জ্যামিতি

প্রশ্ন: দুটি বিন্দু A(1, 2) এবং B(3, 6)-এর মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু:
A(1, 2) এবং B(3, 6) 

আমরা জানি, 
দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো- 
d = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²} 

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 
d = √{(3 - 1)² + (6 - 2)²}
= √{(2)² + (4)²}
= √(4 + 16)
= √20
∴ দূরত্ব = √20 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.। ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = a√2
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√2 সে.মি.

ঐ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√2 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)²
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (5√2)² বর্গ সে.মি.
= (25 × 2) বর্গ সে.মি.
= 50 বর্গ সে.মি.

অতএব, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হলো 50 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণের তিনগুণ ১৩৫° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, একটি কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক = ১৩৫°
বা, ক = ১৩৫°/৩
∴ ক = ৪৫°

সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি কোণের যোগফল ১৮০°।
∴ ৪৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০° - ৪৫°) = ১৩৫°

ধরি,
কোণ দুটি যথাক্রমে 3x এবং 4x
প্রশ্নমতে,
3x + 4x + 40° = 180°
∴ 7x = 140°
x = 20°
বড় কোণটির পরিমাণ = 4 × 20° = 80°

প্রদত্ত ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1 : 1 : √2
এখানে,
1² + 1²
= 1 + 1
= 2
= √2²
অর্থাৎ, বাহু তিনটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সিদ্ধ করে।

আমরা বলতে পারি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ 
তাহলে তার কোণগুলি হবে 45⁰ 45⁰ 90⁰

ত্রিভুজের বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলোর অনুপাত হবে 45 : 45 : 90
= 1 : 1 : 2

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

সমাধান:
 

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব।
এবং ∠AOB = 45°
বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক সর্বদা ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়,
অর্থাৎ ∠OAB = 90°

এখন △ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
⇒ 45° + ∠ABO + 90° = 180°
⇒ ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°

প্রশ্ন: ১২ একক প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৯২ একক হলে দৈর্ঘ্য কতটুকু কমালে আয়তক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে?

সমাধান: 
প্রস্থ = ১২ একক
ক্ষেত্রফল = ১৯২ বর্গএকক
তাহলে দৈর্ঘ্য = ১৯২ / ১২ = ১৬ একক

বর্গক্ষেত্রে পরিণত করতে দৈর্ঘ্য = ১২ একক
কমাতে হবে = ১৬ - ১২ = ৪ একক

∴ দৈর্ঘ্য কমাতে হবে = ৪ একক

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/5, 2x/5 এবং 2x/5 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

ATQ,
x/5 + 2x/5 + 2x/5 = 180°
⇒ ( x + 2x + 2x )/5 = 180°
⇒ 5x/5 = 180°
∴ x = 180°

বৃহত্তম কোণ = 2x/5 = (2 × 180)/5 = 72°

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC = 2, লম্ব BC = √3 হলে, ভূমি AB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC = 2, লম্ব BC = √3
ধরি, ভূমি AB = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
2² = a² + (√3)²
⇒ a² = 4 - 3
⇒ a = √1
⇒ a = 1
∴ ভূমি AB = 1

প্রশ্ন: একটি মই 20 মিটার দীর্ঘ একটি দেয়ালে 45° কোণে স্পর্শ করে আছে। মইয়ের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
 
ধরি 
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = ?
দেয়ালের  দৈর্ঘ্য AB = 20

আমরা জানি,
Sin∠ACB = AB/AC 
⇒ 1/√2 = 20/AC
⇒ AC = 20√2

সুতরাং, মইয়ের দৈর্ঘ্য 20√2 মিটার

আমরা জানি, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 75 × 6
= 450
শর্তমতে,
a² = 450 (যেহেতু সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)
বা, a = √450
বা, a = 15√2
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
= √2 × 15√2
= 15 × 2
= 30

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 176 সেন্টিমিটার ও 2464 বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি: 2πr = 176 সেন্টিমিটার .......................(1)
ক্ষেত্রফল: πr² = 2464 বর্গসেন্টিমিটার ....................(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং দ্বারা ভাগ করি,
(πr²)/(2πr) = 2464/176
⇒ r/2 = 14
⇒ r = 14 × 2
⇒ r = 28

∴ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 28 = 56 সেন্টিমিটার

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।
∴  ৫^২ = ৪^২ + ৩^২

প্রশ্ন: ত্রিভুজ ABC-এর শীর্ষবিন্দু A(4, 2), B(1, 5), C(- 2, - 1) হলে ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A(4, 2), B(1, 5) এবং C(-2, -1)
আমরা জানি,  
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র এর স্থানাঙ্ক, 
G{(x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)}

এখন, 
x-স্থানাঙ্ক = (4 + 1 - 2)/3 = (5 - 2)/3 = 3/3 = 1

এবং
y-স্থানাঙ্ক = (2 + 5 - 1)/3 = (7 - 1)/3 = 6/3 = 2

সুতরাং, ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র G(1, 2)

পরিধি = ২πr = ৮
πr = ৪
ক্ষেত্রফল, πr² = ১৬
πrr = ১৬
r = ৪ মিঃ
ব্যাসার্ধ = ৪ মিঃ

ত্রিভুজ হওয়ার শর্ত “যে কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর”
∴ তৃতীয় বাহুর মান কমপক্ষে ৫ মিটার হতে হবে
∴ ত্রিভুজের পরিসীমা কমপক্ষে = ৫ + ৭ + ১১ = ২৩ মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল ৭৬ বর্গ মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৭৬ বর্গ মি.
= ৩৮ বর্গ মি.

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (1/2)r²θ

২ এবং ৩ এর লসাগু = ৬
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ৬ মিটার গেলে
∴ ১০ বার বেশি ঘুরবে = ৬ ✕ ১০ = ৬০ মিটার

ধরি,
আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x
আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = y
∴ ক্ষেত্রফল = xy বর্গএকক

10% হ্রাসে নতুন দৈর্ঘ্য = x -  x এর 10%
                                       = (100x - 10x)/100
                                       = 90x / 100
10% হ্রাসে নতুন প্রস্থ = y - y এর  10%
                               = (100y - 10y) / 100
                               = 90y / 100
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (90x /100) ×  (90y/100)বর্গএকক
                           = 81xy / 100 বর্গএকক

ক্ষেত্রফল হ্রাস  = xy - 81xy/100 বর্গএকক
                       = 19xy/100
∴ ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার = {19xy/100)/xy} ×100%
                                   = 19 %

উত্তর = 19% হ্রাস পেয়েছে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ২ গুণ। ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
প্রস্থ = x মিটার, দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
ক্ষেত্রফল = 2x × x = 2x²
2x² = 200
⇒ x² = 100
⇒ x = 10 মিটার

দৈর্ঘ্য = 2 × 10 = 20 মিটার
পরিসীমা = 2 × (20 + 10) = 2 × 30 = 60 মিটার

∴ পরিসীমা: 60 মিটার

কোণগুলোর অনুপাত ৩ঃ৩ঃ৪ সুতরাং, ২টি কোণ পরস্পর সমান ফলে সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।
∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ১৮ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
মনে করি, কোণটির মান = ক ডিগ্রি
∴ পূরক কোণ = (৯০ − ক) ডিগ্রি

প্রশ্নমতে,
ক = (৯০ − ক) + ১৮
⇒ ক + ক = ৯০ + ১৮
⇒ ২ক = ১০৮
⇒ ক = ১০৮ ÷ ২
⇒ ক = ৫৪

∴ কোণটির মান = ৫৪°

৯ এর বর্গ = ৯^২ = ৮১
৯ এর বর্গমূল = √৯ = ৩
সুতরাং বর্গ তার বর্গমূলের চেয়ে (৮১-৩) = ৭৮ বেশি। তাই সঠিক উত্তর হবে ৯।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১২০ বর্গমিটার এবং মাঠটির উচ্চতা ১৫ মিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল = ১২০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ১৫ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১২০ = (১/২) × ভূমি × ১৫ 
⇒ ভূমি × ১৫ = ১২০ × ২ 
⇒ ভূমি = (১২০ × ২)/১৫ 
⇒ ভূমি = ৮ × ২
∴ ভূমি = ১৬ মিটার

∴ মাঠটির ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?
সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৬০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

সমাধান:
ভরকেন্দ্র (Centroid):
ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে ঐ বিন্দুকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলে।
- ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকেই 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে সেন্টিমিটার সবচেয়ে ছোট।

A = 15° হলে  sin3A = cos3A হবে
sin45° = 1/√2 
cos45°= 1/√2

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে 5 মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা 50 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার ∴ দৈর্ঘ্য = x + 5 মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

প্রশ্নমতে,
2{(x + 5) + x} = 50
⇒ 2(2x + 5) = 50
⇒ 4x + 10 = 50
⇒ 4x = 40
⇒ x = 10

∴ প্রস্থ = 10 মিটার, দৈর্ঘ্য = 10 + 5 = 15 মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 15 × 10
= 150 বর্গমিটার

সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h = π(3)² x 3.5 = 22x9x3.5/7 =99 ঘন মিঃ
ট্যাংকটিতে পানি ধরে = 99 x 1000 = 99000 লিটার (১ ঘনমিঃ পানি = ১০০০ লিঃ)

প্রশ্ন: 5x - 2y = 10 রেখাটি y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-

সমাধান: 
প্রদত্তরেখা 5x - 2y = 10
y -অক্ষের ছেদবিন্দুতে x = 0
∴ - 2y = 10
⇒ 2y = - 10
⇒ y = - (10/2)
∴ y = - 5
∴ y- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাং = (0, - 5)

প্রশ্ন: একটি নবভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
​ n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২

এখানে, নবভুজের বাহু সংখ্যা (n) = ৯ টি

∴ নবভুজের কর্ণের সংখ্যা = n(n - ৩)/২
= ৯(৯ - ৩)/২
= (৯ × ৬)/২
= ৫৪/২
= ২৭ টি

অর্থাৎ, একটি নবভুজের কর্ণের সংখ্যা হলো ২৭ টি।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কতটি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে।