গাণিতিক যুক্তি

a = 6,
r = 12/6 = 2
∴ ৭ম পদ = ar^7-1
= 6.2⁶
= 384

প্রশ্ন: - 2 < x < 8 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে কোনটি হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 2 < x < 8
⇒ - 2 - 3 < x - 3 < 8 - 3
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ |x - 3| < 5

∴ সমাধান: |x - 3| < 5

প্রশ্ন: ⁿP_r = 240 এবং ⁿC_r = 120 হলে, r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP_r = 240
⇒ ⁿP_r = 120 × 2
⇒ ⁿP_r = ⁿC_r × 2
⇒ n!/(n - r)! = n!/r!(n - r)!  × 2
⇒ 1 = (1/r!) × 2
⇒ r! = 2!
∴ r = 2

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৯০ কিমি বেগে চলমান একটি ট্রেন রাস্তার পাশের একটি বৈদ্যুতিক খুঁটিকে ৬ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
এখানে, বেগ = ৯০ কিমি/ঘণ্টা
= ৯০ × (৫/১৮) মি/সেকেন্ড
= ২৫ মি/সেকেন্ড

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = বেগ × সময় = ২৫ × ৬ = ১৫০ মিটার 

গড় = (শেষ সংখ্যা + প্রথম সংখ্যা)/২।
∴ (৭০ + ১)/২ = ৩৫.৫

প্রশ্ন: মা তার মেয়েকে বলল, 'তুমি যখন জন্মগ্রহণ করেছিলে, তখন আমার বয়স ঠিক তোমার বর্তমান বয়সের সমান ছিল।' যদি মায়ের বর্তমান বয়স ৪৮ বছর হয়, তাহলে মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
মেয়ের বর্তমান বয়স = x বছর
তাহলে, মেয়ে জন্মগ্রহণের সময় মায়ের বয়স ছিল = x বছর

∴ মায়ের বয়স = মেয়ের জন্মের সময় মায়ের বয়স + মেয়ের বর্তমান বয়স
= x + x
= ২x বছর

দেওয়া আছে, 
মায়ের বর্তমান বয়স = ৪৮ বছর
সুতরাং, ২x = ৪৮
⇒ x = ৪৮/২
∴ x = ২৪

সুতরাং, মেয়ের বর্তমান বয়স ২৪ বছর। 

সংখ্যা দু'টির গড় = -30 -40/2
= -35
∴ গড় ব্যবধান = {|-30 - (-35)| + |-40 - (-35)|}/2
= |5| + |-5|/2
= 10/2
= 5

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×5²
= 16 : 25

প্রশ্ন: ৬% হারে ৯ মাসে ১০,০০০ টাকার উপর সুদ কত টাকা হবে? 

সমাধান:
আসল, P= ১০০০০
বছর, n= ৯/১২
সুদের হার, r = ৬
সুদ, I= ?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, I = (১০০০০ × ৯ × ৬)/(১০০ × ১২)
বা, I = ৪৫০ টাকা

প্রশ্ন: a² - a - 56 = 0 হলে a = ?

সমাধান: 
a² - a - 56 = 0 
a² - 8a + 7a - 56 = 0
a(a - 8) + 7(a - 8) = 0
(a - 8)(a + 7) = 0

হয় 
a - 8 = 0
a = 8

অথবা 
a + 7= 0
a = - 7

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ রোল পর্যন্ত ছাত্র-ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ৩ জন ছাত্র নির্বাচন করলে, ৩ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০ = ১০  টি

∴ প্রথম ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ১০/২০ = ১/২ 
∴ দ্বিতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/১৯
∴ তৃতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/১৮ = ৪/৯ 

∴ ৩ জনেরই রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = (১/২) × (৯/১৯) × (৪/৯) 
= ২/১৯ 

সুতরাং, ৩ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা ২/১৯। 

প্রশ্ন: যদি A = π/2 ও B = π/6 হয়, তাহলে sin(A + B) = কত?

সমাধান: 
 sin(A + B) = sin(π/2 + π/6)
= sin (2π/3)
= sin 120°
= sin (90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: 2(a² - b²) এবং (a² - 2ab + b²) এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = 2(a² - b²)
= 2(a + b)(a - b)

২য় রাশি = a² - 2ab + b²
= (a - b)²
= (a - b)(a - b) 

এখানে,
সাংখ্যিক সহগ 2 ও 1 এর গ.সা.গু = 1
এবং সাধারণ মৌলিক উৎপাদক বা গুণনীয়ক = (a - b)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 1 × (a - b)
= (a - b) 

ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = x
x² + x² = 14²
x² = 98
ক্ষেত্রফল = ½ x ভূমি x উচ্চতা
= ½ x² = 49

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 50 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 বর্গমিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √(ক্ষেত্রফল)
= √50
= √(25 × 2)
= 5√2 মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য
= √2 × 5√2 মিটার
= (√2 × √2) × 5 মিটার
= 2 × 5 মিটার
= 10 মিটার

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 10 মিটার।

x⁶ + 4x³ - 1
= x⁶ + x³ - 1 + 3x³
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3.x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x².x - x²(-1) - x(-1)}
= (x² + x - 1)(x⁴ + x² + 1 - x³ + x² + x)
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² + x + 1)

এখানে,
OA ব্যাসার্ধ এবং AB স্পর্শক
∴ OA ⊥ AB
ফলে ∠OAB = 90°
∴ ∠AOB = 90° - ∠ABO
= 90° - 35°
= 55°

লাভ = ৯৬৩ - ৯০০
= ৬৩ টাকা
৯০০ টাকায় ৪ মাসে লাভ হয় = ৬৩ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১২ মাসে লাভ হয় = (৬৩×১০০×১২)/(৯০০×৪)
= ২১

(৪০ + ১০) = ৫০ জনের বয়সের সমষ্টি = (৫০ × ১৫·২) = ৭৬০ বছর
৪০ জনের বয়সের সমষ্টি = (৪০ × ১৫) = ৬০০ বছর
∴ নতুন ১০ জনের বয়সের গড় = ১৬০/১০ = ১৬ বছর

ধরি, প্রকৃত মূল্য = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x এর ৮৫% = ৬৮
বা, x এর ৮৫/১০০ = ৬৮
বা, x = (৬৮ × ১০০)/৮৫ = ৮০ টাকা

প্রশ্ন: 12x² + 11x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
12x² + 11x - 15
⇒ 12x² + 20x - 9x - 15
⇒ 4x(3x + 5) - 3(3x + 5)
⇒ (3x + 5)(4x - 3)

প্রশ্ন: ১০০০০ টাকা বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদে ২ বছর পর ১২১০০ টাকা হলে, বার্ষিক সুদের হার কত শতাংশ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
পরিমাণ, A = ১২১০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
হার, r = ?

আমরা জানি,
A = P(১ + r/১০০)ⁿ
১২১০০ = ১০০০০(১ + r/১০০)^২ 
⇒ (১ + r/১০০)^২ = ১২১০০/১০০০০ 
⇒ (১ + r/১০০)^২ = ১.২১ 
⇒ ১ + r/১০০ = √১.২১ = ১.১ 
⇒ r/১০০ = ১.১ - ১ = ০.১ 
⇒ r = ০.১ × ১০০
∴ r = ১০

∴ বার্ষিক সুদের হার = ১০%

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে, দুইটি বৃত্তকেই স্পর্শ করে এরূপ সর্বোচ্চ কতটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব?

সমাধান: 

- দুইটি বৃত্তকে স্পর্শ করে এরূপ সর্বোচ্চ ৪ টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴) এর গুণফল?

সমাধান:
(p² + q²)(p² - q²)(p⁴ + q⁴)
={(p²)² - (q²)²}(p⁴ + q⁴)
=(p⁴ -q⁴)(p⁴ + q⁴)
= (p⁴)² - (q⁴)²
= p⁸ - q⁸

প্রশ্ন: প্রতিটি চকলেট ৬ টাকা দরে ক্রয় করে ৮ টাকা দরে বিক্রয় করে ৪০ টাকা লাভ হলো। মোট কয়টি চকলেট ক্রয় করা হয়েছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ টি চকলেটের ক্রয়মূল্য ৬ টাকা
১ টি চকলেটের বিক্রয়মূল্য ৮ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি হওয়ায় লাভ হয়েছে।
∴১ টি চকলেটে লাভ (৮  - ৬) = ২ টাকা

এখন,
২ টাকা লাভ হয়  ১ টি চকলেটে
১ টাকা লাভ হয় (১/২) টি চকলেটে
∴ ৪০ টাকা লাভ হয় (১ × ৪০)/২ টি চকলেটে
= ২০ টি চকলেটে

∴ ২০টি চকলেট ক্রয় করা হয়েছিলো। 

ISTANBUL CANAL শব্দদ্বয়ে মোট 13টি অক্ষর রয়েছে যাদের 3টি A,
2টি N, 2টি L এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
∴ সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 13!/3!2!2!

প্রশ্ন: ২৩০ এর ভাজক সংখ্যা কতটি?

সমাধান: 
২৩০-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
২৩০ = ২ × ৫ × ২৩
= ২^১ × ৫^১ × ২৩^১

∴ মোট ভাজকের সংখ্যা = (১ + ১)(১ + ১)(১ + ১) = ২ × ২ × ২ = ৮

অতএব, ২৩০-এর ভাজক সংখ্যা মোট ৮টি।

২৩০-এর সব ভাজকগুলো হলো-
১, ২, ৫, ১০, ২৩, ৪৬, ১১৫, ২৩০

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। বৃহত্তম কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি, কোণ তিনটি x, 2x এবং 3x।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ x + 2x + 3x = ১৮০°
বা, ৬x = ১৮০°
∴ x = ৩০°

∴ বৃহত্তম কোণটি = 3x
= ৩ × ৩০°
= ৯০°

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৪৬ মিনিটে শহর A থেকে শহর B তে পৌঁছায়। দুইটি শহরের দূরত্ব ৫৯.৮ মাইল হলে, ঘণ্টায় ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত মাইল? 

সমাধান:  
৪৬ মিনিটে যায় = ৫৯.৮ মাইল 
∴ ১ মিনিটে যায় = ৫৯.৮/৪৬ মাইল 
∴ ৬০ মিনিটে যায় = (৫৯.৮ × ৬০)/৪৬ মাইল 
= ৭৮ মাইল 

∴ ঘণ্টায় ট্রেনটির গড় গতিবেগ = ৭৮ মাইল ।

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে
n তম পদ = ar^n-1
∴ তৃতীয় পদ ar^3-1 = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar^6-1 = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i) ⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

ধরি,
বৃত্ত দু'টির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৩r এবং ৪r
∴ ক্ষেত্রফল দ্বয়ের অনুপাত = π(৩r)^২ : π(৪r)^২
= ৯πr^২ : ১৬πr^২
= ৯ঃ১৬

ধরি, ফল বিক্রেতা ১০০ টি আম ক্রয় করেছেন
২ টি আমের ক্রয় মূল্য  ১ টাকা
১০০ টি আমের ক্রয় মূল্য ৫০ টাকা
৫ টি আমের বিক্রয় মূল্য ৩ টাকা
১০০ টি আমের বিক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৩/৫ ) = ৬০ টাকা
লাভ = ৬০ - ৫০ = ১০ টাকা
৫০ টাকায় লাভ হয় ১০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় ( ১০০ × ১০/৫০ ) = ২০ টাকা 

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল কত হবে?

সমাধান:
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৪৩২১০ 
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত ০৫ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা= ১০২৩৪

যোগফল = ৪৩২১০ + ১০২৩৪
= ৫৩৪৪৪

প্রশ্ন: |x - 5| = 6 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
(x - 5) ধনাত্নক হলে,
বা, x - 5 = 6
বা, x - 5 = 6 + 5
x = 11

আবার (x - 5) ঋণাত্নক হলে,
- (x - 5) = 6
x - 5 = - 6
x = - 1
∴নির্ণেয় সমাধান সেট = {- 1, 11}