গাণিতিক যুক্তি

ধরি, স্রোতের অনুকূলে ঐ ব্যক্তির বেগ x কি.মি./ঘণ্টা
আমরা জানি,
স্থির পানিতে বেগ = ১/২ ✕( স্রোতের অনুকূলে বেগ + স্রোতের প্রতিকূলে বেগ)
প্রশ্নমতে,
1/2✕(x + ৩.৫) = ৫
⇒ x = ৬.৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২০ থেকে কত বেশি এবং ৭০ থেকে তত কম? সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ২০ = ৭০ - x
বা, x + x = ৭০ + ২০
বা, ২x = ৯০
বা, x = ৯০/২
∴ x = ৪৫

∴ সংখ্যাটি = ৪৫ ।

৬৫৫৮ | ৮১
৬৪
______
১৬১ |১৫৮
       ১৬১
________
      -৩
∴ ৬৫৫৮ এর সাথে ৩ যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে। 

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ছাত্রদেরকে ৬, ৮, ১২, ও ১৫ জন করে সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ১০ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

৬, ৮, ১২, ও ১৫ এর লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ১২০

∴ ছাত্রসংখ্যা = ১২০ + ১০ = ১৩০

x⁴ ÷ x⁹ × x⁵ 
= (x⁴/x⁹) × x⁵
= x⁹/x⁹
= 1

প্রশ্ন: x = siny হলে x এর সর্বনিম্ন মান কত?
​
​সমাধান:
আমরা জানি,
​ sin ফাংশনের পরিসর হল - 1 ≤ siny ≤ 1
​এর অর্থ হল siny এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান - 1। 

​সুতরাং siny সর্বনিম্ন মান - 1

প্রশ্ন: (x/3) + (x/4) + (x/5) > 47/60 এর সমাধান- 

সমাধান:
 (x/3) + (x/4) + (x/5) > 47/60
⇒ (20x + 15x + 12x)/60 > 47/60 
⇒ 47x > 47
⇒ x > 1

∴নির্ণেয় সমাধান: x > 1

1 - x² + 2ax -a²
= 1 - (x² - 2ax + a²)
= 1 - (x - a)²
= (1 + x -a)(1 - x + a)

প্রশ্ন: ৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর মিশ্র অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর অনুপাত 

∴ মিশ্র অনুপাত হবে = (৫ × ৭ × ৩) : (১৮ × ২ × ৬) 
= ১০৫ : ২১৬ 
= ৩৫ : ৭২ 

প্রশ্ন: x² - 5ax - 66a² এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 5ax - 66a²
= x² - 11ax + 6ax - 66a²
= x(x - 11a) + 6a(x - 11a)
= (x - 11a)(x + 6a)
= (x + 6a)(x - 11a)

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +......+ 25 = কত?

সমাধান:
n তম সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

এখানে,
n = 25

তাহলে,
25 তম সংখ্যার যোগফল = 25(25 + 1)/2
= (25​ × 26)/2
= (25 × 13)
= 325

প্রশ্ন: x² + xy + y² কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি ঘনরাশির অন্তরের সূত্র,
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

অর্থাৎ, x² + xy + y² কে (x - y) দ্বারা গুণ করলে তা ঘনরাশির অন্তর x³ - y³ রূপে প্রকাশ করা যায়।

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ......... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 6

∴ প্রথম 6টি পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ) / (1 - r)
= 2 {1 - (- 2)⁶} / {1 - (- 2)} 
= {2 × (1 - 64)} / 3 
= {2 × (- 63)} / 3 
= - 42

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 < 0 হলে এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
a² - 6a + 8 < 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 < 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) < 0
⇒ (a - 4)(a - 2) < 0
হয়, a - 4 < 0 ⇒ a < 4
অথবা, a - 2 < 0 ⇒ a < 2

∴ নির্ণেয় সমাধান : 2 < a < 4

দেওয়া আছে,
মুনাফা, I = ১৫০ টাকা
আসল, p = ৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ৫/১০০
এবং সময়, n = ?
আমরা জানি,
মুনাফা, I = pnr
বা, n = I/pr
বা, n = ১৫০/(৫০০×৫/১০০)
বা, n = ১৫০/২৫
বা, n = ৬

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ ক্ষেত্রফল a² = 32
বা, a = 4√2
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 4√2 × √2 = 8 ফুট।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। যদি দ্রব্যটি আরও ৬০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করা হতো, তবে ৫% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, 
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা 
৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১০৫ - ৯০) টাকা
= ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০)/১৫ টাকা
= ৪০০ টাকা 

∴  দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।

প্রশ্ন: (x + 3)² - (x - 4)² এর সরলীকৃত মান কোনটি?

সমাধান: 
(x + 3)² - (x - 4)²
= (x + 3 + x - 4)(x + 3 - x + 4)
= (2x - 1)(7)
= 14x - 7

এখানে,
(০.০১)²
= ০.০১ × ০.০১
= ০.০০০১
∴ √০.০০০১ = √(০.০১)²
= ০.০১

প্রশ্ন: CUMILLA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা NOAKHALI শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
এখানে,
CUMILLA শব্দটিতে বর্ণ আছে 7 টি যাদের মধ্যে 2টি L রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 5040/2
= 2520

এবং
NOAKHALI শব্দটিতে বর্ণ আছে 8 টি যাদের মধ্যে 2টি A রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8!/2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 40320/2
= 20160

∴ CUMILLA শব্দটির বিন্যাস, NOAKHALI শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 2520 ÷ 20160
= 1/8 গুণ

a = 256,
r = 128/ 256
= 1/2
∴ দশম পদ = ar⁹
= 256 × (1/2)⁹
= 256/512
= 1/2

ab < 0 হলে,
a < 0,
b > 0
অথবা,
a > 0,
b < 0
কিন্তু a > b
∴ a > 0,
b < 0

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% হার মুনাফায় ১০০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ১০০০০ × (১ + ৫/১০০)^২
= ১০০০০ × (১০৫/১০০)^২
= ১০০০০ × (২১/২০) × (২১/২০)
= ১০০০০ × (৪৪১/৪০০)
= ১১০২৫ টাকা