গাণিতিক যুক্তি

অনুষ্ঠানের শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = ¹⁰C₂
= 10! ÷ {(10 - 2)! × 2!}
= (10 × 9 × 8!) ÷ (8! × 2!)
= (10 × 9 ÷ 2)
= 5 × 9
= 45

অনুরূপভাবে,
অনুষ্ঠানের শেষে আরো 45 বার করমর্দন করে।

∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = 45 + 45 = 90টি।

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩৬ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩৬

প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ × ২) = ৬০
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৬ × ৩) = ১০৮

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি - প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি)
= (১০৮ - ৬০)
= ৪৮

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি ৪৮ ।

9y² - a² - 4a - 4
= 9y² - (a² + 4a + 4)
= (3y)² - (a + 2)²
= (3y + a + 2)(3y - a - 2)

ধরি, আয় = ১০০ টাকা
∴ খরচ = ৭৫ টাকা
∴ সঞ্চয় = ২৫ টাকা
৪০% বৃদ্ধিতে আয় ১৪০ টাকা
২০% বৃদ্ধিতে খরচ = ৭৫ × (১২০/১০০)
= ৯০ টাকা
∴ সঞ্চয় = ১৪০-৯০
= ৫০ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ৫০ - ২৫
= ২৫ টাকা
∴ বৃদ্ধির হার = (২৫×১০০%)/২৫
= ১০০%

∴ x - 2, f(x) = x² - x - a এর একটি উৎপাদক।
∴ f(2) = 2² - 2 - a = 0
বা, 4 - 2 - a = 0
বা, 2 - a = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের কোণগুলো:
৪x, ৫x, ৬x, ৩x

চতুর্ভুজের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৪x + ৫x + ৬x + ৩x = ৩৬০
→ ১৮x = ৩৬০
∴ x = ৩৬০/১৮ = ২০°

কোণগুলো হবে:
৪x = ৮০°
৫x = ১০০°
৬x = ১২০°
৩x = ৬০°

বৃহত্তম থেকে ক্রম:
১২০°, ১০০°, ৮০°, ৬০°

∴ তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৮০°

প্রশ্ন: ১০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৫^২

এখানে ২ এর সূচক ২ এবং ৫ এর সূচক ২।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩
= ৯

অর্থাৎ, ১০০ এর মোট ৯টি ভাজক আছে।

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 15°) = 3/√12 হয়, তাহলে sin²θ = ?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
⇒ sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
⇒ sin(θ + 15°) = √3/2
⇒ sin(θ + 15°) = sin60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 45°

এখন,
sin²θ = (sin 45°)²
= (1/√2)²
= 1/2

প্রশ্ন: (5x)⁰ + 5x⁰ + (5x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(5x)⁰ + 5x⁰ + (5x)⁰
=1 + (5 × 1) + 1 
= 1 + 5 + 1
= 7

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 17 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 33 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 17 তম পদ = a + (17 - 1) d = a + 16d

প্রশ্নমতে,
a + 16d = - 20 ...... (i)

আবার, 
n পদের সমষ্টি , S_n= (n/2){2a + (n - 1)d}
S₃₃ = (33/2){2a + (33 - 1)d}
=  (33/2) (2a + 32d)
= 33 × (a + 16d)
= 33 × (- 20) [ (i) হতে]
= - 660

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩০১ হলে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
 ক - ৩০১ = ৩৮১ - ক
বা, ক + ক = ৩৮১ + ৩০১
বা, ২ক = ৬৮২
∴ ক = ৩৪১

সুতরাং, সংখ্যাটি = ৩৪১

প্রশ্ন: x³ - 3x² + 4x - 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = x³ - 3x² + 4x - 5
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(2)।
P(2) = (2)³ - 3(2)² + 4(2) - 5
= 8 - 3(4) + 8 - 5
= 8 - 12 + 8 - 5
= 16 - 17
= - 1

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 1।

দেওয়া আছে,
a:b = ৩ঃ২ = ৯ঃ৬
b:c = ৩ঃ২ = ৬ঃ৪

∴ a:b:c = ৯ঃ৬ঃ৪
∴ a:c = ৯ঃ৪

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
রাস্তাবাদে মাঠের প্রস্থ = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ৩৬ মিটার 
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {২০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ২৬ মিটার 
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার 
= ৯৩৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৯৩৬ – ৬০০) বর্গমিটার 
= ৩৩৬ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: সরল মুনাফার হার ৬% হলে, ২৫০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ২৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬%
সময়, n = ৫ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (P × r × n)/১০০
= (২৫০০ × ৬ × ৫)/১০০
= (২৫০০ × ৩০)/১০০
= ৭৫০০০/১০০
= ৭৫০ টাকা

সুতরাং, ৫ বছরের মুনাফা ৭৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তা হলো = ২, ৩, ৫, ৭ ও ১১
∴ নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যাগুলো গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৩৫ × ১১
= ২৩১০ ।

বর্গের বাহু a হলে, পরিসীমা 4a.
∴ বাহু ও পরিসীমার অনুপাত = a² : (4a)²
= a² : 16a²
= 1 : 16

১ম রাশি = a²-b²-c²-2bc
= a²-(b²+2bc+c²)
= a²-(b+c)²
= (a+b+c)(a-b-c)
২য় রাশি = b²-c²-a²-2ac
= b²-(c²+2ac+a²)
= b²-(c+a)²
= (a+b+c)(b-c-a)
∴ সাধারণ উৎপাদক a+b+c

১ম রাশি = x - y
২য় রাশি = x² - y²
= (x + y)(x - y)
৩য় রাশি = x³ - y³
= (x - y)(x² + xy + y²)
∴ গ.সা.গু. = x - y

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৪ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৪ X ৪ = ১৬ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৪+১৬ = ২১ টি।

এখানে,
৩ - ১ = ২
৪ - ২ = ২
৫ - ৩ = ২ 
৬ - ৪ = ২
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৪, ৫ ও ৬ -এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম।
৩,৪,৫,৬ - এর ল.সা.গু = ৬০
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০-২) = ৫৮

আমরা জানি,
বার্ষিক মুনাফার হার হ্রাস পায় ২%
∴ I = মুনাফা হ্রাস
n = বছর
r = হ্রাস পাওয়া মুনাফার হার 
P = আসল
বা, I = Pnr/100
বা, I = (৩০০০ × ৩ × ২)/১০০
বা, I = ১৮০ টাকা
∴ ৩০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা ১৮০ টাকা কমে যাবে।

প্রথম রাশিঃ
4(x² + ax)²,
= 2×2 x² (x + a)²
দ্বিতীয় রাশিঃ
6(x³ - a²x)
= 2×3 x(x + a)(x - a)
তৃতীয় রাশিঃ
14x³(x³ - a³)
= 2 × 7 × x³(x - a)(x² + ax + a²)
∴ ল.সা.গু. = 84x³(x + a)²(x³ - a³) 

প্রশ্ন:

সমাধান:

ধরি,
একটি সংখ্যা 4x এবং অন্যটি 5x.
∴ ল.সা.গু = 20x
এবং গ.সা.গু. = x
প্রশ্নমতে,
20x = 60
∴ x = 3
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = 3

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২ : ৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গুর সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যা গুলোর মৌলিক উৎপাদক,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো একবার দুপুর ১২.৪০ টায় বাজার পর পুনরায় একত্রে বাজবে= ১২.৪০ টা + ৩ ঘণ্টা
= ৩ টা ৪০ মিনিটে

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) =0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

প্রশ্ন: প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯

এখানে
n  = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৯ + ১১)/২
= ১০

∴ প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক = ১০