জ্যামিতি

প্রশ্ন: ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি-

সমাধান:
আমরা জানি,
যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
ধরি, ত্রিভুজটির তিনটি কোণ হলো A, B এবং C
তাহলে, A + B + C = ১৮০°

এখানে, একটি কোণ (ধরি A) অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান।
 অর্থাৎ, A = B + C

তাহলে, A + A = ১৮০°
⇒ ২A = ১৮০°
⇒ A = ৯০°

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণের মান ৯০°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

∴ ত্রিভুজের একটি কোণ এর অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি অবশ্যই সমকোণী হবে।

চতুর্ভূজের যেকোন তিনবাহুর সমষ্টি চতুর্থ বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
যদি পরিসীমা 28 হয় তবে চতুর্থ বাহু = 28 - (4 + 5 + 6)
= 13m < 4 + 5 + 6
∴ পরিসীমা 28m হতে পারে।

প্রশ্ন: secA - tanA = 1/6 হলে, secA + tanA এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA - tanA)(secA + tanA) = 1
⇒ (1/6)(secA + tanA) = 1
⇒ secA + tanA = 1/(1/6)
⇒ secA + tanA = 6

মইয়ের উচ্চতা AB = 9 মি.
স্লিপারের দৈর্ঘ্য BC = 15 মি.
দৌড়ে যাওয়া দূরত্ব AC = ?
চিত্রানুসারে,
AC = √(BC² - AB²)
     = √(15² - 9²)
     = √144
     = 12

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12^° হলে, ছোট কোণের মান কত?

সমাধান:
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য = 12^°

সুতরাং ছোট কোণ = (90^° - 12^°)/2 = 39^°

x এর পূরক কোন = 110° এর সম্পূরক কোন
বা, 90° - x = 180° - 110°
বা, 90° - x = 70°
বা, 90° - 70° = x ∴ x = 20°

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)×বাহু² = (√3/4)×1² = √3/4 বর্গএকক।

পরিসীমা = ৪৮ মি. ∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬ মি.
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)২ বর্গমি.
                                 = √৩/৪ (১৬)২ বর্গমি.
                                 = ৬৪√৩ বর্গমি.

Cos2θ = 2Cos²θ - 1
= 2{1/2(a + 1/a)}² - 1
= 2.1/4(a² + 1/a² + 2.a.1/a) - 1
= 1/2{(a² + 1/a²) + 2} - 1
= 1/2(a² + 1/a²) + 1 - 1
= 1/2 × (a² + 1/a²)

প্রশ্ন: দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলোকে কী বলে?

সমাধান:
- দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলোকে সমরেখ বিন্দু বলে।
- ইংরেজিতে একে Collinear Points বলা হয়।
- উদাহরণ: যদি A, B, C তিনটি বিন্দু একই সরলরেখার উপর থাকে, তাহলে A, B, C সমরেখ বিন্দু।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা ৫০ ডিগ্রি কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = x ডিগ্রি।
তাহলে তার সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x
প্রশ্ন অনুসারে, কোণটি তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা ৫০ ডিগ্রি কম।
সুতরাং,
x = ১৮০° - x - ৫০° 
⇒ x = ১৩০° - x
⇒ x + x = ১৩০°
⇒ ২x = ১৩০° 
⇒ x = ১৩০°/২ 
∴ x = ৬৫° 

সুতরাং কোণটির মান ৬৫°।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 36√3 বর্গ মিটার হলে উহার পরিসীমা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 36√3 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = = (√3 / 4) × বাহু² 
এবং, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × বাহু 

প্রশ্নমতে, 
⇒ 36√3 = (√3 / 4) × বাহু²
⇒ বাহু² = 36 × 4 
⇒ বাহু = √(36 × 4) 
⇒ বাহু = 6 × 2 = 12 মিটার 

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3 × 12 = 36 মিটার

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 36 মিটার

প্রশ্ন: একটি লোহার তারের দৈ‍‍র্ঘ্য 628 সে.মি.। ঐ তারটিকে একটি গোলাকার চাকায় রূপান্তরিত করা হলে চাকার ব্যাস কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
চাকার ব্যাস = 2r

এখানে, চাকার পরিধি = লোহার তারের দৈর্ঘ্য
⇒ 2πr = 628
⇒ 2r = 628/π
⇒ 2r = 628/3.14
⇒ 2r = (628 × 100)/314
∴ 2r = 200 সে.মি. (প্রায়)

প্রশ্ন: ১০৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
যে দুটি কোণের যোগফল ১৮০° বা ২ সমকোণ হয়, তাদের একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।

সুতরাং, ১০৫° কোণের সম্পূরক কোণ হলো:
= (১৮০° - ১০৫°)
= ৭৫°

অতএব, ১০৫° কোণের সম্পূরক কোণ হলো ৭৫°।

​অন্যদিকে,
যে দুটি কোণের যোগফল ৯০° বা ১ সমকোণ হয়, তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়।

প্রশ্ন: ৪২ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৪২ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৪২
= ২ × ২২ × ৬
= ২৬৪ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২৬৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 726 বর্গইঞ্চি হলে ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
​ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
​সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
​
​প্রশ্নমতে,
​6a² = 726
⇒ ​a² = 726/6
⇒ ​​a² = 121
⇒ ​​a = 11 [বর্গমূল করে]

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 একক হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত একক?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a একক 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য a√2 একক 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a  একক 

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 7√2 একক

প্রশ্নমতে,
a√2 = 7√2
a = 7

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × 7 একক 
= 28 একক 

ধরি, খুঁটিটি x মিটার উচুঁতে ভেঙ্গেছিল
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (45-x) মিটার
∴ sin30° = x/45-x
বা, 1/2 = x/45-x
বা, 2x = 45-x
বা, 3x = 45
∴ x = 15

- বর্গক্ষেত্রের সবগুলো বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং এদের অন্তর্গত কোণগুলোও সমান, অর্থাৎ এক সমকোণ করে মোট চার সমকোণ।
- আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং সবগুলো কোণ সমকোণ। অর্থাৎ, আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণও সমকোণ।

প্রশ্ন: যদি A + B = 90° এবং tan A = √3 হয়, তবে B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A + B = 90°
⇒ B = 90° - A ..........(1)
এবং 
tan A = √3
⇒ tan A = tan 60°
∴ A = 60°

(1) নং এ A এর মান বসিয়ে পাই, 
⇒ B = 90° - A
⇒ = 90° - 60°
∴ B = 30°

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যুনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
বৃত্তের পরিধি = 2πr
প্রশ্নমতে, 2πr = πr²
∴ r = 2
∴ব্যাস = 4

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৩ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৩ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ১৮০°
⇒ ৪ক = ১৮০°
⇒ ক = ১৮০°/৪ 
∴ ক = ৪৫°

এখানে,
বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা, n = ৩৬০°/বহিঃস্থ কোণ
= ৩৬০°/৪৫°
= ৮ টি

∴ বহুভুজটি হবে অষ্টভুজ।

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৯ মিটার ও ৬ মিটার। উচ্চতা ৫ মিটার হলে চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
 ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= ২ × (৯ + ৬) × ৫ বর্গ মিটার
= ২ × ১৫ × ৫ বর্গ মিটার
= ১৫০ বর্গ মিটার

∴ ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ১৫০ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৫ : ২ হলে এবং এর পরিসীমা ৪২ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৫ক 
 আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ২ক
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২(৫ক + ২ক)
= ২ × ৭ক 
= ১৪ক 

প্রশ্নমতে,
১৪ক = ৪২ 
⇒ ক = ৪২/১৪
∴ ক = ৩ মিটার 

আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার ,
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ৬ মিটার
∴আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ৬) বর্গমিটার
= ৯০ বর্গমিটার।

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
আবার, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 1400 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম হত তাহলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র হত। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত?

সমাধান:
মনে করি,
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য  x মিটার।
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ y মিটার।

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = xy বর্গমিটার।

প্রশ্নানুসারে,
xy = 1400..........(1) 
এবং y = (x - 5).................(2)
(1) নং সমীকরণে y = x – 5 বসিয়ে পাই, 
x(x  – 5) = 1400
বা, x² - 5x = 1400
বা, x² - 5x - 1400 = 0
বা, x² – 40x + 35x – 1400 = 0
বা, x (x - 40) + 35(x - 40) = 0
বা, (x - 40) (x + 35) = 0
হয়, 
x - 40 = 0 অথবা, x + 35 = 0
বা, x = 40 অথবা, x = - 35
কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই, x = - 35 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x = 40

এখন, সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
y = (40– 5) মিটার = 35 মিটার।

∴ আয়তক্ষেত্রটির  প্রস্থ 35 মিটার।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বকে কী বলে?

সমাধান:
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 4r
∴ ব্যাসার্ধ = 2r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(2r)² = 4πr²
∴ 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: ∠P = 3x + 15° এবং ∠Q = 2x + 15° পরস্পর সম্পূরক কোণ হলে, ∠P এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
∠P = 3x + 15° এবং ∠Q = 2x + 15°

আমরা জানি, দুটি কোণ পরস্পর সম্পূরক হলে তাদের সমষ্টি 180° হয়।
∴ ∠P + ∠Q = 180°
⇒ (3x + 15) + (2x + 15) = 180
⇒ 5x + 30 = 180
⇒ 5x = 180 - 30
⇒ 5x = 150
∴ x = 30

এখন, 
∠P = 3x + 15
= 3 × 30 + 15
= 90 + 15
= 105°

∴ ∠P এর মান = 105°

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 1/2 r²θ