জ্যামিতি

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 16°) = 1/2 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে θ = কত?

সমাধান:
sin(θ + 16°) = 1/2
⇒ sin(θ + 16°) = sin30°
⇒ θ + 16° = 30°
⇒ θ = 30° - 16°
∴ θ = 14°

জ্যামিতিক হার = ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২ …………
গানিতিক হার = ২, ৩, ৪, ৫, ৬ …………

প্রশ্ন: যদি θ একটি সূক্ষ্মকোণ হয় এবং 7sin²θ + 3cos²θ = 4 তাহলে tanθ এর মান কত?

সমাধান: 
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

প্রদত্ত রাশি, 
tanθ = tan30° = 1/√3

বর্গের পরিসীমা = 32 cm
∴ একবাহুর দৈর্ঘ্য = 32/4 = 8 cm
;∴ কর্ণ AC = 8√2 cm
∴ ΔABC এর পরিসীমা = 8 + 8 + 8√2
= 16 + 8√2
= 8(2 + √2)

প্রশ্ন: 18 ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণে স্পর্শ করে, খুঁটিটি মাটি হতে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?

সমাধান: 

মনে করি, 
খুঁটিটি মাটি হতে h ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল। 
∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (18 - h) ফুট 

এখন, 
Sinθ = লম্ব/অতিভুজ 
বা, Sin30° = h/(18 - h) 
বা, 1/2 = h/(18 - h) 
বা, 18 - h = 2h 
বা, 2h + h = 18 
বা, 3h = 18 
বা, h = 18/3 
∴ h = 6 

∴ খুঁটিটি মাটি হতে 6 ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের উচ্চতা ১০ মিটার এবং ভূমি ১২ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
উচ্চতা = ১০ মিটার
ভূমি = ১২ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১২ × ১০
= ৬ × ১০
= ৬০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার কক্ষের দৈর্ঘ্য ৭ মি., প্রস্থ ৫ মি. এবং উচ্চতা ২৫০ সে. মি.। কক্ষটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য = ৭ মি.
প্রস্থ = ৫ মি.
উচ্চতা = ২৫০ সে.মি. = ২.৫ মি   ; [১ মি = ১০০ সে.মি.]

আমরা জানি, 
আয়তক্ষেত্রাকার কক্ষের আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) ঘন একক।
= ৭ × ৫ × ২.৫
= ৩৫ × ২.৫
= ৮৭.৫ ঘন মিটার।

সুতরাং,  কক্ষটির আয়তন ৮৭.৫ ঘন মিটার।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ২৭০০০ ঘন সে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের আয়তন = ২৭০০০ ঘন সে.মি. 

আমরা জানি, 
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ক√৩ সে.মি

মনে করি, 
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক হলে এর
ঘনকের আয়তন = ক^৩ ঘন একক 

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ২৭০০০
বা, (ক)^৩ = (৩০)^৩
∴ ক = ৩০
সুতরাং, ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩০ সে.মি.

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ৩০√৩ সে.মি.। 

মনে করি, অন্তঃস্থ ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r সেমি
প্রশ্নমতে,  r + ২ = ৬
বা, r = ৪ সেমি

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না? 

সমাধান: 
তিনটি বাহু দেয়া থাকলে তাদের দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করার শর্ত হলো- 
"যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে"
এখানে, 
অপশন ক) তে, ২ + ৪ = ৬ > ৫; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব, 
অপশন খ) তে, ২ + ৪ = ৬ < ৭; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়, 
অপশন গ) তে, ৪ + ৫ = ৯ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব এবং
অপশন ঘ) তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৬; যা দ্বারা ত্রিভুজ গঠন সম্ভব। 

প্রশ্ন: একটি দড়িকে বৃত্তাকারে বাঁকালে তার ব্যাসার্ধ হয় ২৮ সে.মি.। এখন যদি দড়িটি দিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র বানানো হয়, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১, তাহলে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ২৮ সেমি
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ২৮
= ১৭৬ সেমি

আবার,
ধরি, আয়তক্ষেত্রের
দৈর্ঘ্য = ৩ক এবং প্রস্থ = ক

∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৩ক + ক) = ৮ক

প্রশ্ন অনুসারে,
⇒ ৮ক = ১৭৬
∴ ক = ১৭৬ ÷ ৮ = ২২ 
∴ প্রস্থ = ক = ২২ সে.মি.
তাহলে,
দৈর্ঘ্য = ৩ক = ৩ × ২২ = ৬৬ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= ৬৬ × ২২
= ১৪৫২ বর্গ সে.মি.

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৪৫২ বর্গ সে.মি

∠DBC = 30°
∠BOC = 90° ∴ ∠BCA = 60°
∴ ∠BAC = ∠ACD = ∠BCA = 60°

প্রশ্ন: x-অক্ষের ছেদবিন্দু 2 এবং y-অক্ষের ছেদবিন্দু - 1 বিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x-অক্ষের ছেদবিন্দু 2   ∴ বিন্দু (2, 0)
y-অক্ষের ছেদবিন্দু - 1  ∴ বিন্দু (0, - 1)

এখন, (2, 0) এবং (0, - 1) বিন্দুর ঢাল, 
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
⇒ m = (- 1 - 0)/(0 - 2) = 1/2
∴ m = 1/2

এখন, রেখার সমীকরণ
y = mx + b, [যেখানে, ঢাল m এবং y-অক্ষের ছেদবিন্দু, b ].
⇒ y = (1/2)x - 1  ; [m = 1/2, y-অক্ষের ছেদবিন্দু, b = - 1]
⇒ 2y = x - 2
∴ x - 2y = 2

প্রশ্ন: রতন 5 মিটার উত্তর দিকে যাওয়ার পর 5 মিটার পশ্চিমে যায়। তারপর পুনরায় 7 মিটার উত্তরে যায়। তার যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব কত? 

সমাধান: 

যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব, AD² = AB² + BD²
⇒ AD = √(AB² + BD²)
= √{(5)² + (12)²}
= √(25 + 144)
= √169
= 13

∴ যাত্রা স্থান থেকে বর্তমান অবস্থানের দুরত্ব = 13 মিটার।

প্রশ্ন: 3 cotA = 4 হলে, sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 cotA = 4
⇒ cotA = 4/3

আমরা জানি,
cotA = ভূমি/লম্ব
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ (অতিভুজ)² = (3)² + (4)²
⇒ (অতিভুজ)² = 9 + 16
⇒ (অতিভুজ)² = 25
⇒ অতিভুজ = √25 = 5

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ
∴ sinA = 3/5

প্রশ্ন: (1, 13) এবং (- 3, 6) বিন্দুগামী রেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
(1, 13) এবং (- 3, 6) এ
x₁ = 1, x₂ = - 3, y₁ = 13, y₂ = 6

∴ রেখার ঢাল = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (6 - 13)/(- 3 - 1)
= (- 7)/ (- 4)
= 7/4

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের দুটি অন্তঃস্থ কোণ ৫৫° ও ৫০° হয়, তবে ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের কোনো বহিঃস্থ কোণ = দুটি বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টির সমান।
এবং যেকোনো অন্তঃস্থ কোণ এবং তার বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।

দেওয়া অন্তঃস্থ কোণ দুটি = ৫৫° + ৫০° = ১০৫°
∴ তৃতীয় অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০° - ১০৫° = ৭৫°
∴ তৃতীয় কোণের বহিঃস্থ কোণ = ১৮০° - ৭৫° = ১০৫°

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমানো হয়, তাহলে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 160 বর্গমিটার
দৈর্ঘ্য কমালে ক্ষেত্র বর্গাকার হয়ে যায়।
ধরি, দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, xy = 160 ....... (1) 

আবার, 
দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমালে বর্গাকার হয়। অর্থাৎ, x - 6 = y

(1) নং হতে পাই, 
⇒ x(x - 6) = 160
⇒ x² - 6x - 160 =0
⇒ x² - 16x + 10x - 160 = 0
⇒ x(x - 16) + 10(x - 16) = 0
⇒ (x - 16)(x + 10) = 0
হয়, (x - 16) = 0
∴ x = 16

অথবা, (x + 10) = 0
∴ x = - 10  [যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

সুতরাং, দৈর্ঘ্য = 16 মিটার
এবং প্রস্থ, y = 160/16 = 10 মিটার

সুতরাং,  আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 10 মিটার। 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৩০ মিটার। এর ভেতরের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
মাঠের প্রস্থ = ৩০ মিটার

∴ মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ৫০ × ৩০ = ১৫০০ বর্গমিটার

রাস্তা ভেতরের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া হওয়ায়,
রাস্তা বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (৩ × ২) মিটার
= ৫০ - ৬ = ৪৪ মিটার

রাস্তা বাদে মাঠের প্রস্থ = ৩০ - (৩ × ২) মিটার
= ৩০ - ৬ = ২৪ মিটার

∴ রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = ৪৪ × ২৪ = ১০৫৬ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট মাঠের ক্ষেত্রফল − রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল
= ১৫০০ − ১০৫৬
= ৪৪৪ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৪৪৪ বর্গমিটার

বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্যঃ
বৃত্তে অন্তলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হলে,
D + B = 180°
B = 180° - 105°
= 75°
A = 2B
= 2 × 75°
= 150°
∴ C = 180° - 150°
= 30°

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই (অনেক বই তে রেখার প্রান্তবিন্দু ২ টা দেওয়া আছে সেটা ভুল। নবম শ্রেণীর বোর্ড বইতে দেওয়া আছে রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই)
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার এবং একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ সমান এবং তাদের আয়তন সমান। যদি কোণকের উচ্চতা 9 মিটার হয়, তবে সিলিন্ডারের উচ্চতা কত?

সমাধান: 
ধরি,
সিলিন্ডার ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r মিটার 
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁ মিটার 
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h₂ মিটার = 9 মিটার 

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁ ঘনমিটার 
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h₂ ঘনমিটার 

প্রশ্নমতে, 
πr²h₁ = (1/3)πr²h₂
বা, h₁ = 9/3
∴ h₁ = 3

∴ সিলিন্ডারের উচ্চতা = 3 মিটার।

প্রশ্ন: কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?
​
​সমাধান: 
tan90° এর মান = অসংজ্ঞায়িত।

​​অন্যদিকে, 
sin60° এর মান = √3/2,
​cos90° এর মান = 0 
​এবং sec0° এর মান = 1 
​
​

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন 512x³ ঘন একক। ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি ঘনকের আয়তন 512x³ ঘন একক


আমরা জানি,
ঘনকের আয়তন = a³  ; [ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = a একক]

প্রশ্নমতে,
a³ = 512x³
⇒ a³ = (8x)³
∴ a = 8x

সুতরাং, ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য 8x একক।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪ সেন্টিমিটার এবং ২০ সেন্টিমিটার। এই রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১৪ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ২০ সেন্টিমিটার 

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = {(১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল} বর্গ একক 
= {(১/২) × ১৪ × ২০} বর্গ সেন্টিমিটার
= ১৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: 10 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 10 সে.মি. 
তাহলে, ব্যাস = 2r = (10 × 2) = 20   [যা বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান] 

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × (কর্ণ)²
= (1/2) × (20)²
= 400/2
= 200 বর্গ সে.মি. 

∴ ক্ষেত্রফল = 200 বর্গ সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৩০° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস ১৮ সে.মি. হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = ১৮ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ১৮/২ = ৯ সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = ৩০° 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s = ?

আমরা জানি,
s = πrθ/১৮০°
⇒ s =  (π × ৯ × ৩০°)/১৮০°
∴ s = ১.৫π সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১.৫π  সে.মি.। 

প্রশ্ন: দুটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৩৬ : ২৫ হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
১ম ত্রিভুজের এক বাহু a₁,
২য় ত্রিভুজের এক বাহু a₂

১ম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,(√3/4)a₁²
২য় ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,(√3/4)a₂²
শর্তমতে,
(√3/4)a₁² : (√3/4)a₂2 = 36 : 25
বা, a₁² : a₂² = 36 : 25
বা, a₁ : a₂ = 6 : 5

এখন,
১ম ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a₁ = 3 × 6x = 18x
২য় ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a₂ = 3 × 5x = 15x
১ম ত্রিভুজের পরিসীমা : ২য় ত্রিভুজের পরিসীমা
= 18x : 15x
= 6 : 5

বাগানের ক্ষেত্রফল = ৬০ × ৪০
= ২৪০০ বর্গমিঃ
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৬০ + ২ × ৫)(৪০ + ২ × ৫)
= ৭০ × ৫০
= ৩৫০০
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৩৫০০ - ২৪০০)বর্গমিঃ
= ১১০০ বর্গমিঃ