গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ১২.৫% লাভ হতো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০০ এর ১০% = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

১২.৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১২.৫% = (১০০ + ১২.৫) টাকা = ১১২.৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১২.৫ - ৯০) টাকা = ২২.৫ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ২২.৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২২.৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৫)/২২.৫ টাকা
= (১০০ × ৪৫ × ১০)/(২২.৫ × ১০)
= (১০০ × ৪৫০)/২২৫
= ২০০ টাকা

∴ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) 
⇒ log{(x/y) × (y/x)} = log(x + y)  [আমরা জানি, log M + log N = log(MN)]
⇒ log1 = log(x + y) 
⇒ x + y = 1 [উভয় পক্ষ থেকে log বর্জন করে]

প্রশ্ন: 45 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত?  

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
∴ অপর অংশটি = x/4 

প্রশ্নমতে, 
x + x/4 = 45 
⇒ (4x + x)/4 = 45 
⇒ 5x = (45 × 4) 
⇒ 5x = 180 
⇒ x = 180/5 
∴ x = 36 

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 36/4
= 9 ফুট।

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, ১০৫ = ৭০০×৫×r
বা, r = ১০৫/(৭০০×৫) = ০.০৩ = ৩%

5 + 11 + 17 + ------- + 59
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 11-5 = 6
সুতরাং পদসংখ্যা বা n তম পদ = a + (n-1)d
বা, 59 = 5 + (n-1)6
বা, (n-1)6 = 59-5
বা, n-1 = 54/6
বা, n-1 = 9
বা, n = 9+1
বা, n = 10

প্রশ্ন: 2x² - xy - 6y² এর উৎপাদক-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² - xy - 6y²
= 2x² - 4xy + 3xy - 6y²
= 2x(x - 2y) + 3y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x + 3y)

Let the required number of rounds be x
More radius, Less rounds (Indirect proportion)
∴ 20:14::70:x
⇔ (20×x) = (14×70)
⇔ x = (14×70)/20
⇔ x = 49

প্রশ্ন: |3x - 9| ≤ 6, যেখানে x ∈ N, অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|3x - 9| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ 3x - 9 ≤ 6
⇒ - 6 + 9 ≤ 3x ≤ 6 + 9   [উভয় পক্ষে 9 যোগ করে]
⇒ 3 ≤ 3x ≤ 15
⇒ 1 ≤ x ≤ 5   [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু x ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যা), সেহেতু x এর মান 1 থেকে 5 এর মধ্যে (1 ও 5 সহ) হতে হবে।
অতএব সমাধান সেট = {1, 2, 3, 4, 5}

উল্লেখ্য:
অপশন ক: (1, 5) ভুল কারণ এটি একটি খোলা ব্যবধি যা কেবল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে এবং এতে 1 ও 5 অন্তর্ভুক্ত নয়।
অপশন খ: {1, 3, 5, 7} ভুল কারণ এই মানগুলো অসমতার সীমার (1 থেকে 5) বাইরে চলে গেছে এবং সব পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত নয়।
অপশন ঘ: (1, 5] ভুল কারণ এটি অর্ধেক খোলা ব্যবধি যা 1 কে বাদ দিয়ে 5 পর্যন্ত সকল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে।

ⁿC_r = x(ⁿP_r)
বা, x = ⁿC_r/ⁿP_r [ ⁿC_r = n!/((n-r)!r!) এবং ⁿP_r = n!/(n-r)!]
বা, x = 1/r!
∴x এর মান 1/r!

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে দুটি বাহু যথাক্রমে 8 মিটার ও 15 মিটার, এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণের বিপরীতে উৎপন্ন ক্ষেত্রফল 60 বর্গমিটার। অন্তর্ভুক্ত কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজে দুটি বাহু যথাক্রমে 8 মিটার ও 15 মিটার
এবং ক্ষেত্রফল 60 বর্গমিটার

আমরা জানি, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × a × b × sinθ 
⇒ 60 = (1/2) × 8 × 15 × sinθ
⇒ 60 = 4 × 15 × sinθ
⇒ sinθ = 60/60
⇒ sinθ = 1 = sin90° 
∴ θ = 90°

সুতরাং, অন্তর্ভুক্ত কোণের পরিমাণ 90°। 

প্রশ্ন: নিচের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin90° = 1
cos90° = 0
∴ tan90° = sin90°/cos90°
 = 1/0, যা অসংজ্ঞায়িত।

∴ tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

অন্যান্য বিকল্পগুলো হলো:
sin90° = 1
cos0° = 1
cosec90° = 1

a = 1/5 হলে,
a² = 1/25 এবং a³ = 1/125
∴ a³ < a² < a

প্রশ্ন: একটি সাইকেলের চাকার পরিধি ২.২ মিটার। ৫.৫ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করতে চাকা কতবার আবর্তিত হবে?

সমাধান: 
গাড়ীর চাকার পরিধি = ২.২ মিটার

এবং ৫.৫ কি.মি. = (১০০০ × ৫.৫) মিটার = ৫৫০০ মিটার   ; [১ কি.মি. = ১০০০ মিটার] 

∴ ২.২ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ১ বার 
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ১/২.২ বার 
∴ ৫৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে = ৫৫০০/২.২ বার 
= ২৫০০ বার

সুতরাং, চাকাটি ২৫০০ বার আবর্তিত হবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটোর ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
গ.সা.গু x ল.সা.গু  =  দুইটি সংখ্যার গুণফল
⇒ গ.সা.গু x ৯৬  =  ১৫৩৬
⇒ গ.সা.গু = ১৫৩৬/৯৬
∴ গ.সা.গু = ১৬

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. এবং ১২ সে.মি. হলে অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্ব)^২

এখানে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
লম্ব = ৫ সে.মি.

∴ (অতিভুজ)^২ = (১২)^২ + (৫)^২
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৪৪ + ২৫
⇒ (অতিভুজ)^২ = ১৬৯
⇒ অতিভুজ = √১৬৯
⇒ অতিভুজ = ১৩ সে.মি.

∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১৩ সে.মি.।

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের তিন কোণ অনুপাত 2 : 3 : 4 হয়, তাহলে বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান:
ত্রিভুজের তিনকোণের যোগফল সবসময় 180° হয়।

ধরি,
কোণগুলো: 2x, 3x, 4x

প্রশ্নমতে,
2x + 3x + 4x = 180°
⇒ 9x = 180°
⇒ x = 20°

বৃহত্তম কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

∴ ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ হবে 80°

2a³ + 16
= 2(a³ + 8)
= 2(a³ + 2³)
= 2(a + 2)(a² - 2a + 4)

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে?

সমাধান:
দুটি ত্রিভুজের সর্বসম হওয়ার শর্ত হলো তিনটি কোন ও তিনটি বাহু সমান হওয়া। 

ক) দুই বাহু ও অন্তর্ভূক্ত কোণ: যদি দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
খ) তিনটি কোণ: দুটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ সমান হলে তারা সদৃশকোণী হয়, কিন্তু তাদের বাহুগুলো একই দৈর্ঘ্যের না হলে সর্বসম হবে না। 
গ) দুই কোণ ও এক বাহু: যদি দুটি ত্রিভুজের দুটি কোণ এবং একটি বাহু সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
ঘ) তিন বাহু: যদি দুটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি অবশ্যই সর্বসম হবে।
তাই সঠিক উত্তর হবে তিন কোণ।

লবগুলোর গ.সা.গু. অর্থাৎ ৩, ৩, ৬ এর গ.সা.গু = ৩
হরগুলোর ল.সা.গু. অর্থাৎ ৪, ৮, ৭ এর ল.সা.গু = ৫৬
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৩/৫৬

ধরি সংখ্যা টি ''ক''
প্রশ্নমতে, ক এর ৩০% এর ১৫% =১৮
⇒ ক এর ৩০/১০০ এর ১৫/১০০ = ১৮
⇒ ক এর ৯/২০০ = ১৮
⇒ ক = (১৮ × ২০০)/৯ = ৪০০
∴ সংখ্যা টি ৪০০

A = {1, 2}, B = {2,6} হলে
P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅}
P(B) = {{2}, {6}, {2, 6}, ∅}
P(A)∩P(B) = {{2}, ∅}

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের গ.সা.গু ৬ হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৭ক 
এবং 
সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু, ক = ৬

∴ সংখ্যা দুইটি ৫ × ৬ = ৩০ এবং ৭ × ৬ = ৪২

∴ ৩০ ও ৪২ এর ল.সা.গু = ২১০

১ টাকায় ক্রয় করে = ৩ টি আম
১০০  ''     ''    ''   = ৩×১০০ = ৩০০টি আম
২টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
৩০০টি   ″         ″      = {(‌১×৩০০)÷২} = ১৫০ টাকা
∴ লাভ = (১৫০ - ১০০)% = ৫০%

আমরা জানি,
মূলধন = (সুদ x ১০০)/ (সময় x সুদের হার)
= (৪ x ১০০)/ (৫x ৪)
= ২০ টাকা

প্রশ্ন: (√3/9) + (√3/3) + √3 + (3√3) + ..............ধারাটির কোন পদটি 243√3 হবে? 

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = √3/9
সাধারণ অনুপাত, r = (√3/3) / (√3/9) = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
⇒ ar^{n - 1} = 243√3
⇒ √3/9 × 3^{n - 1} = 243√3
⇒ 3^{n - 1} = 243 × 9
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n -1 = 7
n = 8

log₃ 243 + log₃ 27 - log₃ 81
= log₃ 3⁵ + log₃ 3³ - log₃ 3⁴
= 5 log₃ 3 + 3 log₃ 3 - 4 log₃ 3
= 5 × 1 + 3 × 1 - 4 × 1 [log_a a = 1]
= 5 + 3 - 4
= 4

প্রশ্ন: অহনা ইংরেজি ও গণিতে মোট ১৭৬ নম্বর পেয়েছে। সে ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১০ নম্বর বেশি পেয়েছে। সে গণিতে কত পেয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
অহনা ইংরেজিতে ক নম্বর পেয়েছে।
এবং, গণিতে ইংরেজির চেয়ে ১০ নম্বর বেশি পেয়েছে।
∴ গণিতে নম্বর = ক + ১০

প্রশ্নমতে, 
ক + ক + ১০ = ১৭৬
⇒ ২ক = ১৬৬ 
⇒ ক = ১৬৬/২ 
∴ ক = ৮৩ 

∴ গণিতে নম্বর = ক + ১০ = ৮৩ + ১০ = ৯৩
সুতরাং, অহনা গণিতে ৯৩ নম্বর পেয়েছে

(a + b+ c)²
= (a + b)² + 2(a + b)c + c²
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac
=2(ab + bc + ac) + a² + b² + c² 
∴ সবগুলো সঠিক।

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ৫% ক্ষতি হলো, চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা 
= ৯৫ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩৮০)/৯৫ টাকা 
= ৪০০ টাকা 

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: 5^{2x - 1} = 125 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান:
5^{2x - 1} = 125
⇒ 5^{2x - 1} = 5³
⇒ 2x - 1 = 3
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2

বাসে যেতে প্রয়োজনীয় সময় = ৩১৯/২২ = ১৪.৫ ঘন্টা
এবং রিকশায় যেতে প্রয়োজনীয় সময় = (৩৫৫ - ৩১৯)/৬ = ৬ ঘন্টা।
সুতরাং মোট প্রয়োজনীয় সময় = ১৪.৫ + ৬ = ২০.৫ ঘন্টা অর্থাৎ ২০ ঘন্টা ৩০ মিনিট।

দেওয়া আছে,
θ+ϕ = π/2
⇒ θ = π/2 - ϕ
⇒ sinθ = sin(π/2 - ϕ)
⇒ 1/2 = cosϕ
⇒ cos²ϕ = 1/4
⇒ 1 - sin²ϕ = 1/4
⇒ 1 - 1/4 = sin²ϕ
⇒ sin²ϕ = 3/4
∴ sinϕ = √3/2

প্রশ্ন: একটি কাজ আলী ২০ দিনে এবং শাওন ৩০ দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কত দিনে কাজটি শেষ করবে?

সমাধান:
আলীর এক দিনের কাজ = ১/২০​ অংশ
শাওনের এক দিনের কাজ = ১/৩০​ অংশ

একসাথে তাদের এক দিনের কাজ = (১/২০​) + (১/৩০) অংশ
= (৩ + ২)/৬০ অংশ
= ৫/৬০ অংশ
= ১/১২ অংশ

∴ তারা ১/১২ অংশ কাজ করে = ১ দিনে 
∴ ১ বা সম্পূর্ন কাজ করে = ১/(১/১২) = ১২ দিনে

সুতরাং তারা একসাথে পুরো কাজটি ১২ দিনে শেষ করবে।

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
অপশন (গ) ৪, ৫, ৯
∴ ৪ + ৫ = ৯ = তৃতীয় বাহু
∴ যেহেতু দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় নয়, সুতরাং ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

অন্য অপশনসমূহ যাচাই:
ক) ৫ + ৬ = ১১ > ৭ → ত্রিভুজ সম্ভব
খ) ৩ + ৭ = ১০ > ৮ → ত্রিভুজ সম্ভব
ঘ) ৭ + ৫ = ১২ > ১১ → ত্রিভুজ সম্ভব

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যা ঐ সংখ্যার ৪০% অপেক্ষা ৩৬ বেশি হলে, ঐ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক = ক এর ৪০% + ৩৬
বা, ক = (২ক/৫) + ৩৬
বা, ক - (২ক/৫) = ৩৬
বা, ৩ক/৫ = ৩৬
বা, ৩ক = ৩৬ × ৫
বা, ৩ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/৩
∴ ক = ৬০

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ 

আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১ 

∴ নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় = (৯৭ + ৪১)/২ 
= ১৩৮/২ 
= ৬৯ ।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দূরত্ব 3 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় কত সে.মি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দূরত্ব (উচ্চতা) = 3 সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 48 বর্গ সে.মি.

মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় a এবং b সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) × উচ্চতা
∴ 48 = 1/2 × (a + b) × 3
⇒ 48 = (a + b) × 3/2
⇒ (a + b) × 3 = 48 × 2
⇒ (a + b) × 3 = 96
⇒ a + b = 96/3
⇒ a + b = 32

∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড় = (a + b)/2
= 32/2
= 16 সে.মি.

প্রশ্ন: যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
∴ বর্গক্ষেত্রের আদি ক্ষেত্রফল = (১০০)^২ = ১০,০০০ বর্গ একক

আবার,
বাহুর দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হলে,
∴ বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য = (১০০ + ১০০ এর ২০%) একক
= (১০০ + ২০) একক
= ১২০ একক

∴ বর্গক্ষেত্রের নতুন ক্ষেত্রফল = (১২০)^২ = ১৪,৪০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (১৪,৪০০ - ১০,০০০) বর্গ একক = ৪,৪০০ বর্গ একক

∴ শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (৪,৪০০/১০,০০০) × ১০০%
= ৪৪%

সুতরাং, ক্ষেত্রফল শতকরা ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।