জ্যামিতি

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴ ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ৩ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ × (৬ + ৩) মিটার
= ২ × ৯ মিটার
= ১৮ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় = ৪৫ টাকা
∴ ১৮ মিটারে খরচ হয় = (৪৫ × ১৮) টাকা
= ৮১০ টাকা। 

প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোনো দুটি বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
যদি দুটি বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর সমান বা কম হয়, তাহলে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।

খ) ২ + ৫ = ৭, যা তৃতীয় বাহুর চেয়ে ছোট; তাই ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

প্রদত্ত চিত্রে PQ = PR সুতরাং PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°

ধরি,
ΔABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a
এবং দেওয়া আছে, ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ৬ সেঃমিঃ
∴ ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, a/SinA = 2R
বা, a = 2RSinA
∴ a = ২.৬(Sin৬০°)
= ১২ × (√(৩)/২)
= ৬√৩
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = {√(৩)/৪}a²
= {√(৩)/৪}(৬√৩)²
= {√(৩)/৪} × ১০৮
= ২৭√৩

প্রশ্ন: 3x + y - 5 = 0 এবং x - 3y + 7 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 3x + y - 5 = 0 এবং x - 3y + 7 = 0
আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ y = mx + c (যেখানে m = ঢাল)

এখন, প্রথম রেখার ঢাল:
3x + y - 5 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ y = - 3x + 5
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল m₁ = - 3

দ্বিতীয় রেখার ঢাল:
x - 3y + 7 = 0
সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 3y = x + 7
⇒ y = (1/3)x + 7/3
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল m₂ = 1/3

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂ = (- 3) × (1/3) = - 1

উল্লেখ্য: রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1

প্রশ্ন: sin30° + cos60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sin30° = 1/2
cos60° = 1/2

প্রদত্ত রাশি, 
sin30° + cos60°
= (1/2) + (1/2) 
= (1 + 1)/2
= 2/2
= 1

আমরা জানি,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a² এবং আয়তন = a³
প্রশ্নানুসারে,
6a² = 150
বা, a² = 25
বা, a = 5
সুতরাং আয়তন = 5³
= 125 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: সরল করুন: cot90° × tan0° × sec30° + cosec60°

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cot90° × tan0° × sec30° + cosec60°
= 0 × 0 × (2/√3) + 2/√3  ; [cot90° = 0, tan0° = 0, sec30° = 2/√3 এবং cosec60° = 2/√3] 
= 0 + 2/√3
= 2/√3

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = 45°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a = b = 12 সে.মি.
আমরা জানি,
 ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × absinθ
= (1/2) × 12 × 12 × sin 45°
= 72 × (1/√2)
= 72 × (√2/2)
= 36√2 বর্গ সে.মি.

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36√2 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৭ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কোণ = ক
তাহলে, সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

শর্তমতে,
ক = ৭(১৮০° - ক)
বা, ক = ১২৬০° - ৭ক
বা, ক + ৭ক = ১২৬০°
বা, ৮ক = ১২৬০°
বা, ক = ১৫৭.৫°

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান:

 ধরি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = n
∴ কোণগুলোর সমষ্টি = (2n - 4) সমকোণ

 অষ্টভুজের জন্য, n = 8
∴ কোণগুলোর সমষ্টি = (2 × 8 - 4) সমকোণ
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 12 সমকোণ

অর্থাৎ, একটি অষ্টভুজের কোণের সমষ্টি ১২ সমকোণ 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ মিটার কম। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = (২ক - ৬) মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
২{(২ক - ৬) + ক} = ৪৮
বা, ২(৩ক - ৬) = ৪৮
বা, ৬ক - ১২ = ৪৮
বা, ৬ক = ৪৮ + ১২
বা, ৬ক = ৬০
বা, ক = ৬০/৬
∴ ক = ১০

∴ প্রস্থ = ১০ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২(১০) - ৬ = ২০ - ৬ = ১৪ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১৪ × ১০
∴ ক্ষেত্রফল = ১৪০ বর্গমিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হলো ১৪০ বর্গমিটার।

xsin45º=ycosec30º
⇒x.(1/√2) = y.2
⇒ x/y = 2√2
⇒(x/y)⁴ = (2√2)⁴
∴(x/y)⁴ = 64 = 4³

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য ৩০ সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের ব্যাস = ২r
এবং বৃত্তের পরিধি = ২πr

প্রশ্নমতে,
২πr - ২r = ৩০
⇒ ২r(π - 1) = ৩০
⇒ ২r{(২২/৭) - 1} = ৩০
⇒ ২r{(২২ - ৭)/৭} = ৩০
⇒ ২r(১৫/৭) = ৩০
⇒ r = (৩০ × ৭)/(২ × ১৫)
⇒ r = ২১০/৩০
∴ r = ৭

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি।

মধ্যবর্তী দূরত্ব h হলে,
৭০ = ১/২ × h × (৯+১১)
বা, ৭০ = h/২ × ২০
∴ h = ৭

ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা (s) = (১৩ + ১৪ + ১৫)/২ = ২১ মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = √{২১(২১ - ১৩)(২১ - ১৪)(২১ - ১৫)} = ৮৪ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 সে.মি.
যদি একটি বর্গ বৃত্তস্থ হয়, তবে বৃত্তের ব্যাস = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √(2² + 2²)
= √(4 + 4)
= √8
= 2√2 সে.মি.
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2√2 সে.মি.

এখন, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (2√2)/2 = √2 সে.মি.

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × (√2)² = 2π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: বিন্দু (1, 2) থেকে রেখা x + y - 3 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু-
 (x1, y1) = (1, 2)
প্রদত্ত রেখা-
 x + y − 3 = 0 যেখানে A = 1, B = 1, C = −3 

আমরা জানি, 
বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র- 
d = ​|Ax₁​ + By₁​ + C |/√(A² + B²)
= ​|(1​).(1) + (1​).(2)+ (−3) |/√(1)² + (1)²) 
= ​|1​ + 2 − 3) |/√(1 + 1))
= ​|3 − 3|/√2
= ​|0| /√2
= 0

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গমিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৮০ বর্গমিটার
একটি সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১২ মিটার
উচ্চতা, h = ৮ মিটার
ধরি, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = b মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (a + b) × h
⇒ ৮০ = (১/২) × (১২ + b) × ৮
⇒ ৮০ = (১২ + b) × ৪
⇒ ১২ + b = ৮০ / ৪
⇒ ১২ + b = ২০
⇒ b = ২০ - ১২
⇒ b = ৮ মিটার

∴ অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার।

প্রশ্ন: 75° কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

∴ 75° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 75°

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১/২ × ৪ × ৩
= ৬ বর্গ মিটার 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৭৬৮ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার = ২৮ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার 
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
-অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান ৯০°

প্রশ্ন: কোণকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr³ ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h² + r²) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr²h   ।

ধরি, দৈর্ঘ্য ১০০ ও প্রস্থ ১০০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = ১০০০০
দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি হলে নতুন দৈর্ঘ্য = ১২০
ও প্রস্থ ২০% হ্রাস হলে নতুন প্রস্থ = ৮০
নতুন ক্ষেত্রফল = ৯৬০০
ক্ষেত্রফল হ্রাস = ১০০০০ – ৯৬০০ = ৪০০
শতকরা ক্ষেত্রফল হ্রাস= (৪০০ x ১০০)/১০০০০ = ৪

শর্টকাট নিয়মঃ
ক + খ + কখ/১০০
= ২০-২০+ [২০ X (-২০)]/১০০
= -৪

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৫৫° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
এখানে,
ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৪৫° ও ৫৫°
ত্রিভুজের তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - (৪৫° + ৫৫°)
= ১৮০° - ১০০°
= ৮০°

আবার,
বহিঃস্থ কোণ এবং তার সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ১৮০° হয়।
∴ বহিঃস্থ কোণ + সংলগ্ন অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ + ৮০° = ১৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ  = ১৮০° - ৮০°
⇒ বহিঃস্থ কোণ  = ১০০°

অন্যভাবে বলা যায়,
ত্রিভুজের কোনো বহিঃস্থ কোণ = দুটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।
যেহেতু,
ত্রিভুজটির দুটি অন্তঃস্থ কোণ = ৪৫° + ৫৫°
= ১০০° 
∴ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ = ১০০°

প্রশ্ন: একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ২১ সে.মি.। এখন যদি দড়িটি দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র বানানো হয়, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ২১ সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ২১
= ১৩২ সেমি

আবার,
ধরি, আয়তক্ষেত্রের
দৈর্ঘ্য = ৩ক এবং প্রস্থ = ক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৩ক + ক) = ৮ক

প্রশ্ন অনুসারে,
⇒ ৮ক = ১৩২
∴ ক = ১৩২ ÷ ৮ = ১৬.৫
∴ প্রস্থ = ক = ১৬.৫ সে.মি.
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ১৬.৫ = ৪৯.৫ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ৪৯.৫ × ১৬.৫
= ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১৬.৭৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 একক হলে, পরিসীমা কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = 8√2 একক

যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হয়
তাহলে কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 একক

প্রশ্নমতে,
a√2 = 8√2
∴ a = 8 একক

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= 4 × 8
= 32 একক

প্রশ্ন: যদি A সূক্ষ্মকোণ এবং sinA = 12/13 হয়, তবে cot A এর মান কত?

সমাধান:
sinA = 12/13

আমরা জানি
cos²A = 1 - sin2A
cos²A = 1 - (12/13)²
cos²A = 1 - 144/169
cos²A = (169 - 144)/169
cos²A = 25/169
cos²A = (5/13)²
cosA = 5/13

cotA = cosA/sinA
= (5/13)/(12/13)
= (5/13) × (13/12)
= 5/12