জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 8 মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল হবে: 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 8 মিটার।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= (√3/4) × 8²
= (√3/4) × 64
= 16√3 বর্গ মিটার

সুতরাং, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16√3 বর্গ মিটার। 

মনেকরি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
তাহলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩/৪‍(a²)
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √৩/৪(a+১)²
প্রশ্নমতে,
(√৩/৪(a+১)²) - (√৩/৪(a²)) = ৩√৩
a² + ২a + ১ - a² = ১২
২a = ১১
a = ৫.৫

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০৮° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
মনে করি, বহুভুজের বাহু সংখ্যা = n
আমরা জানি:
প্রতিটি অন্তঃকোণ = (n - ২) × ১৮০°/n
প্রতিটি বহিঃকোণ = ৩৬০°/n

প্রশ্নমতে,
অন্তঃকোণ - বহিঃকোণ = ১০৮°
বা, {(n - ২) × ১৮০°/n} - (৩৬০°/n) = ১০৮°
বা, {(n - ২) × ১৮০° - ৩৬০°}/n = ১০৮°
বা, (১৮০°n - ৩৬০° - ৩৬০°)/n = ১০৮°
বা, ১৮০°n - ৭২০° = ১০৮°n
বা, ১৮০°n - ১০৮°n = ৭২০°
বা, ৭২°n = ৭২০°
বা, n = ৭২০°/৭২°
∴ n = ১০

যেহেতু বহুভুজটির বাহু সংখ্যা ১০,
∴ এটি একটি দশভুজ (Decagon)।

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1 + tan²θ = 4
⇒ sec²θ = 4   ; [sec²θ = 1 + tan²θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 40° হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
দুটি সম্পূরক কোণের মানে = 180°

ধরি,
বৃহত্তম কোণ = x°
∴ ছোট কোণ = 180° - x°

দেওয়া আছে, 
পার্থক্য = 40°

প্রশ্নমতে, 
x - (180° - x) = 40° 
⇒ x - 180° + x = 40°
⇒ 2x = 220°
∴ x = 110°

বৃহত্তম কোণটির মান হলো  110°। 

প্রশ্ন: sinθ এর সর্বোচ্চ মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সাইন ফাংশনের মান সবসময় নিম্নলিখিত সীমার মধ্যে থাকে,
- 1 ≤ sinθ ≤ 1
অর্থাৎ, সর্বোচ্চ মান (maximum value) = + 1
এবং সর্বনিম্ন মান (minimum value) = - 1

প্রশ্ন: হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosecθ = 1/sinθ এবং cotθ = cosθ/sinθ

​

প্রশ্ন: একটি সাবানের আকার ৫ সে. মি. × ৪ সে. মি. × ১.৫ সে. মি. হলে ৫৫ সে. মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে. মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে. মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সাবানের আয়তন = (৫ x ৪ x ১.৫) ঘন সে.মি.
= ৩০ ঘন সে.মি. 

আবার, 
বাক্সের আয়তন = (৫৫ x ৪৮ x ৩০) ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি. 

∴ সাবান রাখা যাবে = ৭৯২০০/৩০ টি 
= ২৬৪০ টি।

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। ৩ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি, ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড

∴ ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ১২০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ১২০/৬০ বার = ২ বার
∴ ৩ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ২ × ৩ = ৬ বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ চাকাটি ৬ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০° × ৬ = ২১৬০°

অতএব, ৩ সেকেন্ডে চাকাটি ২১৬০° ঘুরবে।

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তটির A, P, B পরিধিস্থ বিন্দু ফলে বৃত্তস্থ ∠APB = 1/2 × কেন্দ্রস্থ ∠AOB
                                                                                             = 1/2 × 130°
                                                                                             = 65°

প্রশ্ন: একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে অপর তীরে অবস্থিত 60 মিটার উঁচু একটি গাছের শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 60°। নদীটির প্রস্থ কত?

সমাধান:

​মনে করি,
​গাছটির পাদবিন্দু = C
​গাছের শীর্ষবিন্দু = A
​গাছের উচ্চতা, AC = 60 মিটার 
​অপর তীরের নির্দিষ্ট বিন্দু = B
​শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ, ∠ABC = 60°
​নদীর প্রস্থ = BC 
​
​এখন,
​tan60° = AC/BC
⇒ ​√3 = 60/BC
​⇒ ​BC = 60/√3 
⇒ ​BC = (20 × 3)/√3
⇒ ​BC ​= (20 × √3 × √3)/√3
⇒ ​BC ​= 20√3
​
​∴ নদীর প্রস্থ = 20√3 মিটার 

প্রশ্ন: যদি (2x + y, 3) = (6, x - y) হয়, তাহলে (x, y) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + y = 6 .......(1)
3 = x - y .........(2)

সমীকরণ (2) থেকে y এর মান,
3 = x - y
⇒ y = x - 3

y এর মান সমীকরণ (1) এ বসাই
2x + y = 6
⇒ 2x + (x - 3) = 6
⇒ 3x - 3 = 6
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3

তাহলে,
y = x - 3
⇒ y = 3 - 3
⇒ y = 0

∴ (x, y) = (3, 0)

প্রশ্ন: ABC একটি ত্রিভুজ যেখানে AB = AC = 13 এবং BC = 10,  উচ্চতা AD = কত?

সমাধান:

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = √(১৩^২ - ৫^২)
= √(১৬৯ - ২৫)
= √১৪৪
= ১২

অতিক্রান্ত দূরত্ব = ২৪ × ১০০ মিঃ
= ২৪০০ মিঃ
= ২ কিঃমিঃ ৪ হেক্টোমিঃ

আমরা জানি,
(বর্গক্ষেত্রের কর্ণ)² = (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)² = a² + a² = 2a²
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2a

আমরা জানি, যেকোনো বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০°
সুতরাং সুষম অষ্টভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৬০°/৮
= ৪৫°

ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী।
ত্রিভূজটি সমকোণী এবং দ্বিতীয় কোণের মানের ৫০ ডিগ্রি|
∴ অপর কোণের মান = (১৮০ - ৯০ - ৫০) = ৪০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2 : 5 হলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ : দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 : 5

ধরি, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁ = 2x
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂ = 5x

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² = π(2x)² = 4πx²
দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₂ = πr₂² = π(5x)² = 25πx²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = A₁ : A₂
= 4πx² : 25πx²
= 4 : 25

∴ বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 25

প্রশ্ন: 10 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 12 সে.মি.। ইহার  আয়তন কত? 

সমাধান: 
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × 10 × 10 × 12 
= 400 ঘনসে.মি.

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 32 একক হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 32 একক
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 32/4 = 8 একক

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 8
= 8√2

প্রশ্ন: 10 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 18 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার ভূমির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 10 সেমি
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = (10 × 10) = 100 বর্গ সেমি
পিরামিডের উচ্চতা, h = 18 সেমি

আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
⇒ আয়তন = (1/3) × 100 × 18
⇒ আয়তন = 100 × 6
⇒ আয়তন = 600 ঘন সেমি

∴ পিরামিডটির আয়তন 600 ঘন সেমি।

বাঁশের দৈর্ঘ্য AB = 18 মি.; AC = 8 মি.
BC = CD = 10 মি.
যেহেতু, C বিন্দুতে বাঁশটি ভেঙ্গে যায় এবং এর B শীর্ষবিন্দুটি ভূমিতে ঠেকে D বিন্দুটিতে মিলিত হয়,
সেহেতু, ACD একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়।
ΔACD - এ
AD² = CD² - AC²
AD² = 10² - 8² = 6²
∴ AD = 6

প্রশ্ন: যদি cosθ = 0.7 তাহলে sinθ = ? যেখানে,  0 ≤ θ < 90°

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 0.7

আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
বা, sin²θ + (0.7)²= 1
বা, sin²θ + 0.49 = 1
বা, sin²θ = 1 - 0.49 = 0.51
∴ sinθ = √0.51

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের কোণসমূহের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ : ৯ হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণসমূহের অনুপাত = ৩ : ৫ : ৭ : ৯
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫ + ৭ + ৯ = ২৪

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
মনে করি,  প্রতি অংশের মান = x°

প্রশ্ন অনুসারে, 
৩x° + ৫x° + ৭x° + ৯x° = ৩৬০°
⇒ ২৪x° = ৩৬০°
⇒ x° = ৩৬০°/২৪
∴ x = ১৫°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ × ১৫° = ৪৫°
এবং বৃহত্তম কোণ = ৯ × ১৫° = ১৩৫°

∴ অন্তর = বৃহত্তম কোণ - ক্ষুদ্রতম কোণ = ১৩৫° - ৪৫° = ৯০°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের অন্তর = ৯০°

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√2 একক
বাহুর দৈর্ঘ্য = 5√2/√2 একক
= 5 একক
∴ ক্ষেত্রফল = 5²
= 25 বর্গ একক

বৃত্তের পরিধি 2πr ও ব্যাসের 2r
অনুপাত = 2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: 4 tanA = 3 হলে cosA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4 tanA = 3
⇒ tanA = 3/4

আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ অতিভুজ² = 3² + 4²
⇒ অতিভুজ² = 9 + 16
⇒ অতিভুজ² = 25
⇒ অতিভুজ = √25
⇒ অতিভুজ = 5 

এখন,
cosA = ভূমি/অতিভুজ
∴ cosA = 4/5

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 80 বর্গ সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ কত সে. মি. হবে?

সমাধান:
মনে করি,
ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা P সে. মি.
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 14 সে. মি. এবং 6 সে . মি


আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ 80 = (1/2) × (14 + 6) × P
⇒ 80 =(1/2) × 20 × P
⇒ 80 = 10P
∴ P = 80/10 = 8 সে. মি.

∴  ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 8 সে. মি
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার তিন চতুর্থাংশ = 8 × (3/4) = 6  সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮০ বর্গসেমি। ত্রিভুজটির ভূমির দৈর্ঘ্য ৩০ সেমি হলে, উচ্চতা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১৮০ বর্গসেমি
ভূমির দৈর্ঘ্য = ৩০ সেমি

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৮০ = (১/২) × ৩০ × উচ্চতা
⇒ ১৮০ = ১৫ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ১৮০/১৫
⇒ উচ্চতা = ১২

∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা ১২ সেমি।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে, বিপরীত কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 75° হলে,
অপর কোণ = (180 - 75)°
= 105°

প্রশ্ন: যদি cosecB = 17/8 হয়, তবে cosB এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosecB = 17/8

আমরা জানি,
cosecB = অতিভুজ/লম্ব
অতএব,
অতিভুজ = 17 এবং লম্ব = 8

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
বা, 8² + ভূমি² = 17²
বা, 64 + ভূমি² = 289
বা, ভূমি² = 289 - 64
বা, ভূমি² = 225
∴ ভূমি = √225 = 15

এখন, cosB = ভূমি/অতিভুজ
= 15/17

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভূজের তিনকোণের সমষ্টি= 180°
অর্থাৎ, x+y+z= 180° ............ (i)
আবার, এক সরল কোণ= 180°
∴ বহিঃস্থ কোণ তিনটির যোগফল=(180°-x)+(180°-y)+(180°-z)
= 540°-(x+y+z)
= 540°-180°
= 360°