জ্যামিতি

ধরি, 
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² বর্গসে.মি.

সুতরাং,
√3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 4 × 16
বা, a² = 64
বা, a = 8

পরিসীমা = 3a সে.মি. = 3 × 8 = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: ৪ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি. 

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তঃস্থ সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = √৩ × বৃত্তের ব্যাসার্ধ 
= √৩ × ৪ 
= ৪√৩

এখন,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২
= (√৩/৪) × (৪√৩)^২
= (√৩/৪) × ১৬ × ৩ 
= ১২√৩ 

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১২√৩ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: secθ + tanθ = x তাহলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = x ........(1)

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ x(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/x ........(2)

এখন, (1) হতে (2) বিয়োগ করলে পাই,
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = x - (1/x)
⇒ 2 tanθ = (x² - 1)/x
∴ tanθ = (x² - 1)/2x

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৪ মিটার হলে অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহু কত মিটার?

সমাধান:
একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ  এবং বাহু এর মধ্যে সম্পর্ক:
ব্যাসার্ধ =  বাহু / √৩ 
প্রদত্ত ব্যাসার্ধ = ব্যাস/২ = ১৪/২ = ৭

তাহলে,
৭ = বাহু / √৩
বাহু = ৭√৩ মিটার 

∴সমবাহু ত্রিভুজের বাহু = ৭√৩ মিটার 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরের সীমানা ঘেষে 7 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 7) = 63 মিটার

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr²
= (22/7) × 56 × 56 বর্গমিটার 
= 9856 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR²
= 22/7 × 63 × 63 বর্গমিটার 
= 12474 বর্গমিটার (প্রায়) 

∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = (12474 - 9856) বর্গমিটার
= 2618 বর্গমিটার (প্রায়)।

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2618 বর্গমিটার

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)² = 16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr² = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান : 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²  
 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ হবে। 

অপশনে ১৫ থাকলে প্রশ্নের ভাষার লজিক অনুযায়ী সঠিক উত্তর হবে ১৫। 
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না,  তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
এর বৃহত্তম জ্যা বা ব্যাস = 2r
ব্যাস ও ব্যাসার্ধের অনুপাত = 2r : r = 2:1

প্রশ্ন: ১৫ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে মাটি স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান: 
 

ধরি, মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।
সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১৫ ফুট।
তাহলে, দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা (লম্ব) = h ফুট।
এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = (১৫ - h) ফুট।

আমরা জানি, 
sin 30° = লম্ব/অতিভুজ 
বা, ১/২ = h/(১৫ - h)
বা, (১৫ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৫
বা, h = ১৫/৩ 
∴ h = ৫

সুতরাং, মাটি থেকে ৫ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজে বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। উচ্চতার দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র:
h = (√3/2) × a

যেখানে, a হলো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু।
প্রদত্ত: a = 10

h = (√3/2) × 10 = 5√3

∴ সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 5√3 সেমি

প্রশ্ন: x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কী হবে? 

সমাধান: 
x + 3y = 0 
বা, 3y = - x 
∴ y = (- 1/3)x, যা y = mx এর অনুরূপ। 
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx 
∴ x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র হবে মূল বিন্দুগামী সরলরেখা।

বৃহত্তম কোণ = (360 × 4)/10 = 144°

এখানে, ব্যাসার্ধ r = 1
πr²= π 1² = π বর্গ একক

বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমান দূরবর্তী।

আমরা জানি, sin^-1x + sec^-11/x = π/2

ধরি,
সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
প্রশ্নমতে, ক^২ + ক^২ = ১২^২
বা, ক = ৬√২
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৬√২ × ৬√২
= ৩৬ বর্গমিটার।

দূরত্ব = √(15)²+(8)² = 17

আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
০.৫ হেক্টর = ৫০০০ বর্গমিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু a মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল a² বর্গমিটার

এখানে,
a² = ৫০০০ বর্গমিটার

কর্ণ =√(a² + a²)
=√(৫০০০ + ৫০০০)
=√১০০০০
=১০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহু 3 গুণ হলে, তার আয়তন কতগুণ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a

আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন, V = a³

ঘনকের এক বাহু 3 গুণ হলে, নতুন বাহু = 3a
ঘনকের নতুন আয়তন, V' = (3a)³= 27a³

∴ V'/V = 27a³/a³ = 27

∴  আয়তন 27 গুণ হবে।

ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h হলে,
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100 ......... (1)
আয়তন = πr²h = 150 ............ (2)

(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
πr²h/2πrh = 150/100
বা, r = 300/100
= 3

প্রশ্ন: একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি., প্রস্থ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 3 সে.মি. হলে, 60 সে.মি. দৈর্ঘ্য, 48 সে.মি. প্রস্থ এবং 36 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কার্টনের মধ্যে কতটি কাঠের ব্লক রাখা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য = 5 সে.মি., প্রস্থ = 4 সে.মি., উচ্চতা = 3 সে.মি.

∴ একটি কাঠের ব্লকের আয়তন = 5 × 4 × 3 = 60 ঘন সে.মি.

কার্টনের আয়তন = 60 × 48 × 36 = 103680 ঘন সে.মি.

∴ কার্টনে কাঠের ব্লক রাখা যাবে = 103680/60
= 1728 টি

প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?

সমাধান: 
মনে করি,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m 

∴ গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ছোট গোলকের আয়তন
= (4/3)πR³/(4/3)πr³
= R³/r³
= 4³/1³
= 64/1
= 64

∴ গোলক বানানো যাবে = 64 টি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলো যথাক্রমে (x + ১০)°, (x + ২০)° এবং (x + ৩০)° হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°

এখন, 
(x + ১০)° + (x + ২০)° + (x + ৩০)° = ১৮০°
⇒ x + ১০° + x + ২০° + x + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৩x + ৬০° = ১৮০°
⇒ ৩x = ১৮০° - ৬০°
⇒ ৩x = ১২০°
⇒ x = ১২০°/৩ = ৪০°
∴ x = ৪০°
∴ বৃহত্তম কোণ = x + ৩০ = ৪০ + ৩০ = ৭০°

অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ ৭০°। 

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাস এবং 4 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বেলন গলিয়ে 4 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতিটি গোলকের ব্যাস কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = 12 সেমি
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ, R = 12/2 = 6 সেমি
উচ্চতা, h = 4 সেমি

∴ বেলনের আয়তন = πR²h
= π × (6)² × 4
= π × 36 × 4
= 144π ঘন সেমি

মনে করি, প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি,
 গোলকের আয়তন = (4/3)πr³

প্রশ্নমতে,
4 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন
⇒ 4 × (4/3)πr³ = 144π
⇒ 16/3πr³ = 144π
⇒ r³ = (144 × 3)/16
⇒ r³ = 9 × 3
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3 সেমি

সুতরাং, প্রতিটি গোলকের ব্যাস = 2r = 2 × 3 = 6 সেমি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। ত্রিভুজটির অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো এক বাহু অপর দুই বাহুর যোগফলের চেয়ে ছোট এবং বিয়োগফলের চেয়ে বড় হবে।
এখানে অপর বাহু (x) হলে,
শর্তটি হবে,
7 - 5 < x < 7 + 5
অথবা, 2 < x < 12

এখন প্রতিটি অপশন যাচাই করি—

ক) x = 2 হলে,
x > 2 শর্ত পূরণ করে না।
অতএব, এটি হতে পারে না।

খ) x = 3 হলে,
2 < 3 < 12 — শর্ত পূরণ করে।
অতএব, এটি হতে পারে।

গ) x = 12 হলে,
x < 12 শর্ত পূরণ করে না।
অতএব, এটি হতে পারে না।

ঘ) x = 13 হলে,
x < 12 শর্ত পূরণ করে না।
অতএব, এটি হতে পারে না।

∴ সঠিক উত্তর খ) 3 সে.মি.

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ৬a² = ২৯৪
বা, a² = ৪৯
∴ a = ৭
∴ ঘনকের আয়তন = ৭^৩
= ৩৪৩ ঘন সেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি সুষম ১৮-বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বাহুর সংখ্যা n = ১৮

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/১৮ = ২০°

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ২০°
= ১৬০°

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতার অনুপাত ৫ : ৪ এবং ক্ষেত্রফল ২০০০ বর্গ মিটার হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি : উচ্চতা = ৫ : ৪
ক্ষেত্রফল = ২০০০ বর্গ মিটার

ধরি, ভূমি = ৫x মিটার
উচ্চতা = ৪x মিটার

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
২০০০ = ৫x × ৪x
⇒ ২০x^২ = ২০০০
⇒ x^২ = ২০০০/২০
⇒ x^২ = ১০০
⇒ x = √১০০ = ১০
∴ x = ১০ মিটার

∴ উচ্চতা = ৪x = ৪ × ১০ = ৪০ মিটার

সুতরাং, সামান্তরিকের উচ্চতা ৪০ মিটার

আমরা জানি,
• পূরক কোণ = 90° এবং
• সম্পূরক কোণ = 180
• পূরক কোণের একটি কোণ 35° হলে অপর কোণ = 90° - 35° = 55°।

প্রশ্ন: (- 2, 5) এবং (4, - 1) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বিন্দু দুইটি (- 2, 5) এবং (4, - 1)

আমরা জানি, 
বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
= √{(4 + 2)² + (- 1 - 5)²}
= √{(6)² + (- 6)²}
= √(36 + 36) 
= √72
= √(2 × 36)
= 6√2

∴ বিন্দু (-2, 5) এবং (4, -1)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব = 6√2