গাণিতিক যুক্তি

a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 6)
= (a + 1) (a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি জিনিস ১২০ টাকায় ক্রয় করে ১৪৪ টাকায় বিক্রয় করলে ক্রয়মূল্য ও লাভের অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য = ১৪৪ টাকা 
লাভ = (১৪৪ - ১২০) টাকা = ২৪ টাকা 

ক্রয়মূল্য ও লাভের অনুপাত = ১২০ : ২৪
= ৫ : ১ 

ধরি,
f(x) = x³ + 3x + 36
(x+3), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি f(x) = 0 হয়।
f(-3) = (-3)³ + 3(-3) + 36
= - 27 - 9 + 36
= 0
সুতরাং (x + 3), f(x) এর একটি উৎপাদক।

b² - 4ac = 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং সমান এবং মূলদ
b² - 4ac পূর্ণ বর্গ হলে বাস্তব এবং অসমান এবং অমূলদ
b² - 4ac < 0 হলে মূল দুইটি জটিল সংখ্যা
b² - 4ac > 0 হলে মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান

প্রশ্ন: √4 × i⁴ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
এখানে, √4 = √(2)² 
= 2
এবং i⁴ = (i²)²
= (- 1)²            [∵ i² = -1]
= 1

প্রদত্ত রাশি, √4 × i⁴ = 2 × 1 = 2

রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৩০ = ১৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

প্রশ্ন: ০.১৬২৩ - ৩১ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
০.১৬২৩ - ৩১

∴ ০.১৬২৩ - ৩১
= - (৩১ - ০.১৬২৩)
= -৩০.৮৩৭৭

অতএব, সঠিক উত্তর:
ক) -৩০.৮৩৭৭

মনেকরি, ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
তাহলে, বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = ১১০ : ১০০
= ১১ : ১০

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় 12তম পদের মান 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে,
a + 11d = 77

আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23টি পদের সমষ্টি  1771.

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ....... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
a = 0.1
r = 0.01/0.1
= 0.1 [0.1 < 1]

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 0.1/(1 - 0.1) 
= 0.1/0.9
= 1/9

মোট বল = ৭ + ৪ + ৯ = ২০ টি
একটি বল তুললে বলটি কমলা হবার সম্ভাবনা ৪/২০
আবার, একটি বল তুললে বলটি সবুজ হবার সম্ভাবনা ৯/২০
ঘটনা দুটি পরষ্পর বর্জনশীল।
এলোমেলোভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি কমলা বা সবুজ হবার সম্ভাব্যতা = ৪/২০ + ৯/২০ = ১৩/২০

প্রশ্ন: ১৫ + ১৮ + ২১ + ২৪ +..............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৮ - ১৫) = ৩
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৩
= ১৫ + (২৪ × ৩)
= ১৫ + ৭২
= ৮৭

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = ৮৭

ধরি,
বিড়াল ৬ লাফে যায় x মি.
∴ বিড়াল ১০ লাফে যায় = (x × ১০)/৬ মি.
= ৫x/৩

কুকুর ৪ লাফে যায় = x মি.
∴ কুকুর ৮ লাফে যায় = (x × ৮)/৪
= ২x

কুকুর : বিড়াল = ২x : (৫x/৩)
= ৬ : ৫

সম্পূরক কোনদ্বয়ের সমষ্টি = ১৮০°
৯০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০°-৮৫° = ৯৫°

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা কে বলা হয়?

সমাধান:
• যদি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস (Diameter) বলা হয়। 
- বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা কে ব্যাস বলা হয়। 
- বৃত্তের জ্যা (Chord) হলো একটি রেখাংশ যা বৃত্তের দুটি বিন্দু সংযুক্ত করে।
- ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ

অন্যান্য অপশনগুলো:
- বৃত্তচাপ (Arc) = বৃত্তের অংশ। 
- ব্যাসার্ধ (Radius) = কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব।
- পরিধি (Circumference) = বৃত্তের চারপাশের দৈর্ঘ্য। 

উৎস: NCTB, সাধারণ গনিত, নবম-দশম শ্রেনি। 

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৭ : ৪। যদি উত্তর রাশি হয় ১২, তবে পূর্বরাশি কত?

সমাধান: 
দুইটি রাশির অনুপাত = ৭ : ৪
ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ৪ক

প্রশ্নমতে, ৪ক = ১২
 ∴ ক = ১২/৪ = ৩

∴ পূর্বরাশি = ৭ × ৩ = ২১

প্রশ্ন: ২০ ও ১০০ এর মধ্যে ৩ ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট কয়টি সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সকল সংখ্যা ৩ ও ৪ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তারা অবশ্যই ৩ ও ৪ এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২

২০ ও ১০০ এর মধ্যে ১২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
১২ × ২ = ২৪
১২ × ৩ = ৩৬
১২ × ৪ = ৪৮
১২ × ৫ = ৬০
১২ × ৬ = ৭২
১২ × ৭ = ৮৪
১২ × ৮ = ৯৬

সংখ্যাগুলো হলো: ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪ এবং ৯৬

∴ মোট সংখ্যা আছে ৭টি।

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অণুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩
∴ অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (৩৬০ এর ১/৮)°
= ৪৫°

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ৪৮ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ । গহনাটিতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৮ : ১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ 
মোট অংশ = (৭ + ১) = ৮ 

∴ গহনাতে সোনার পরিমাণ = ৪৮ × (৭/৮) গ্রাম = ৪২ গ্রাম
∴ গহনাতে তামার পরিমাণ = ৪৮ × (১/৮) গ্রাম = ৬ গ্রাম

ধরি,
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম

শর্তমতে,
(৪২ + ক)/৬ = ৮/১
⇒ ৪২ + ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮ - ৪২ 
⇒ ক = ৬

∴ সোনা মেশাতে হবে = ৬ গ্রাম।

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = y মিটার

প্রশ্নমতে
2(x +  y) =18
x + y = 9 
x = 9 - y.................(1)

আবার
xy = 20
বা, y(9 - y) = 20
বা, 9y - y² = 20
বা, - y² + 9y - 20 = 0
বা, -1(y² - 9y + 20) = 0
বা, y² - 9y + 20 = 0
বা, y² - 4y - 5y + 20 = 0
বা, y(y - 4) - 5(y - 4) = 0
(y - 5)(y - 4) = 0

হয় 
y - 5 = 0
y = 5

অথবা
y - 4 = 0
y = 4

যখন y = 5 তখন x = 9 - 5 = 4 
যখন y = 4 তখন x = 9 - 4 = 5

অতএব
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার 
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = 4 মিটার

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি টেবিল ৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% ক্ষতি হয়। বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি করে কত টাকায় বিক্রি করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
মনেকরি, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২৫ = ৭৫ টাকা

এখন, বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০০)/৭৫ টাকা
= ৮০০ টাকা

আবার, ২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ৮০০)/১০০ টাকা
= ১০০০ টাকা

∴ টেবিলটি ১০০০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% লাভ হবে।

প্রশ্ন: a³ - 7a - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 6)
= (a + 1)(a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1){a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1)(a - 3)(a + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x − ৩৫ = x এর ৮০% 
বা, x − ৩৫ = x × ৮০/১০০ 
বা, ১০০x − ৩৫০০ = ৮০x
বা, ১০০x − ৮০x = ৩৫০০ 
বা, ২০x = ৩৫০০ 
বা, x = ৩৫০০/২০ 
∴ x = ১৭৫ 

∴ সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশ = ১৭৫ × (৩/৫) 
= ১০৫

দেওয়া আছে, 3^-3
= 1/3³
= 1/(√3 × √3)³
= 1/(√3)⁶

প্রথম পাইপ দিয়ে ১ ঘন্টায় ভর্তি হয় ১/১০ অংশ
দ্বিতীয় পাইপ দিয়ে ১ ঘন্টায় ভর্তি হয় ১/৬ অংশ
দুটি পাইপ একত্রে ১ ঘন্টায় ভর্তি করে(১/১০ + ১/৬) অংশ = ৮/৩০ অংশ
প্রশ্নমতে, ৮/৩০ অংশ ভর্তি হয় ১ ঘন্টায়
∴ ২/৩ অংশ ভর্তি হয় (৩০/৮ × ২/৩) = ৫/২ ঘন্টায়