গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশি যথাক্রমে ২ এবং ৩২ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ২
৪র্থ রাশি = ৩২

আমরা জানি, তিনটি পরপর সমানুপাতের ক্ষেত্রে:
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ২ × ৩২ = ৬৪
⇒ মধ্য রাশি = √৬৪ = ৮

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ২৫। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩০ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ২৫
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (২৫ × ২)
= ৫০

আবার,
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৩০
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ × ৩) 
= ৯০ 

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (৯০ - ৫০) 
= ৪০  । 

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, যাদের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণটি হলো ক।
তাহলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি হবে (ক + ৪৫)°।
শর্তমতে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ক + (ক + ৪৫) = ৯০°
⇒ ২ক + ৪৫ = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪৫°
⇒ ২ক = ৪৫°
⇒ ক = ৪৫°/২
∴ ক = ২২.৫০°
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান হলো ২২.৫০°।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৫৬০)/৮০ টাকা
= ৭০০ টাকা

আবার, ২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৭০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৭০০)/১০০ টাকা
= ৮৪০ টাকা

প্রশ্ন: "AUTHOR" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 6টি
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (A, O, U) 3টি
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (T, H, R) 3টি

স্বরবর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6
= 36

অতএব, AUTHOR শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: x = 3 হলে, 9x² - 24x + 16 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 3 

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 24x + 16
= 9. (3)² - 24 × 3 + 16
= 81 - 72 + 16
= 9 + 16
= 25

প্রশ্ন: রেখা 3x - 4y = 12 এর ঢাল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
3x - 4y = 12 এটিকে y = mx + c আকারে লিখলে,
⇒ - 4y = - 3x + 12
⇒ y = 3/4x - 3
এখানে x এর সহগ হলো রেখার ঢাল m = 3/4

∴ রেখাটির ঢাল = 3/4

বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ঠ্যঃ
১. x  ও y - এর দ্বিঘাত সমীকরণ।
২. x²  এর সহগ = y² এর সহগ
৩. xy সম্বলিত পদ অনুপস্থিত।
প্রশ্নের অপশন ক) বৃত্তের সমীকরণের সবগুলো শর্ত পুরণ করে।
তাই অপশন ক) সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: 2, 5, 6 এর চতুর্থ সমানুপাতী কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি
সমানুপাতের ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
2 × ৪র্থ রাশি = 5 × 6
৪র্থ রাশি = (30/2)
৪র্থ রাশি = 15

9x² + 16y²
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y - 24xy
= (3x - 4y)² - 24xy
∴ 9x² + 16y² এর সাথে 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: যদি x² - 4x - 1 = 0 হয়, তবে (x + 1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 4x - 1 = 0
⇒ x² - 1 = 4x
⇒ (x²)/x - 1/x = (4x)/x
⇒ x - 1/x = 4

আমরা জানি,
(x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4 . x . 1/x
বা, (x + 1/x)² = (4)² + 4
∴ (x + 1/x)² = 16 + 4 
∴ (x + 1/x)² = 20

প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের দ্বিগুণানুপাত = ৯^২ : ৩৬^২
= ৮১ঃ১২৯৬

প্রশ্ন: তেলের মূল্য ২০% কমে গেল, কিন্তু এর ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পেল। এতে তেল বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়লো বা কমলো?

সমাধান: 
২০% কমে যাওয়ায় তেলের বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
তেলের ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, বর্তমানে তেল ব্যবহৃত হয় = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

∴ ১০০ টাকার তেলের স্থানে ব্যবহার হয় ১২০ টাকার তেল
∴ ১ টাকার তেলের স্থানে ব্যবহার হয় = ১২০/১০০ টাকার তেল
∴ ৮০ টাকার তেলের স্থানে ব্যবহার হয় = (১২০ × ৮০)/১০০ = ৯৬ টাকা তেল

তেল বাবদ শতকরা ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা
∴ ৪% ব্যয় কমলো।

মনে করি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা বা, ৯০ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য - ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য
= (১০৫ - ৯০) টাকা বা, ১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৪৫০)/ ১৫ = ৩০০০ টাকা
সুতরা, ছাগলটির ক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা।

প্রশ্ন: p + q + r = 0 হলে, p³ + q³ + r³ এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr - rp) 
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 × (p² + q² + r² - pq - qr - rp) 
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 
বা, p³ + q³ + r³ = 3pqr 
∴ p³ + q³ + r³ = 3pqr 

প্রশ্ন: 1 থেকে 15 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত? 

সমাধান: 
1 থেকে 15 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 15 
আবার, 
1 থেকে 15 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 6 টি 
যথা- 2, 3, 5, 7, 11, 13 

∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = মৌলিক সংখ্যা/সর্বমোট সংখ্যা 
= 6/15 
= 2/5

  x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y²+ (-4)² + 2.x.y + 2.y(-4) + 2.(-4).x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy
অর্থাৎ 2xy যোগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪। যদি তাদের ল.সা.গু ২৪০ হয়, তবে দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, দুটি সংখ্যা হলো ৩x এবং ৪x, যেখানে x তাদের সাধারণ গুণনীয়ক।
∴ ৩x এবং ৪x এর  ল.সা.গু = ১২x

প্রশ্নমতে, 
১২x = ২৪০ 
⇒ x = ২৪০/১২ 
∴ x = ২০ 

∴ সংখ্যা দুটি হলো,
৩x = ৩ × ২০ = ৬০ 
৪x = ৪ × ২০ = ৮০ 

সুতরাং, দুটি সংখ্যার মধ্যে ছোটটি হলো ৬০।  

প্রশ্ন:  একটি ক্লাসের সকল ছাত্র একে অপরের সাথে নববর্ষের কার্ড বিনিময় করল। যদি মোট কার্ড বিনিময়ের সংখ্যা 420 হয়, তবে ঐ ক্লাসে কতজন ছাত্র ছিল?

সমাধান:
মনে করি, ঐ ক্লাসে n সংখ্যক ছাত্র ছিল।
কার্ড বিনিময়ের ক্ষেত্রে প্রত্যেকে একে অপরকে কার্ড দেয়। অর্থাৎ দুইজন ছাত্রের মধ্যে কার্ড বিনিময় হয় ২ ভাবে (A দেয় B-কে এবং B দেয় A-কে)। এটি মূলত একটি বিন্যাসের সমস্যা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তির মধ্যে পারস্পরিক কার্ড বা উপহার বিনিময়ের মোট সংখ্যা = ⁿP₂ বা n(n - 1)

প্রশ্নমতে,
n(n - 1) = 420 
⇒ n² - n - 420 = 0
⇒ n² - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21)(n + 20) = 0
∴ n = - 20 অথবা n = 21

কিন্তু n = - 20 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ ছাত্রের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]

∴ ঐ ক্লাসে 21 জন ছাত্র ছিল।

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ১১৫
বা, ৫ক = ১১৫
বা, ক = ২৩
∴ সংখ্যাটি ২৩

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি ছেদবিন্দু থাকতে পারে?

সমাধান:

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে।

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা থেকে কতভাবে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান: 
৫ জন পুরুষ হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ বেছে নেয়ার উপায় = ^৫C_১  = ৫ 
৪ জন মহিলা হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন মহিলা বেছে নেয়ার উপায় = ^৪C_১ = ৪ 

∴ ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার মোট উপায় = ৫ × ৪ = ২০

অনুপাতের সমষ্টি = ৭+৩ = ১০
∴ ৬০ লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৩/১০ = ১৮ লিটার।

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১২০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১২০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ভাগফল/৩ = ১২০/৩ = ৪০

এবং ভাগশেষ = ভাজক/২ = ৪০/২ = ২০

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ 
= (১২০ × ৪০) + ২০
= ৪৮২০

১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ১০/১০ টাকা = ১ টাকা
১ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১০/৮ টাকা = ১.২৫ টাকা।
∴ লাভ = (১.২৫ - ১) = ০.২৫ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ × ১০০ টাকা
= ২৫ টাকা
∴ লাভ ২৫%

প্রশ্ন: টাকায় ৪ টি করে লিচু ক্রয় ৫ টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হবে?

সমাধান: 
৪টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/৪ টাকা 

আবার,
৫টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ ক্ষতি = (১/৪) - (১/৫) = (৫ - ৪)/২০
= ১/২০ টাকা 
 
∴ ১/৪ টাকায় ক্ষতি হয় = ১/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৪/২০ = ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ১০০/৫ = ২০ টাকা

সুতরাং, শতকরা ২০% ক্ষতি হবে।

১ × ৩ = ৩
৩ × ৯ = ২৭
২৭ × ৮১ = ২১৮৭
২১৮৭ × ৬৫৬১ = ১৪৩৪৮৯০৭

প্রশ্ন: যদি cosec²θ + cot²θ = 5/3 হয় তাহলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosec²θ = 1 + cot²θ

দেওয়া আছে,,
cosec²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 1 + cot²θ + cot²θ = 5/3
⇒ 2 cot²θ = (5/3) -1
⇒ 2cot²θ = 2/3
⇒ cot²θ = 2/6
⇒ cot²θ = 1/3
∴ cotθ = 1/√3

প্রশ্ন: একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = 5 + 7 + 3 = 15

নীল অথবা লাল না অর্থাৎ সাদা বল আছে = 3 টি
∴ নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভবনা অর্থাৎ সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 3/15
= 1/5

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
 - বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।