গাণিতিক যুক্তি

এখানে, r = ৪% = ৪/১০০,
p = ৫০০০,
I = ৮০০,
n = ?
এখন,
I = pnr
বা, n = I/pr
= (৮০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৪)
= ৪ বছর

প্রশ্ন: (x ^{- 1} + y ^-1) ^{- 1} = কত? 

সমাধান: 
 (x ^{- 1} + y ^-1) ^{- 1} 
= {(1/x) + (1/y)}^{- 1}
= {(x + y)/xy}^{- 1}
= 1/{(x + y)/xy}
= 1 ×{xy/(x + y)}
= xy/(x + y)

প্রশ্ন: যদি A = {x : x ∈ N, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x ∈ N , 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 30}, হয় তবে A - B = কত?

সমাধান:
এখানে, A = {x ∈ N : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ}
18 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 9, 18
∴ A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

B = {x ∈ N : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 30}
6 এর গুণিতক 6, 12, 18, 24, 30
∴ B = {6, 12, 18, 24, 30}

A - B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} - {6, 12, 18, 24, 30}
= {1, 2, 3, 9}

∴ A - B = {1, 2, 3, 9}

প্রশ্ন: রাহিমের বর্তমান বয়স তার মায়ের বয়সের দুই পঞ্চমাংশ। 10 বছর পর তার বয়স, তার মায়ের বয়সের অর্ধেক হবে। 5 বছর পর তার মায়ের বয়স কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
মায়ের বর্তমান বয়স x বছর
∴ রাহিমের বর্তমান বয়স = 2x/5 বছর

∴ 10 বছর পর তার মায়ের বয়স = (x + 10) বছর
 10 বছর পর রাহিমের বয়স = (2x/5) + 10 বছর

প্রশ্নমতে,
(x + 10)/2 = (2x/5) + 10
⇒ (x + 10)/2 = (2x + 50)/5
⇒ 5(x + 10) = 2(2x + 50)
⇒ 5x + 50 = 4x + 100
⇒ 5x - 4x = 100 - 50
∴ x = 50

∴ মায়ের বর্তমান বয়স 50 বছর
∴ 5 বছর পর তার মায়ের বয়স = 50 + 5 = 55 বছর

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে ২টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ২ × ২ × ২ = ৮ টি 

∴ সম্ভাব্য ফলাফলগুলো = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

আবার,
কমপক্ষে ২টি হেড এর অর্থ 
২টি হেড বা ৩টি হেড

 অনুকূল ফলাফল,
৩টি হেড = HHH = ১টি
২টি হেড, HHT, HTH, THH = ৩টি
∴ মোট অনুকূল = ১ + ৩ = ৪টি

P(কমপক্ষে ২টি হেড) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ৪/৮ 
= ১/২ 

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭৫। তাদের মধ্যে ৫০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭৮ হলে, বাকি শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৮০
মোট গড় = ৭৫
∴ ৮০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৭৫ × ৮০ = ৬০০০

৫০ জন শিক্ষার্থীর গড় = ৭৮
∴ ৫০ জনের মোট নম্বর = ৭৮ × ৫০ = ৩৯০০

বাকি শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৮০ - ৫০ = ৩০
∴ বাকি শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৬০০০ - ৩৯০০ = ২১০০

∴ বাকি শিক্ষার্থীদের গড় নম্বর = ২১০০ ÷ ৩০ = ৭০

প্রশ্ন: 18 মিটার লম্বা একটি মই ভূমির সাথে 30° কোণ করে দেয়ালের শীর্ষ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 18 

Sin ∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/18
1/2 = AB/18
2AB = 18
AB = 18/2
AB = 9

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ....
= 1× {1-(1/4)⁵} / {1-(1/4)}
= {1023/1024} / {3/4}
= {1023/1024} × {4/3}
= 1023/768

ধরি, ভূমি = x
লম্ব = (x-২)
অতিভুজ = ( x+২)
(অতিভুজ)² = (লম্ব) ²+ (ভূমি)²
(x+২)² = (x-২)²+x²
-x²+৮x = ০
x = ৮
অতএব, অতিভুজ = (৮+২) = ১০ সেমিঃ

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ........................ + 38 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 38
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1
= 1

∴ সমষ্টি = (n/2)/{2a + (n - 1)d}
= (38/2){2 · 1 + (38 - 1)1}
= 19(2 + 37)
= 19 × 39
= 741

(৯১ - ৫১) = ৪০ এবং
ট্রাপিজিয়ামের একটি ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা = (১৩ + ৩৭ + ৪০)/২ = ৪৫
সুতরাং, ১/২ × ৪০ × ক = √{৪৫(৪৫ -১৩)(৪৫ - ৩৭)(৪৫ - ৪০)}
বা, ১/২ × ৪০ × ক = √৫৭৬০০
বা, ১/২ × ৪০ × ক = ২৪০
বা, ক = ১২
ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল = ১/২(৫১ + ৯১) × ১২ = ৮৫২ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১০০ বর্গমিটার। এই ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করা হলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত ভাগ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = ১০০ বর্গমিটার
∴ প্রতিটি বাহু = √১০০ = ১০ মিটার

এখন প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করলে,
নতুন বাহু = ১০ + ১০ এর ১০% = ১০ + (১০০/১০০) = ১০ + ১ = ১১ মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১১ × ১১ = ১২১ বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = ১২১ - ১০০ = ২১ বর্গমিটার

শতকরা বৃদ্ধি = (বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × ১০০
= (২১/১০০) × ১০০
= ২১%

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করা হলে, এর ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পাবে। 

বিক্রয়মূল্য ৩৬০০ টাকা হলে ২০% লাভে ক্রয়মূল্য (৩৬০০×১০০)/১২০ টাকা বা ৩০০০ টাকা।
আবার, বিক্রয়মূল্য ৩৬০০ টাকা হলে ২০% ক্ষতিতে ক্রয়মূল্য (৩৬০০×১০০)/৮০ টাকা বা ৪৫০০ টাকা।
মোট ক্রয় মূল্য = (৩০০০+৪৫০০) টাকা = ৭৫০০ টাকা
মোট বিক্রয় মূল্য = (৩৬০০+৩৬০০) টাকা = ৭২০০ টাকা।
∴ ক্ষতি হয়েছে (৭৫০০-৭২০০) টাকা = ৩০০ টাকা

প্রশ্ন: 56 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি লোহার চাকাকে গলিয়ে একটি লোহার পাতে রূপান্তর করা হলে লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ, r = 56 সে.মি.
চাকার পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 56
= 352 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
চাকার পরিধি = লোহার পাতের দৈর্ঘ্য

অর্থাৎ লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য = 352 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য)^২ + (প্রস্থ)^২}
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(১২)^২ + (৫)^২}
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 10 এবং প্রথম 4টি পদের যোগ 850। সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n​ = a[rⁿ - 1/ r - 1]
প্রথম পদ, a = 10,
পদসংখ্যা, n = 4, 
4টি পদের যোগফল, S₄ ​= 850, 

প্রশ্নমতে,
⇒ 850 = 10[r⁴ - 1/r - 1]
⇒ 85 = [r⁴ - 1/r - 1]  
⇒ 85 = [(r - 1)(r³ + r² + r + 1)/(r - 1)]
⇒ 85 = r³ + r² + r + 1
⇒ 84 = r³ + r² + r ..... (1)

(1) নং সমীকরণে r = 4 বসালে, সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। 
⇒ 4³ + 4² + 4  
= 64 + 16 + 4 
= 84

সুতরাং r = 4 

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1)
⇒ (2a + 1)² = 81
⇒ 2a + 1 = 9
⇒ 2a = 8
∴ a = 4

(x + y)² + (x - y)²
= (x² + 2xy + y²) + (x² - 2xy + y²)
= x² + 2xy + y² + x² - 2xy + y²
= 2x² + 2y²

এখানে,
5/12 = 0.417
6/13 - 0.462
11/24 = 0.458
3/8 = 0.375
উত্তরঃ খ

1/a + 1/b
= (a + b)/ab
= √((a + b)²)/ab
= √(a² + b² + 2ab)/ab
= √{288 + (2 × 18)}/18
= √324/18
= 18/18
= 1

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে 5 টি vowel এবং ৬ টি consonant আছে।
Vowel গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2) = 360
‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা।
সুতরাং, পুনরায় সাজানো যাবে = (360-1) = 359 ভাবে।

a⁵ + 4a
= a(a⁴ + 4)
= a{(a²)² + 2²}
= a{(a² + 2)² - 2.a².2}
= a{(a² + 2)² - (2a)²}
= a(a² + 2a + 2)(a² - 2a + 2)

দেওয়া আছে,
ক ও খ এর গতিবেগ যথাক্রমে ৩ কি.মি. ও ৪ কি.মি.
ক ২ ঘণ্টায় যায় = ৩×২ = ৬ কি.মি.
সুতরাং, উভয়ের জন্য দূরত্ব বাকি থাকে = (৬৯-৬) = ৬৩ কি.মি.
উভয়ের একত্রে গতিবেগ = ৩+৪ = ৭ কি.মি./ঘণ্টা
বাকী দূরত্ব পার হতে লাগবে = ৬৩/৭ = ৯ ঘন্টা
যেহেতু খ এর গতিবেগ ৪ কি.মি./ঘন্টা সুতরাং, খ ৯ ঘণ্টায় যায় ৯×৪ = ৩৬ কি.মি.
∴ খ ৩৬ কি.মি. যাওয়ার পর ক এর দেখা পাবে।

প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = - 1 হলে, x³ - y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x/y) + (y/x) = - 1
⇒ (x² + y²)/xy = - 1
⇒ x² + y² = - xy
∴ x² + xy + y² = 0

আমরা জানি,
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
= (x - y) × 0
= 0

প্রশ্ন: 99 + 98 + 97 + ............. + 40 ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 99
ধারাটির শেষ পদ = 40
ধারাটির সাধারণ অন্তর = 98 - 99 = - 1 

এখন,
99 থেকে 40 পর্যন্ত পদসংখ্যা = {(শেষপদ - প্রথম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1 
= {(40 - 99)/ - 1} + 1 
= (- 59/ - 1) + 1 
= 59 + 1
= 60

∴ 99 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = {(40 + 99)/2} × 60 
= 139 × 30 
= 4170

x এর মান ∞ হলে,
1/(∞+1)
= 1/∞
= 0

প্রশ্ন: 'IMMEDIATE' শব্দটির সব কয়টি বর্ণকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে A এবং শেষে D থাকবে?

সমাধান:
'IMMEDIATE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 9 টি, প্রথমে A এবং শেষে D থাকলে অবশিষ্ট বর্ণ থাকে 7 টি।
সেখানে M আছে 2টি, E আছে 2টি, I আছে 2টি

∴ প্রথমে A এবং শেষে D রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2! × 2!)
= 630

সুতরাং, মোট 630 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: |x - 1| ≤ 6 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m ≤ 4x + 3 ≤ n হবে?

সমাধান:
⇒ |x - 1| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ x - 1 ≤ 6
⇒ - 6 + 1 ≤ x ≤ 6 + 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 7
⇒ - 5 × 4 ≤ 4x  ≤ 7 × 4
⇒ - 20 ≤ 4x ≤ 28
⇒ - 20 + 3 ≤ 4x + 3 ≤ 28 + 3
⇒ - 17 ≤ 4x + 3 ≤ 31 ....... (1)

এখন, (1) নং কে m ≤ 4x + 3 ≤ n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 17 এবং n = 31।

২০% লাভে নির্মাতার বিক্রয় মূল্য (১০০+২০) = ১২০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয় মূল্য (১২০ + ১২০ এর ২০%) = (১০০+২৪) = ১৪৪ টাকা।

এখানে,
I = ৩৬০০-৩০০০ = ৬০০
n = ২
P = ৩০০০
r = ?
আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
বা, ৬০০ = (৩০০০×২×r)/১০০
বা, ৬০r = ৬০০
r = ১০%
------------
১০০ টাকায় ১ বছরের মুনাফা ১০ টাকা
১ টাকায় ১ বছরের মুনাফা ১০/১০০ টাকা
৩০০০ টাকায় ৩ বছরের মুনাফা (১০×৩০০০×৩)/১০০ টাকা
= ৯০০ টাকা
২ বছর পর মুনাফাসহ পান ৩৬০০ টাকা
∴ আরো ৩ বছরপর মুনাফা আসল হবে = (৩৬০০+৯০০) = ৪৫০০ টাকা