জ্যামিতি

প্রশ্ন: ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে মাটি স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান: 
 
ধরি, 
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

আমরা জানি, 
sin 30° = লম্ব/অতিভুজ 
বা, ১/২ = h/(১৮ - h)
বা, (১৮ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৮
বা, h = ১৮/৩ 
∴ h = ৬

সুতরাং, মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।

প্রশ্ন: একটি সমবাহ ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 মিটার হলে, ত্রিভূজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a²
= √3/4 × 4²
= √3/4 × 16
= 4√3 বর্গমিটার

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তবে বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
যদি কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয় অর্থাৎ,  a² + b² = c² হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি অবশ্যই সমকোণী হবে এবং বৃহত্তম বাহুর (অতিভুজ) বিপরীত কোণটি হবে 90° বা এক সমকোণ। একে পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য বলা হয়।

মই এর দৈর্ঘ্য x মিটার হলে,
x² = 15² + 8² = 289
∴ x = 17 m

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১৪ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য, a = b = ১৪ সে. মি

আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)ab sinθ
=  (১/২) × ১৪ × ১৪ × sin৩০°
=  (১/২) × ১৪ × ১৪ × ১/২
= ৪৯ বর্গ সে. মি.

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৪৯ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ সে.মি. এবং অতিভুজ ১৩ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
অতিভুজ = ১৩ সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই, 
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + উচ্চতা^২
⇒ ১৩^২ = ১২^২ + উচ্চতা^২
⇒ ১৬৯ = ১৪৪ + উচ্চতা^২
⇒ উচ্চতা^২ = ১৬৯ - ১৪৪
⇒ উচ্চতা^২ = ২৫
∴ উচ্চতা = √২৫ = ৫ সে.মি.

আমরা জানি, 
এখন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১২ × ৫
= ৬ × ৫
= ৩০ বর্গ সে.মি.

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ 2r(22/7 - 1) = 90
⇒ 2r((22 - 7)/7) = 90
⇒ 2r(15/7) = 90
⇒ 30r/7 = 90
⇒ 30r = 90 × 7
⇒ r = (90 × 7)/30
⇒ r = 3 × 7
∴ r = 21

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 21 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গমিটার এবং পরিধি 44 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিধি = 44 মিটার
∴ 2πr = 44
⇒ 2 × (22/7) × r = 44
⇒ (44/7) × r = 44
⇒ r = 44 × (7/44)
⇒ r = 7 মিটার

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 মিটার
∴ বৃত্তটির ব্যাস = 2 × 7 = 14 মিটার

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 14 মিটার।

কোনো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান
∴ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC = 40° + 60° =100°

মইয়ের উচ্চতা = √(২০²+১৫²)
= √৬২৫
= ২৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হয়, তবে নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

এখন, 
মূল ব্যাসার্ধ, r₁ = 7 সে.মি.
∴ মূল ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² = π × 7² = 49π বর্গ সে.মি.

আবার, 
নতুন ব্যাসার্ধ, r₂ = 7/2 = 3.5 সে.মি.
∴ নতুন ক্ষেত্রফল, A₂ =  πr₂² = π × (3.5)₂ = 12.25π বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের হ্রাস =  A₁ - A₂ = 49π - 12.25π = 36.75π বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস = (36.75π/49π) × 100% = 75%

প্রশ্ন: একটি গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 256π বর্গ মি.মি. হলে গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 256π বর্গ মি.মি.
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি, 
গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²

প্রশ্নমতে,
4πr² = 256π
⇒ r² = 256π/4π
⇒ r² = 64
⇒ r = √64
∴ r = 8 মি.মি.

সুতরাং, গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 মি.মি.

প্রশ্ন: ব্যাস 16 সে.মি. এবং উচ্চতা 2 সে.মি. বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডার গলিয়ে 12টি সমব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তৈরি করলে প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
সিলিন্ডারের ব্যাস = 16 সেমি
⇒ ব্যাসার্ধ = 16/2 = 8 সেমি
সিলিন্ডারের উচ্চতা = 2 সেমি

∴ সিলিন্ডারের আয়তন (V) = π × r² × h
= π × 8² × 2
= π × 64 × 2
= 128π ঘন সেমি

আবার,
ধরি,
প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি
⇒ প্রতিটি গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
⇒ 12 টি গোলকের আয়তন = 12 × (4/3)πr³
= 16πr³

প্রশ্ন অনুযায়ী,
সিলিন্ডারের আয়তন = ১২টি গোলকের মোট আয়তন
⇒ 128π = 16πr³
⇒ r³ = 128π ÷ 16π = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ হবে 2 সেমি

ধরি, ভূমি x সেন্টিমিটার
∴ লম্ব x-3 সেন্টিমিটার এবং অতিভুজ x+3 সেন্টিমিটার
প্রশ্নমতে,
x² + (x-3)² = (x+3)²
⇒ x² + x² - 6x + 9 = x² + 6x + 9
⇒ 2x² - 6x + 9 - x² - 6x - 9 = 0
⇒ x² -12x = 0
⇒ x - 12 = 0
⇒ x = 12
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 12+3 = 15 সেন্টিমিটার।

বর্গক্ষেত্রটির এক বাহু = √400 = 20 ফুট
বাহুর দৈর্ঘ্য 2 গজ কমালে নতুন দৈর্ঘ্য হবে = 20 - 6 = 14 ফুট; [যেহেতু 2 গজ = 6 ফুট]
সুতরাং পরিবর্তিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (14)² = 196 বর্গফুট।

প্রশ্ন: sinθ = cosθ হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinθ = cosθ
⇒ sinθ/cosθ = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ৮৮ সেন্টিমিটার ও ৬১৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (ক্ষেত্রফল ÷ পরিধি) × ২

অতএব,
ব্যাসার্ধ
= (৬১৬ ÷ ৮৮) × ২
= ৭ × ২
= ১৪ সেন্টিমিটার

∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (অর্থাৎ ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য
= ১৪ × ২
= ২৮ সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: sin(A + 20°) = 1/√2 হলে, A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (A + 20°) = 1/√2 
⇒ sin (A + 20°) = sin 45° 
⇒ A + 20° = 45° 
⇒ A = 45° - 20° 
∴ A = 25°

দৈর্ঘ্য = 18cm,
প্রস্থ = 10cm
∴ ক্ষেত্রফল = 18 × 10
= 180 বর্গসেঃমিঃ
ধরি,
নতুন প্রস্থ = bcm
∴ 25 × b = 180
বা, b = 180/25
= 7.2 সেঃমিঃ

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৩ ইঞ্চি এবং প্রস্থ ২ ইঞ্চি হলে এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
এখানে চতুর্ভুজ বলতে আয়তক্ষেত্র বোঝানো হয়েছে, কারণ দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উল্লেখ করা হয়েছে, যা সাধারণত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য = ৩ ইঞ্চি
প্রস্থ = ২ ইঞ্চি

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (৩ + ২) = ২ × ৫ = ১০ ইঞ্চি

সুতরাং, পরিসীমা ১০ ইঞ্চি

∴ a² + 12² = 4a²
বা, 3a² = 144
বা, a² = 48
∴ a = 4√3
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = 2a
= 2 × 4√3
= 8√3মিঃ