ - 3ab( - c) + c³}
= (1/27)( - c³ + 3abc + c³)
= (1/27) × 3abc
= abc/9

প্রশ্ন: x + (1/x) = √3 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + (1/x) = √3

আমরা জানি, a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . 1/x . {x + (1/x)}
= (√3)³ - 3(√3)
= 3√3 - 3√3
= 0

দেওয়া আছে,
a + 1/a = √3.

∴ a³ + 1/a³ = (a + 1/a)3 - 3.a.1/a (a + 1/a)
= (√3)3 - 3.√3 [a + 1/a = √3 বসিয়ে]
= 3√3 - 3√3
= 0

প্রশ্ন: যদি (x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0 হয়, তবে x²/9 + y²/25 + z²/16 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x - 3)² + (y - 5)² + (z - 4)² = 0

আমরা জানি, 
যদি বর্গফলের যোগফল শূন্য হয়, তাহলে প্রতিটি বর্গফলও শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ,
∴ (x - 3)² = 0 
∴ x = 3
(y - 5)² = 0
∴ y = 5
এবং, 
(z - 4)² = 0
∴ z = 4

প্রদত্ত রাশি, 
x²/9 + y²/25 + z²/16
= (3²/9) + (5²/25) + (4²/16)
= (9/9) + (25/25) + (16/16)
= 1 + 1 + 1
= 3

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, a + b + c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² + c² = 9
এবং ab + bc + ca = 8

আমরা জানি,
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)
⇒ (a + b + c)² = 9 + (2 × 8)
⇒ (a + b + c)² = 25
∴ a + b + c = 5

a = √5 + 2 হলে,
1/a = √5 - 2
∴ a + 1/a = 2√5
a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3.a.1/a(a + 1/a)
= (2√5)³ - 3(2√5)
= 40√5 - 6√5
= 34√5

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 3 হলে 4x² - 36xy + 81y²-এর মান কত?

সমাধান:
4x² - 36xy + 81y²
= (2x)² - 2.(2x).(9y) + (9y)²
= (2x - 9y)²
= {2(8) - 9(3)}²
= (16 - 27)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 12 এবং ab = 9 হয়, তাহলে এর মান কত? 

সমাধান: 

প্রশ্ন: K এর কোন মানের জন্য 5x + 4y - 1 = 0 এবং 2x + Ky - 7 = 0 সরলরেখা দুটি সমান্তরাল? 

সমাধান: 
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢাল সমান হতে হবে।

দেওয়া আছে, 
প্রথম সরলরেখা, 5x + 4y - 1 = 0
⇒ 4y = - 5x + 1
⇒ y = (- 5/4)x + (1/4)
∴ ঢাল m₁ = - 5/4  ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

আবার, 
দ্বিতীয় সরলরেখা, 2x + ky - 7 = 0
⇒ ky = - 2x + 7 
⇒ y = (- 2/k)x  + 7/k ; (যদি k ≠ 0 হয়)
∴ ঢাল m₂ = - 2/k ; [y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই] 

∴ সমান্তরাল হওয়ার শর্ত, m₁ = m₂
⇒ - 5/4 = - 2/k
⇒ 5/4 = 2/k
⇒ 5k = 8
∴ k = 8/5

সুতরাং, k-এর মান 8/5 হলে দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হবে।

প্রশ্ন: x - 1/x = √2 হলে x³ - 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3. x. 1/x (x - 1/x)
= (√2)³ + 3. √2
= 2√2 + 3√2
= 5√2

প্রশ্ন: যদি x = 997, y = 998 এবং z = 999 হয়, তাহলে x² + y² + z² - xy - yz - zx = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = 997, y = 998 এবং z = 999

প্রদত্ত রাশি, 
x² + y² + z² - xy - yz - zx
= (1/2)[2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx]
= (1/2)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
= (1/2)[(997 - 998)² + (998 - 999)² + (999 - 997)²]
= (1/2)[(- 1)² + (- 1)² + (2)²]
= (1/2)[1 + 1 + 4]
= (1/2) × 6
= 3

প্রশ্ন: যদি a = x² + z² , b = y² + z² , c = x² + y² হয়, তবে  a + b - c এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = x² + z²
b = y² + z²
c = x² + y²

∴ a + b - c = x² + z² + y² + z² - (x² + y²)
= x² + z² + y² + z² - x² - y²
= 2z²

xy(x² + y²) = 1/8 × 4xy × 2(x² + y²)
= 1/8 × {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= 1/8 × (4² - 2²)(4² + 2²)
= 1/8 × (16 - 4)(16 + 4)
= 1/8 × 12 × 20
= 30

প্রশ্ন: যদি a + b = c হয়, তাহলে a³ + b³ + 3abc = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = c

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 3abc
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 3abc
= (c)³ - 3ab . (c) + 3abc
= c³ - 3abc + 3abc
= c³

x + 1/x = 2
x²+1 = 2x
(x-1)² = 0
x = 1
∴ x/(x²+x-1)
= 1/(1²+1-1)
= 1

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 4 হয়, তবে {x² - (1/x²)}² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 4² - 4 = 16 - 4 = 12
∴ x - (1/x) = √12

প্রদত্ত রাশি, 
x² - (1/x²)²
= [{x + (1/x)}{x - (1/x)}]²
= (4 × √12)²
= 16 × 12
= 192

x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= 1³ + 3.1
= 4

দেওয়া আছে, x + y = 3
এখন, x³ + y³ + 9xy
= (x + y)³ - 3xy(x + y) + 9xy
= 3³ - (3xy × 3) + 9xy
= 27 - 9xy + 9xy
= 27

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?

সমাধান: 
9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9, b = - b এবং c = 81

এখন সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবার শর্ত হলো, b² - 4ac = 0
b² = 4ac
⇒ (- b)² = 4 × 9 × 81  ;[মান বসিয়ে]
⇒ b² = 36 × 81
⇒ b = ±√(36 × 81) = ±√(6² × 9²)
⇒ b = ±√(6 × 9)²
∴ b = ± 54

প্রশ্ন: p + q = 10 এবং p - q = 2 হলে p² + q² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
p + q = 10 
p - q = 2

আমরা জানি, 
2(p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²
⇒ 2(p² + q²) = 10² + 2²
⇒ 2(p² + q²) = 100 + 4
⇒ 2(p² + q²) = 104
⇒ (p² + q²) = 104/2
∴ (p² + q²) = 52

a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2 . a . 1/a
= (4)² - 2
= 16 - 2
= 14

প্রশ্ন: 3x² - 2x + 1 = 0 সমীকরণের মূলগুলো কিরূপ হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3x² - 2x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই, 
এখানে, a = 3, b = - 2 এবং c = 1

আমরা জানি, 
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac 
= (- 2) ² - 4⋅3⋅1 
= 4 - 12
= - 8

যেহেতু নিশ্চায়ক D < 0 (ঋণাত্মক), তাই এই সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই (মূলগুলো হবে অবাস্তব বা কাল্পনিক)

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং ab = 15 হলে, a² +b² এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8
ab = 15

সূত্র অনুযায়ী,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ a² + b² = (a + b)² - 2ab
⇒ a² + b² = 8² - 2(15)
⇒ a² + b² = 64 - 30 
⇒ a² + b² = 34

∴ a² +b² এর মান = 34 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 63 এবং বর্গের যোগফল 130। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = x ও y

দেওয়া আছে,
xy = 63
x² + y² = 130

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 130 + (2 × 63)
= 130 + 126
= 256
∴ x + y = √256 = 16

x+y = 8 এবং xy = 15 হলে,
(x-y)² = (x+y)² -4xy
x-y = 2
∴(x-y)⁴ =2⁴ = 16