জ্যামিতি

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 12 সে.মি. হলে কোণকের আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = 12  সে.মি.

আমরা জানি, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
 (1/3)π × 5² × 12
= (1/3)π × 25 × 12
= π × 25 × 4
= 100π cm³

সুতরাং, কোণকের আয়তন 100π cm³

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1080° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = n

আমরা জানি, 
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1080°
⇒ n - 2 = 1080°/180°
⇒ n - 2 = 6
⇒ n = 6 + 2
∴ n = 8

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² বর্গ একক
= 9πr² বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
অর্থ্যাৎ, বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

চিত্রে,
EF||BC এবং
EF = 1/2BC = BD
আবার,
DE||AB এবং
DE = 1/2AB = BF
∴ BDEF চতুর্ভুজে বিপরীত বাহুগুলো সমান এবং সমান্তরাল
∴ ইহা একটি সামান্তরিক।

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে এবং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৫ সে.মি.। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে.মি. হলে, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দুটি বৃত্ত অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে, অর্থাৎ ছোট বৃত্তটি বড় বৃত্তের ভিতরে আছে এবং তারা একটি বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব = ৫ সে.মি.
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ১৪ সে.মি.
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ? সে.মি.

অন্তঃস্থ স্পর্শের ক্ষেত্রে, কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো, 
দূরত্ব = বড় ব্যাসার্ধ - ছোট ব্যাসার্ধ
৫ = R - r
⇒ ১৪ - r = ৫
⇒ r = ১৪ - ৫
∴ r = ৯ সে.মি.

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি.। 

প্রশ্ন: ৪ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × ২ = (৪ × ২) = ৮ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × ক সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√২ × ক = ৮
⇒ ক = ৮/√২

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২বর্গ সেমি
= ৬৪/২ বর্গ সেমি
= ৩২ বর্গ সেমি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
বৃহত্তর কোণ = (ক + ২০)°

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২০) = ৯০
বা, ২ক + ২০ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ২০
বা, ২ক = ৭০
বা, ক = ৭০/২
∴ ক = ৩৫

অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ৩৫°

∠A ও ∠B পরস্পর পূরক হলে, ∠A + ∠B = 90°
বা, ∠B + ∠B = 90° [যেহেতু ∠A = ∠B]
বা, 2∠B = 90°
বা, ∠B = 45°

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ²= লম্ব²+ভূমি²
তাই একমাত্র ক অপশন ছাড়া অন্য কোনটা এটি সমর্থন করে না।
ক অপশনে ৫^২ = ৩^২ + ৪^২

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের (Octagon) প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, বহুভুজটি হলো সুষম অষ্টভুজ।
অর্থাৎ, বাহুর সংখ্যা (n) = ৮।

আমরা জানি, সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/n
= ৩৬০°/৮
∴ বহিঃস্থ কোণ = ৪৫°

আবার, একটি অন্তঃস্থ কোণ ও তার সংশ্লিষ্ট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
অতএব, অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - বহিঃস্থ কোণ
= ১৮০° - ৪৫°
∴ অন্তঃস্থ কোণ = ১৩৫°

∴ সুষম অষ্টভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ হলো ১৩৫°।

এক লিটার পানির ওজন = ১০০০ গ্রাম বা ১ কেজি।
∴ তিন লিটার পানির ওজন = ৩ কেজি।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৩৬.৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার 
= ২ × ১২ মিটার 
= ২৪ মিটার 

এখন,
১ মিটারে খরচ হয় = ৩৬.৫ টাকা
∴ ২৪ মিটারে খরচ হয় = (২৪ × ৩৬.৫) টাকা
= ৮৭৬ টাকা। 

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ৪৮ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪৮/৩ = ১৬ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (বাহু)^২বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ১৬^২বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ২৫৬ বর্গমিটার
= ৬৪√৩ বর্গমিটার

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r,
উচ্চতা = h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100π
আয়তন = πr²h = 150π
∴ πr²h/2πrh = 150π/100π
r/2 = 3/2
∴ r = 3
এখন,
2πrh = 100π
বা, h = 100π/2πr
= 50/3
= 16(2/3)

প্রশ্ন: tanθ + cotθ =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= (sin²θ + cos²θ)/(sinθ . cosθ)           
= 1/(sinθ . cosθ)                          [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (1/sinθ) . (1/cosθ)
= cosecθ . secθ 

ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য x মি
প্রশ্নমতে,
x² / (x²/4)
= x² × (4/x²)
= 4

অর্থ্যাৎ, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ৪ গুণ।

প্রদত্ত ত্রিভূজটি একটি সমকোণী ত্রিভূজ।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে আমরা জানি,
কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

অর্থাৎ,
অতিভূজ² = ভূমি² + লম্ব²
সুতরাং
q2 = 21²+ 20²
বা, q = √(21²+ 20²)
= √(441 + 400)
= √(841)
= 29

বর্গের ক্ষেত্রফল = ৯৮ বর্গমিঃ
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮
= ৭√২
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৭√২ × √২
= ১৪ মিঃ
= বৃত্তের ব্যাস

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠POR = 150° যেখানে O বৃত্তের কেন্দ্র, তাহলে ∠PQR কত?

সমাধান:
কেন্দ্রীয় কোণ প্রধান বৃত্তীয় কোণের দ্বিগুণ।
এবং বৃত্তীয় চতুর্ভুজে বিপরীত কোণগুলির সমষ্টি 180° 

 এখন, 
∠POR = 2 × ∠PSR
⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

আবার,
 ∠PQR + ∠PSR = 180°
⇒ ∠PQR + 75° = 180°
⇒ ∠PQR = 180° - 75°
∴ ∠PQR = 105°

∴ সঠিক উত্তর 105°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সে.মি. ও ভূমি 2 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির লম্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 3 সেমি. ও ভূমি 2 সেমি.
 
∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, 
(অতিভুজ)² = (ভূমি)² + (লম্ব)²
⇒ (লম্ব)² = 3² - 2²
⇒ (লম্ব)² = 9 - 4
∴ লম্ব = √5

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
∴ বিস্তার বা প্রস্থ = ৮/২ = ৪ মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √{৪²+ (৮)²}
= √(১৬ + ৬৪)
= √(৮০)
= ৪√৫ মিটার

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 30° হলে তাদের মান কত?

সমাধান:
দুটি কোণ সম্পূরক হলে তাদের যোগফল হয় 180°।
ধরা যাক, কোণ দুটি x এবং y এবং x < y। 

তাহলে,
x + y = 180°
আবার,
y - x = 30°
 ⇒ y = x + 30°

প্রথম সমীকরণে y = x + 30° বসিয়ে পাই:
x + (x + 30°) = 180°
⇒ 2x + 30° = 180°
⇒ 2x = 150°
⇒ x = 75°

অতএব,
y = x + 30° = 75° + 30° = 105°

∴ (x, y) = (75°, 105°)

ABC স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² = AC² + BC² + 2(BC × CD)
AB² = 20² + 10² + (2 × 10 × 8)
AB² = 400 + 100 + 160
AB² = 660
AB = 25 (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৮৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
​দেওয়া আছে, 
​সমবাহু ত্রিভুজের বাহু, a = ৮৪ সে.মি. 
​
আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ= a/২√৩
= ৮৪/২√৩ 
= ৪২/√৩ 
= (১৪ × √৩ × √৩)/√৩ 
= ১৪√৩ 

∴ ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ = ১৪√৩ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
কোণ তিনটি যথাক্রমে x, ২x এবং ৩x 

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ x + ২x + ৩x = ১৮০°
বা, ৬x = ১৮০°
∴ x = ৩০°

∴ বৃহত্তম কোণটি = ৩x
= ৩ × ৩০°
= ৯০° । 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 400 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ কি.মি.? 

সমাধান: 
ধরি, 
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a 
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে, 
4a = 400
∴ a = 100

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)² 
= (100)²
= 10000 বর্গমিটার 
= 10000/(1000 × 1000) বর্গ কি.মি. 
= 0.01 বর্গ কি.মি.

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 0.01 বর্গ কি.মি. । 

প্রশ্ন: cosecA - cotA = 3/4 হলে, cosecA + cotA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA - cotA = 3/4

আমরা জানি,
cosec²A - cot²A = 1
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ (cosecA + cotA)(3/4) = 1
⇒ cosecA + cotA = 1 × (4/3)
∴ cosecA + cotA = 4/3

Cosec²θ - Cot²θ = 1
বা, (Cosecθ + Cotθ)(Cosecθ - Cotθ) = 1
বা, Cosecθ - Cotθ = 1/(Cosecθ + Cotθ)
= 1/(5/2)
= 2/5
∴ Cosecθ - Cotθ = 2/5