গাণিতিক যুক্তি

চাকাটি একবারে অতিক্রম করে তার পরিধির সমান দুরত্ব।
∴ পরিধি = 2πr = πD = π×4.5 = 14.14 মি.
∴ চাকাটি 360 মি. পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে = 360/14.14 = 25.46 = 25 বার

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০%
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (বাংলা বা ইংরেজি) = (ইংরেজিতে পাশ) + (বাংলায় পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮০ + ৭০ - ৬০)%
= (১৫০ - ৬০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯০)%
= ১০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন: যদি x² - 2√2 x + 1 = 0 হয়, তাহলে   x² + (1/x² )​ এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(x - 4) ≥ 3x - 5
⇒ 2x - 8 ≥ 3x - 5 
⇒ 2x - 3x ≥ -5 + 8
⇒ - x ≥ 3
⇒ x ≤ - 3 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ৫/৮ = ০.৬২৫
খ) ৭/১০ = ০.৭
গ) ৩/৪ = ০.৭৫
ঘ) ১/২ = ০.৫

এখানে ০.৭৫ মানটি সবচেয়ে বড়।
∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো ৩/৪

প্রশ্ন: 16x² + 49y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 16x² + 49y²
= (4x)² + (7y)²

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²

∴ (4x)² + 2.(4x).(7y) + (7y)²
= (4x + 7y)²

অর্থাৎ (4x)² + (7y)² এর সাথে যদি 2.4x.7y = 56xy যোগ করি তাহলে পূর্ণবর্গ হবে।

∴ 16x² + 49y² এর সাথে 56xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

ধরি, মাসুদের আয় ২০ টাকা ও ব্যয় ১৫ টাকা, তাহলে সঞ্চয় (২০-১৫) = ৫ টাকা
২০ টাকায় সঞ্চয় করে ৫ টাকা
১০০ 〃 〃 〃(১০০×৫)/২০ টাকা
= ২৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায় আসিফের বিনিয়োগ ছিল ৫০০০ টাকা। ৮ মাস পরে সিয়াম কিছু অর্থ নিয়ে সেই ব্যবসায় যুক্ত হয়। এক বছর পর লাভ ৩ : ৪ অনুপাতে ভাগ হলে, সিয়াম কত টাকা বিনিয়োগ করেছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লভ্যাংশের অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
আসিফের বিনিয়োগ = ক টাকা

আসিফের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং সিয়ামের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৮) মাস = ৪ মাস

প্রশ্নমতে,
(৫০০০ × ১২)/(ক × ৪) = ৩/৪
⇒ ৬০০০০/ক = ৩
⇒ ৩ক = ৬০০০০
⇒ ক = ৬০০০০/৩
⇒ ক = ২০০০০

সিয়ামের বিনিয়োগ = ২০০০০ টাকা

৬৪ টাকায় ২ বছরের মুনাফা (৮৩ - ৬৪) = ১৯ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১ বছরের মুনাফা (১০০ × ১৯)/(৬৪ × ২) = ১৪.৮৪ টাকা
∴ ৮৬ টাকার ৪ বছরের মুনাফা = (৮৬ × ১৪.৮৪ × ৪)/১০০ = ৫১.০৫ টাকা (প্রায়)
∴৮৬ টাকা ৪ বছরে (৮৬ + ৫১.০৫) = ১৩৭.০৫ টাকা

প্রশ্ন: ক, খ ও গ-এর মধ্যে 260 টাকা এমনভাবে ভাগ করতে হবে যেন ক-এর অংশের 2 গুণ, খ-এর অংশের 3 গুণ এবং গ-এর অংশের 4 গুণ সমান হয়। তাহলে গ-এর টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
ক-এর অংশ = x
খ-এর অংশ = y
গ-এর অংশ = z

প্রদত্ত শর্ত,
2x = 3y = 4z = k [ধরি সবগুলোর সমান মান = k]
2x = k
∴ x = k/2

3y = k
∴ y = k/3
এবং 
4z = k
∴ z = k/4

প্রশ্নমতে, 
x + y + z = 260
⇒ (k/2) + (k/3) + (k/4) = 260
⇒ (6k + 4k + 3k)/12 = 260
⇒ 13k/12 = 260
⇒ k = (260 × 12)/13
∴ k = 240

∴ গ-এর অংশ, z = k/4 = 240/4 = 60 টাকা

সুতরাং গ-এর টাকার পরিমাণ = 60 টাকা।

প্রশ্ন: (11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰
=1 + (11 × 1) + 1 
= 1 + 11 + 1
= 13

প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা নিয়ে ৪ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্লাস কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে? 

সমাধান:
৭ জন বালকের মধ্য থেকে ২ জন বালক বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ^৭C_২
= ৭!/(২! × ৫!)
= (৭ × ৬ × ৫!)/(২ × ৫!)
= ২১

৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালিকা বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ^৫C_২
= ৫!/(২! × ৩!)
= (৫ × ৪ × ৩!)/(২ × ৩!)
= ১০


∴ মোট উপায় সংখ্যা = ২১ × ১০ = ২১০ 

প্রশ্ন: ক-এর বয়স ৩৬ বছর এবং খ-এর বয়স ১৬ বছর। কত বছর পরে ক-এর বয়স খ-এর বয়সের দ্বিগুণ হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক-এর বর্তমান বয়স = ৩৬ বছর
খ-এর বর্তমান বয়স = ১৬ বছর
চাওয়া: কত বছর পরে ক-এর বয়স = খ-এর বয়সের 
ধরি, t বছর পরে দ্বিগুণ হবে।

এখন, 
ক-এর বয়স = ৩৬ + t
খ-এর বয়স = ১৬ + t

প্রশ্নমতে,
৩৬ + t = ২ × (১৬ + t)
⇒ ৩৬ + t = ৩২ + ২t
⇒ ২t - t = ৩৬ - ৩২
∴ t = ৪ বছর

∴ ৪ বছর পরে ক-এর বয়স (৪০ বছর) হবে খ-এর বয়সের (২০ বছর) দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বেতনের অনুপাত ৫ : ২ । করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৩৪৮ টাকা কম হলে রহিমের বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, 
রহিমের বেতন = ৫ক 
করিমের বেতন = ২ক 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ৩৪৮
⇒ ৩ক = ৩৪৮
⇒ ক = ৩৪৮/৩
⇒ ক = ১১৬

∴ রহিমের বেতন = ৫ × ১১৬ = ৫৮০ টাকা 

২৩১ = ৩ × ৭ × ১১
∴ ২৩১ দ্বারা সংখ্যাটি ৭ দ্বারা ও বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ 50° হলে, তার পূরক কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
একটি কোণ = x হলে, 
কোণটির দ্বিগুণ হবে = 2x

প্রশ্নমতে,
2x = 50°
বা, x = 50°/2
∴ x = 25° 

∴  25° এর পূরক কোণ = (90° - 25°)
= 65°  ।

৪ জন পুরুষ = ৬ জন স্ত্রীলোক
২ জন পুরুষ = (৬ X ২)/৪ = ৩ জন স্ত্রীলোক।
৬ জন স্ত্রীলোক কাজটি করে ১৬ দিনে
(৩+৫) বা ৮ জন স্ত্রীলোক কাজটি করে (১৬ X ৬)/৮ দিনে।
= ১২ দিনে।

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৬০ জন গণিতে পাস করেছে। গণিতে মোট ৭২ জন ফেল করলে, পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
গণিতে ফেল করে = (১০০ - ৬০) জন  
= ৪০ জন 

এখন, 
৪০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন
∴ ১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/৪০ জন 
∴ ৭২  জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১০০ × ৭২)/৪০ জন 
= ১৮০ জন 

∴ পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১৮০ জন।

দেয়া আছে, 
x + y = 7
xy = 10

আমরা জানি 
      (x - y)² = (x + y)² - 4xy
                 = 7² - (4×10)
                 = 49 - 40 
                 = 9

১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/২
দ্বিতীয়বার হেড আসার সম্ভাবনা = ১/২
∴ উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২ × ১/২ = ১/৪

প্রশ্ন: তিনজন সাইকেল আরোহীর গতির অনুপাত ৫ : ৮ : ১০। তারা একই দূরত্ব অতিক্রম করতে যে সময় নেয় তার অনুপাত কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
তিনজন সাইকেল আরোহীর গতির অনুপাত ৫ : ৮ : ১০

মনেকরি,
দূরত্ব = ১ 

∴ তিনটি গাড়ির সময়ের অনুপাত  = (১/৫) : (১/৮) : (১/১০)
= (১/৫) × ৪০ : (১/৮) × ৪০ : (১/১০) × ৪০
= ৮ : ৫ : ৪ 

9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)²
= (3x - 5y)²

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টির গড়)×(উচ্চতা)
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (½)(a + b)h

দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: ০.০০৪০৯৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করুণ।

সমাধান:
√০.০০৪০৯৬
= √(৪০৯৬/১০০০০০০)
= √(৬৪^২/১০০০^২)
= ৬৪/১০০০
= ০.০৬৪