গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৯। যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৬০০০ টাকা বেশি হয়, তবে রাফিন এর বার্ষিক বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৯

মনে করি,
সাফিন এর মাসিক বেতন ৩ক টাকা
রাফিন এর মাসিক বেতন ৫ক টাকা
রাফান এর মাসিক বেতন ৯ক টাকা

যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৬০০০ টাকা বেশি হয়,

প্রশ্নমতে,
৯ক - ৩ক = ৬০০০
⇒ ৬ক = ৬০০০
⇒ ক = ৬০০০/৬
∴ ক = ১০০০

∴ রাফিন এর মাসিক বেতন (৫ × ১০০০) = ৫০০০ টাকা

∴ রাফিন এর বার্ষিক বেতন = (৫০০০ × ১২) = ৬০০০০ টাকা

প্রশ্ন: x³ + x²y, x²y + xy² এর ল.সা.গু. কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ম রাশি,
x³ + x²y
= x²(x + y)

২য় রাশি,
x²y + xy²
= xy(x + y)

∴ ল.সা.গু. = x²y(x + y)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৩০ টাকায় ১০টি দরে ও ১৫টি দরে সমান সংখ্যক কলা ক্রয় করে সবগুলো কলা ৩০ টাকায় ১০টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১০টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০/১০টাকা = ৩ টাকা
আবার,
১৫টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০/১৫ টাকা = ২ টাকা

∴ (১ + ১) = ২ টি কলার ক্রয়মূল্য = (৩ + ২) টাকা = ৫ টাকা

আবার,
১০ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ২ টি কলার বিক্রয়মূল্য =(৩০ × ২)/১০ = ৬ টাকা

∴ লাভ = (৬ - ৫) টাকা = ১ টাকা

এখন,
৫ টাকায় লাভ হয় = ১ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৫ টাকা = ২০ টাকা

অর্থাৎ লাভ = ২০% 

'সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের আয়তন অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির আয়তনের সমান'-এই সূত্রের উদ্ভাবক কে?
এই প্রশ্নের ভাষাগত ত্রুটি আছে।
প্রশ্নটি হওয়ার কথা' সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্ণক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র দুটির ক্ষেত্রফলের সমান'

- এই সূত্রের উদ্ভাবক  পিথাগোরাস। 

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা ৮ এবং অতিভুজ c হলে
পিথাগোরাসে সূত্রানুসারে
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
c² = a² + b²

প্রশ্ন: সাদিক 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্ধ্ব 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে তা নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
x টি কলমের ক্রয়মূল্য 3x টাকা 
আবার,
(x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য 6(x + 2) টাকা 

প্রশ্নমতে,
3x + 6(x + 2) ≤ 93 
বা, 3x + 6x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12 [উভয় পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে] 
বা, 9x ≤ 81
∴ ‍x ≤ 9

∴ ‍নির্ণেয় সাদিক সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে। 

প্রশ্ন: একটি কোণকের উচ্চতা 12 সে. মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা, h = 12 সে. মি.
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 6 সে. মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × π × r² × h ঘনএকক
= (1/3) × π × 6² × 12 ঘনসে.মি.
= (1/3) × π × 36 × 12 ঘনসে.মি.
= 144Π ঘনসে.মি.

প্রশ্ন: একটি গ্রামের মোট জনসংখ্যার ৬০% পুরুষ। যদি ঐ গ্রামে মোট ৪০০ জন মহিলা থাকে, তবে ঐ গ্রামের মোট জনসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
গ্রামের মোট জনসংখ্যা = ক জন

দেওয়া আছে,
পুরুষের সংখ্যা = ৬০%
∴ মহিলার সংখ্যা = (১০০ - ৬০)% = ৪০%

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪০% = ৪০০
বা, (ক × ৪০)/১০০ = ৪০০
বা, ক = (৪০০ × ১০০)/৪০
বা, ক = ৪০০০০/৪০
বা, ক = ১০০০

সুতরাং ঐ গ্রামের মোট জনসংখ্যা ১০০০ জন।

3^{mx -1} = 3a^mx-2
⇒ 3^{mx -1}/3 = a^mx-2
⇒ 3^{mx - 2} = a^mx-2
⇒ (3/a)^{mx - 2} = (3/a)⁰
⇒ mx - 2 = 0
∴ x = 2/m

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 44 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 44 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
2πr = 44
⇒ r = 44/2π
⇒ r = 44/{2 × (22/7)}
⇒ r = (44 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 7 

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 সে.মি.

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট কোনো অর্ধবৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:

অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
তাহলে, অর্ধবৃত্তের ব্যাস = 2 × 6 = 12 সে.মি.

আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের ভেতরে অবস্থিত বৃহত্তম ত্রিভুজটির ভূমি হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাস এবং উচ্চতা হবে অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

অতএব, ত্রিভুজটির ভূমি, b = 12 সে.মি.
ত্রিভুজটির উচ্চতা, h = 6 সে.মি.

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × 12 × 6 বর্গ সে.মি.
= 6 × 6 বর্গ সে.মি.
= 36 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, বৃহত্তম ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সে.মি.

এখানে, 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7
42 এর গুণনীয়ক সমূহ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
∴ A = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

আবার, 70 = 1 × 70 = 2 × 35 = 5 × 14 = 7 × 10
70 এর গুণনীয়ক সমূহ 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
B = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

∴ A ∩ B= {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} ∩ {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
= {1, 2, 7, 14}

Let N be the no. of persons in the group.
Required number of person is given by;
Member in group × aged increased = difference of replacement
N × 5 = 38 - 18
Or, 5N = 20
Or, N = 4

প্রশ্ন: ০.৬ × ০.০৬ × ০.০০৬ = ?

সমাধান:
০.৬ × ০.০৬ × ০.০০৬ = ০.০০০২১৬

যে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে সেসব সংখ্যায় দশমিকের পর মোট যত ঘর আছে গুণফলেও দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ১০ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ২ক + ৬ = ক + ১০
বা, ২ক - ক = ১০ - ৬
∴  ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪ ।

ষান্মাসিক হিসাবে সুদের হার ৫%
∴ ১ বছর পর সুদাসল = ২০,০০০× (১০৫/১০০) × (১০৫/১০০)
= ২২০৫০ টাকা
∴ সুদ = ২২০৫০ - ২০০০০
= ২০৫০ টাকা

4/5 = 0.8
9/17 = 0.53
1/2 = 0.5
2/3 = 0.67
3/4 = 0.75
5/7 = 0.71
∴ 1/2, 4/5 এবং 9/17 এর মাঝে অবস্থান করে না

In 20 litres of mixture
Quantity of milk ⇒ (3/4)×20 = 15 litres

Quantity of water ⇒ (1/4)×20 = 5 litres

Let the quantity of milk added be x litres.
According to the question,
⇒ (15+x)/5 = 41
⇒ 15+x = 4×5
⇒ x = 20−15 = 5 litres

প্রশ্ন: শতকরা ৮ টাকা হার সুদে ৭৫০ টাকা ৫ বছরে সুদে-আসলে কত হয়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ৭৫০ টাকা
সুদের হার (r) = ৮%
সময় (n) = ৫ বছর

আমরা জানি,
সরল সুদ, I = (Pnr)/১০০
⇒ I = (৭৫০ × ৫ × ৮)/১০০
⇒ I = ৩০০০০/১০০
∴ I = ৩০০ টাকা

সুদে-আসলে = আসল + সুদ
= ৭৫০ + ৩০০
= ১০৫০ টাকা

সুতরাং, সুদে-আসলে ১০৫০ টাকা হবে।

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a+1) - a(a +1) - 20(a +1)
= (a+1)(a² - a - 20)
= (a+1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a+1) {a(a-5) + 4(a-5)}
= (a+1) (a-5) (a+4)

প্রশ্ন: sec A+ tan A = 5/3 হলে, sec A - tan A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sec A+ tan A = 5/3 

আমরা জানি, 
sec² A = 1 + tan² A
বা, sec² A - tan² A = 1
বা, (sec A + tan A) (sec A - tan A) = 1
বা, 5/3 (sec A - tan A) = 1 
∴ sec A - tan A = 3/5

ধরি, ঘরের প্রস্থ = x ইঞ্চি
ঘরের দৈর্ঘ্য = ২x ইঞ্চি
প্রশ্নমতে,
২x² = ৫১২
বা, x = ১৬
ঘরের প্রস্থ = ১৬ ইঞ্চি
ঘরের দৈর্ঘ্য = (২ x ১৬) বা ৩২ ইঞ্চি
পরিসীমা = ২(৩২+১৬) বা ৯৬ ইঞ্চি
৯৬ ইঞ্চি = ৯৬/১২ = ৮ ফুট (১২ ইঞ্চি = ১ ফুট)

প্রশ্ন: ১৫ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর। যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে গড় ২ বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
১৫ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর
১৫ জন শিক্ষার্থীর মোট বয়স (১০ × ১৫) = ১৫০ বছর

যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়,
তাহলে, ১৫ জন শিক্ষার্থী + ১ জন শিক্ষক = ১৬ জন

১৬ জনের গড় বয়স ১২ বছর
১৬ জনের মোট বয়স = (১৬ × ১২) = ১৯২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (১৯২ - ১৫০) = ৪২ বছর

প্রশ্ন: (3√3 × √5)⁴ = কত?

সমাধান:
(3√3 × √5)⁴
= (3√3)⁴ × (√5)⁴
= (3)⁴ × (√3)^{2 × 2} × (√5)^{2 × 2}
= 3⁴ × 3² × 5²
= 81 × 9 × 25
= 18225

প্রশ্ন:  x² = x√2 হলে, x এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = x√2
x² - x√2 = 0
x(x - √2) = 0

হয় 
x = 0

অথবা
x - √2 = 0
x = √2

শব্দটিতে মোট ৮টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে ২ টি A বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন
∴ সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে গঠিত সাজানো সংখ্যা = ৮!/২!
= ২০১৬০