জ্যামিতি

প্রশ্ন: Sin{(8π/2) + θ} = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Sin{(8π/2) + θ} 
= Sin{8 × (π/2) + θ}
= Sin{(8 × 90°)+ θ}
অর্থাৎ, 90° করে 8 বার ঘুরে ১ম চতুর্ভাগে আসবে। যেখানে Sinθ ধনাত্মক।
∴ Sin{(8π/2) + θ} = Sinθ

চিত্রে ৮ টি সমকোণী ত্রিভুজ আছে।
তারা হলঃ ΔAEB; ΔBEC; ΔCED; ΔDEA; ΔABC; ΔADC; ΔABD; ΔBDC। 

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে খাড়া করে রাখা আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূরে সরালে এর উপরের অংশ 5 মিটার নিচে নেমে আসবে?

সমাধান:
​

এখানে, AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 5 মিটার নামবে।
​মইয়ের দৈর্ঘ্য, AC = BD = 25 মিটার 
​এবং AB = 5 মিটার 
​∴ BC = 25 - 5 = 20 মিটার

এখন, পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী পাই,
BD² = BC² + CD²
⇒ 25² = 20² + CD²
⇒ 625 = 400 + CD²
⇒ CD² = 625 - 400
⇒ CD² = 225
⇒ CD = √225
⇒ CD = 15 মিটার

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 15 মিটার দূরে সরালে এর উপরের অংশ 5 মিটার নিচে নেমে আসবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2 একক।

প্রশ্নমতে,
a√2 = 6√2
⇒ a = (6√2)/√2
∴ a = 6

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
= 6²
= 36 বর্গ একক।

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কোনগুলোর অনুপাত 5 : 8 : 10 : 12 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

∴ কোনগুলোর অনুপাতের সমষ্টি = (5 + 8 + 10 + 12 + 15)
= 50 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (5/50) × 540°
= 54° 
বৃহত্তম কোণ = (15/50) × 540°
= 162° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 162° - 54°
= 108°

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. এবং উচ্চতা ১২ সে.মি. হলে এর হেলানো উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১২ সে.মি.

ধরি,
হেলানো উচ্চতা = l

আমরা জানি,
⇒ l^২ = r^২ + h^২ 
⇒ l^২ = (৫)^২ + (১২)^২ 
⇒ l = √১৬৯
∴ l = ১৩ 

∴ হেলানো উচ্চতা = ১৩ সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-

সমাধান:
- কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখণ্ডক তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিদুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।

sin945°
= sin ((90° X 10) + 45°)
= - sin45°
= - (1/√2)

১ম বৃত্তের পরিধি = ২πa
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = ২πb
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = a + b

চিত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C₁C₂ = a + b.

ধরি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R
∴ বিষুব রেখার দৈর্ঘ্য ২πR
তাহলে, ২πR = ৪,০০,০০,০০০ মিটার
∴ R = ৪,০০,০০,০০০/২π = ৪,০০,০০,০০০/(২ × ৩.১৪১৬) মিটার
= ৬৩৬৯৪২৬.৭৫ মিটার
= ৬৩৬৯.৪২৬ কিলোমিটার
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ মোটামুটিভাবে ৬৪০০ কিলোমিটার। প্রায় সবক্ষেত্রে এ মানই ব্যবহৃত হয়।
এখানে, কাছাকাছি উত্তর হয় ৬৩৬৩.৬৩ কিলোমিটার।

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × 36 = 9√3 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) ×  (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) ×  (১৮ + ১৪) × ৭ বর্গ সে.মি.
= ১১২ বর্গ সে.মি.

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = র একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πর^২ বর্গ একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = (র - র এর ১০/১০০) =(৯র/১০) একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = (৮১πর^২)/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের পরিমাণ = ১৯πর^২/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের হার = ((১৯πর^২/১০০)/πর^২) ×১০০ = ১৯%

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 9 সে.মি. হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.
উচ্চতা, h = 9 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4(4 + 9)
= 2π × 4 × 13
= 104π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = {(2n - 4)/n} × 90°
যেখানে n = বাহু সংখ্যা।
সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রে, বাহু সংখ্যা, n = 5

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = {(2 × 5 - 4)/n} × 90°
= {(10 - 4)/5} × 90°
= 6/5 × 90°
= 108°

∴ একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান 108°।

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার ও প্রস্থ ২০ মিটার। বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাসহ বাগানের  ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
বাগানের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার
এবং বাগানের বাইরে চারিদিকে ২ মিটার চওড়া রাস্তা আছে

∴ রাস্তা সহ মোট দৈর্ঘ্য = {২৫ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৯ মিটার
এবং, রাস্তা সহ মোট প্রস্থ = {২০ + (২ × ২)} মিটার 
= ২৪ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৯ × ২৪)} বর্গ মিটার
= ৬৯৬ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: cos{(7π/2) + θ} =?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cos{(7π/2)+θ} = cos{7×(π/2)+θ} 
= cos{(7×90°)+θ}

অর্থাৎ, 90° করে 7 বার ঘুরে 4th চতুর্ভাগে আসবে। যেখানে cosθ এর মান ধনাত্মক।
∴ cos{(7π/2) + θ}= sinθ.

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৪ সে. মি. এবং উচ্চতা ১০ সে মি হলে,সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৪ সে.মি.
উচ্চতা, h = ১০ সে.মি. 
 
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২π × ৪(৪ + ১০)
= ২π × ৫৬
= ১১২π বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ΔABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি AC = 2AB হয় তবে, ∠A এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = 2x



∴ sinC = x/2x 
⇒ sinC = 1/2 
⇒ sinC = sin30° 
⇒ C = 30°  

আমরা জানি, 
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 90° + 30° = 180° 
⇒ ∠A = 180° - (90° + 30°)
∴ ∠A = 60°

ΔABD ত্রিভূজের অতিঃ BD = ১০ সে. মি.
∴ AB = AD = ১০/√২ সে. মি.
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১০/√২ × ১০/√২ = ২৫ বর্গ সে. মি.

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, x, x ও 2x।
প্রশ্নমতে, x + x + 2x = 180°
বা, 2x = 90°
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটির একটি কোণ একসমকোণ।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

সুষম ষড়ভূজের মোট কোণের পরিমাণ = 180°× (n - 2)
                                               = 180°× (6 - 2)
                                               = 720°

প্রশ্ন: 24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৬, ৮ ও ১০ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার, b = ৮ মিটার, c = ১০ মিটার

ত্রিভুজটির পরিসীমা (২s) = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪ মিটার
∴ অর্ধ-পরিসীমা (s) = ২৪/২ = ১২ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গমিটার
= √{১২(১২ - ৬)(১২ - ৮)(১২ - ১০)}
= √{১২ × ৬ × ৪ × ২}
= √৫৭৬ বর্গমিটার
= ২৪ বর্গমিটার

ΔABC এর ক্ষেত্রফল
= 1/2 × বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল × বাহুদ্বয়ের অর্ন্তভুক্ত কোণের সাইন
= 1/2 ab SinC
= 1/2 bc SinA
= 1/2 ca SinB

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ × (৮ + ৬) মিটার 
= (২ × ১৪) মিটার 
= ২৮ মিটার ।

প্রশ্ন: 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
54° কোণের বিপ্রতীপ কোণ হল সেই কোণ যা দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, যখন তারা একে অপরকে ছেদ করে। বিপ্রতীপ কোণগুলি সমমান হয়ে থাকে।

অতএব, 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণও হবে 54°।

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 20 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?
সমাধান:
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 20 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ = 45°

∆ABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tan 45° = 20/BC
⇒ 1 = 20/BC
⇒ BC = 20

∴ ছায়ার দৈর্ঘ্য = 20 মিটার

রেখার কোনো প্রান্তবিন্দু নাই কিন্তু রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
আবার, রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
একটি বিন্দু থেকে একাধিক রশ্মি আঁকা যায়।