জ্যামিতি

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × লম্ব

সুতরাং
ক্ষেত্রফল = (½) × 20 × 21 বর্গমিটার
= (½)× 420 বর্গমিটার
= 210 বর্গমিটার

প্রশ্ন: ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√২ মিটার হলে, ঘনকের আয়তন কত হবে?

সমাধান:
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭√২
মনে করি,
ঘনকের ধার ক মিটার
∴ ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ক√২ মিটার

শর্তমতে,
ক√২ = ৭√২
∴ ক = ৭

∴ ঘনকের আয়তন = ক^৩=৭^৩=৩৪৩ ঘনমিটার

তাহলে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = 2a মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = a × 2a
= 2a² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
2a² = 200
বা, a² = 200/2
বা, a² = 100
∴ a = 10 মিটার 

∴ পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 (2a + a)
= 2 × 3a
= 6a
= 6 × 10
= 60 মিটার 

প্রশ্ন: tanB = 4/3 হলে, cosB = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
tanB = 4/3

A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3

এখন,
অতিভুজ² = 4² + 3² 
⇒ অতিভুজ² = 16 + 9
⇒ অতিভুজ² =25
⇒ অতিভুজ =√25
⇒ অতিভুজ = 5

সুতরাং, cosB = ভূমি/অতিভুজ = 3/5

মনে করি, বিস্তার ক মিটার ও দৈর্ঘ্য ২ক মিটার
প্রশ্নমতে, ২ক^২ = ৫১২
ক^২ = ২৫৬
ক = ১৬ 
∴ বিস্তার ১৬ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ২×১৬ = ৩২মিটার
∴ পরিসীমা = ২(৩২+১৬) = ৯৬ মিটার

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ৪০% বৃদ্ধি পায় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
 ∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ বর্গএকক
= ১০০০০ বর্গএকক 

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ৪০% বৃদ্ধি করা হলে,
 ∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ৪০%) একক 
= [১০০ + {১০০ এর (৪০/১০০)}] একক 
= (১০০ + ৪০) একক 
= ১৪০ একক 

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১৪০)^২ = ১৯৬০০ বর্গ একক

 ∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৯৬০০ - ১০০০০) বর্গ একক = ৯৬০০ বর্গ একক 

এখন,
১০০০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০ বর্গ একক
∴ ১ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = ৯৬০০/১০০০০ বর্গ একক
∴ ১০০ বর্গ এককে বৃদ্ধি পায় = {(৯৬০০ × ১০০)/১০০০০} বর্গ একক
= ৯৬ বর্গ একক 

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পাবে = ৯৬%

প্রশ্ন: একটি অর্ধ-বৃত্ত আকারের জানালার ব্যাস 56 সে.মি. হলে তার পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= πr + 2r
= (22/7) × (56/2) +  56
= (88 + 56)
= 144 সে.মি. (প্রায়)

রং করতে হবে এমন এলাকার ক্ষেত্রফল = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল - মেঝের ক্ষেত্রফল
= ২(৬×৪ + ৪×৫ + ৫×৬) - ৬×৪
= ১২৪
∴ খরচ = ১২৪ × ৯
= ১১১৬ টাকা

প্রশ্ন: tanA.cosA এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
tanA.cosA
= (sinA/cosA)cosA
= sinA

প্রশ্ন: ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ । ∠A = 115° হলে, ∠B = কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ,
⇒ ∠A + ∠B = 180°
⇒ 115° + ∠B = 180°
⇒  ∠B = 180° - 115°
 ∴ ∠B = 65°

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজটির, লম্ব = ভূমি = ৫√২ সেঃমিঃ
∴ অতিভূজ = √{(ভূমি)² + (লম্ব)²}
                  = √{(৫√২)² + (৫√২)²}
                  = √(৫০ + ৫০)
                  = √১০০
                  = ১০ সেঃমিঃ

ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 5√3
∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 5
∴ আয়তন = 5³
= 125

চিত্রে,

OC = 5, AB = 24
∴ AC = 12
∴ OA² = AC² + OC²
= 12² + 5² = 169
∴ OA = 13 যা ব্যাসার্ধ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 13² = 169π

ধরি,
১ম বর্গের ক্ষেত্রফল ১৬a
২য় বর্গের ক্ষেত্রফল ৯a

∴ ১ম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√a
২য় বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩√a

∴ ১ম বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৪√২√a = ৪√২a
২য় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৩√২√a = ৩√২a

∴ কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = ৪√২a:৩√২a = ৪ঃ৩

প্রশ্ন: যদি 0° < θ < 90° হয়, এবং cos2θ = 1/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
cos2θ = 1/2
⇒ cos2θ = cos 60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 60°/2
⇒ θ = 30°

সুতরাং, θ এর মান হলো 30°

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা 10° বেশি হলে, কোণটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

ধরি, 
কোণটি = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x 

শর্তমতে, 
x = 90° - x + 10° 
বা, x + x = 100°
বা, 2x = 100°
বা, x = 100°/2
∴ x = 50° 

∴ কোণটির মান = 50°  ।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল x হলে এর বাহুর দৈর্ঘ্য = √x
সুতরাং এর অতিভূজ হবে = √2.√x = √(2x)

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার 
= ৭৬৮ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার 
= ২৮ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার 
= ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার

প্রস্থ = a, দৈর্ঘ্য = a + 1
∴ পরিসীমা = 2(a + a + 1) = 14
বা, 2a + 1 = 7
বা, 2a = 6
∴ a = 3
∴ দৈর্ঘ্য = 4, প্রস্থ = 3
∴ কর্ণ = √(16 + 9) = 5

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 314 বর্গসেন্টিমিটার হয়, তবে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ  কত সেন্টিমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 314 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
⇒ πr² = 314
⇒ r² = 314/3.14  ;[π = 3.14]
⇒ r² = 100 = 10²
∴ r = 10

সুতরাং বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সেন্টিমিটার। 

প্রশ্ন: একটি রেখা 2x + 3y = 6, x–অক্ষ ও y–অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
X-ছেদ বিন্দু: y = 0 ধরলে,
⇒ 2x + 3(0) = 6  
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
X ছেদ বিন্দু = (3, 0)

Y-ছেদ বিন্দু: x = 0 ধরলে,
⇒ 2(0) + 3y = 6  
⇒ 3y = 6  
⇒ y = 2
Y ছেদ বিন্দু = (0, 2)

∴ ছেদবিন্দু: (3, 0) এবং (0, 2) 

y=3x+2……..(i)
y= -3x+2…….(ii)
এবং y= -2……(iii)
এখানে, (i) ও (ii) নং সমীকরণের ঢাল যথাক্রমে 3 ও -3, যাদের পরমমান সমান। সুতরাং এই রেখা দুটি সমান। কিন্তু (iii) নং রেখাটি (i) ও (ii) নং হতে ভিন্ন।
তাই সমীকরণগুলো দ্বারা গঠিত চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি? 

সমাধান: 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা 2r{(22 - 7)/7} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 সে.মি

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি ।

ষড়ভুজের ক্ষেত্রে প্রতিটি বহিঃস্থকোণ ৬০°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি যথাক্রমে ১৪ সে.মি. ও ৬ সে.মি.। যদি এর ক্ষেত্রফল ১৬০ বর্গ সে.মি. হয়, তবে এর উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = (১/২) × (১৪ + ৬) × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = (১/২) × ২০ × উচ্চতা
⇒ ১৬০ = ১০ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ১৬০/১০
∴ উচ্চতা = ১৬ সেমি

প্রশ্ন: একটি বইয়ের পৃষ্ঠা সংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.১ মি.মি.। বইটির দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি. ও প্রস্থ ১৮ সে.মি. হলে বইটির আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বইটির দৈর্ঘ্য = ২৫ সে.মি.
বইটির প্রস্থ = ১৮ সে.মি. 

এখন,
বইয়ের ২ পৃষ্ঠা = ১ পাতা 
∴ বইয়ের ২০০ পৃষ্ঠা = ১০০ পাতা
১০০ পাতার পুরুত্ব = (১০০ × ০.১) মি.মি. = ১০ মি.মি. = ১ সে.মি. 

আমরা জানি, 
বইটির আয়তন = (২৫ × ১৮ × ১) ঘন সে.মি. 
= ৪৫০ ঘন সে.মি. । 

প্রশ্ন: sinθ = 4/5 হলে, cosθ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
sinθ = 4/5

∴ cosθ = √(1 - sin²θ)
= √{1 - (4/5)²}
= √{1 - (16/25)}
= √(25 - 16)/25
=√(9/25)
= 3/5

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৮

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= [৮(৮ - ৩)]/২
= (৮ × ৫)/২
= ৪০/২ 
= ২০ টি

এখানে, r = 12 এবং s = 14
আমরা জানি, s = (πθr)/180
বা, θ =(180s)/rπ
= (180 × 14)/(3.1416 × 12)
= 66.84°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৬২৫ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
একবাহু = √৬২৫
 = √(২৫)^২
= ২৫ মিটার

∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ২৫ × ৪ মিটার
= ১০০ মিটার

প্রশ্ন: 7x + 6y + 3 = 0 রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যেখানে ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন,
7x + 6y + 3 = 0 
⇒ 6y = - 7x - 3
⇒ y = (- 7/6)x + (- 3/6)
⇒ y = (- 7/6)x + (- 1/2)

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = (- 7/6)

∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = (- 7/6)

প্রশ্ন: cosecθ+ cotθ = 5/6 হলে, cosecθ - cotθ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
cosecθ + cotθ = 5/6 
⇒ [(cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)]/(cosecθ - cotθ) = 5/6         
⇒ (cosec²θ - cot²θ)/(cosecθ - cotθ) = 5/6 
⇒ 1/ (cosecθ - cotθ) = 5/6                                      [∵ cosec²θ - sec²θ = 1]
⇒ cosecθ - cotθ = 6/5 

প্রশ্ন: y = mx + c সমীকরণে, m কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
- সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c -এ, m নির্দেশ করে রেখার ঢাল।
- যা নির্ধারণ করে রেখাটি কতটা খাড়া বা তির্যক হবে।
- ঢাল m হলো Δy/Δx অর্থাৎ, x অক্ষের প্রতি একক পরিবর্তনের জন্য y অক্ষের পরিবর্তন।
- ঢাল যদি ধনাত্মক হয়, তবে রেখাটি উপরের দিকে উঠবে, আর ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামবে।

প্রশ্ন: যদি tan²A = 1/3 হয়, তবে cos⁴A + sin⁴A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tan²A = 1/3
⇒ tanA = 1/√3
⇒ tan30° = 1/√3
∴ A = 30°

প্রদত্ত রাশি = cos⁴A + sin⁴A
= cos⁴(30°) + sin⁴(30°)
= (√3/2)⁴ + (1/2)⁴
= 9/16 + 1/16
= (9 + 1) / 16
= 10/16
= 5/8