গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের লম্ব x, ভূমি y এবং অতিভুজ z হলে নিচের কোন অনুপাতটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লম্ব = x, ভূমি = y এবং অতিভুজ = z

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ = x/z
cosθ = ভূমি/অতিভুজ = y/z
tanθ = লম্ব/ভূমি = x/y
cotθ = ভূমি/লম্ব = y/x

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​প্রথম পদ = ১১
​
​দ্বিতীয় পদ = (১১ + ১৯)/২ = ৩০/২ = ১৫
​
​সাধারণ অন্তর = ১৫ - ১১ = ৪ 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴​ প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি = (৯/২){২a + (৯ - ১)d} 
​= (৯/২)(২ × ১১ + ৮ × ৪)
​= (৯/২)(২২ + ৩২)
​= (৯/২) × ৫৪
​= ৯ × ২৭
​= ২৪৩ 

প্রশ্ন: যদি ১৫, ২৮ ও ৩৩ এই তিনটি সংখ্যার গুণফল z হয়, তবে নিচের কোনটি একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
z = ১৫ × ২৮ × ৩৩

এখন, 
ক) z/২১ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৭) = ৪ × ৫ × ৩ × ১১  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]
খ) z/২৪ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৮) = (৪ × ৫ × ৭ × ৩ × ১১)/৮  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না]
গ) z/৫৫ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৫ × ১১) = ৩ × ৪ × ৩ × ৭  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: খ) z/২৪

দ্রব্যটির ক্রয় মূল্য = ৮০ + ২০ = ১০০ টাকা
∴ ২০% লাভে বিক্রয় মূল্য = ১২০ টাকা

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে ৪০০ জন শ্রমিকের ৪২ দিন সময় লাগে। ২০ দিনে কাজটি শেষ করতে কত জন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে?

সমাধান: 
৪২ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৪০০ জন
∴ ১ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ৪০০ × ৪২ জন
∴ ২০ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (৪০০ × ৪২)/২০ জন
= ৮৪০ জন

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (৮৪০ - ৪০০) জন
= ৪৪০ জন।

প্রশ্ন: ৮টি খেজুর ১ টাকায় ক্রয় করা হয়। ব্যবসায়ী ৬০% লাভে বিক্রি করতে চাইলে ১ টাকায় কত খেজুর বিক্রি করতে হবে? 

সমাধান: 
৮ টি খেজুরের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
∴ ১টি খেজুরের ক্রয়মূল্য = (১/৮) টাকা
= ০.১২৫ টি 

আবার,
৬০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ০.১২৫ × (১ + ০.৬) টাকা
= ০.১২৫ × ১.৬ টাকা
= ০.২ টাকা 

∴ ১ টাকায় বিক্রি করা খেজুরের সংখ্যা = ১/০.২ টি 
= ৫ টি।

৫০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (৫০ × ৭৫) = ৩৭৫০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৩০ × ৭৮) = ২৩৪০
(৫০ - ৩০) বা ২০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৩৭৫০ - ২৩৪০) = ১৪১০
∴ ২০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ১৪১০/২০ = ৭০.৫

প্রশ্ন: x = 8 এবং y = 7 হলে, 9x² - 30xy + 25y² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 8 এবং y = 7 

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)² 
= (3x - 5y)²
= {(3 x 8) - (5 x 7)}²   [x ও y এর মান বসিয়ে]
= (24 - 35)²
= (- 11)²
= 121

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত = 9 : 10 : 12 : 14 : 15
∴ পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) 
= 60

আমরা জানি,
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540° 

∴  বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60) 
= 135°  ।

প্রশ্ন: যদি 2 × ⁿP₄ = ⁿP₅ হয়, তাহলে n = কত?

সমাধান: 
2 × ⁿP₄ = ⁿP₅
⇒ 2 × n!/(n - 4)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2 × n!/(n - 4)(n - 5)! = n!/(n - 5)!
⇒ 2/(n - 4)  = 1
⇒ n - 4 = 2
∴ n = 6

শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = (২০ - ১১)%
= ৯%
শুধু গণিতে ফেল করে = (১৮ - ১১)%
= ৭%
ইংরেজি, গণিত এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = (৯ + ৭ + ১১)%
= ২৭%
∴ উভয় বিষয়ে পাস করে = (১০০ - ২৭)%
= ৭৩%

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাস ৪ সে.মি. হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
ব্যাস 2r = ৪ সে.মি.
∴ ব্যাসার্ধ r = 4 সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 4²
= 16π

দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, ৮ × প্রস্থ = ৪৮
∴ প্রস্থ = ৬
∴ AB = ৬, BC = ৮
∴ কর্ণ AC = √(AB²+ BC²
= √(৬^২ + ৮^২)
= √(৩৬ + ৬৪)
= ১০

একটি সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল= √3/4 . a²
প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়।
∴ 3√3 = √3/4 . (a + 2)² - √3/4 . a²
বা, 3√3 = √3/4 {(a + 2)² - a²}
বা, 12 = (a² + 4a + 4 - a²)
বা, 12 = 4a + 4 
বা, 4a = 8
∴ a = 2 মিটার

ধরি, ১২ বছর আগে জনের বয়স = ৪x বছর
১২ বছর আগে পিয়ার বয়স = ৫x বছর
প্রশ্নমতে,
৪x+১২+১২ : ৫x+১২+১২ = ৮ : ৯
∴ x = ৬
সুতরাং জন ও পিয়ার বর্তমান বয়সের অনুপাত
= ৪×৬ + ১২ : ৫×৬ + ১২
= ৩৬ : ৪২
= ৬ : ৭

(3²)^x = (3³)^y 
3^2x = 3^3y
2x = 3y
x/y = 3/2

প্রশ্ন: ২৫% লাভে কোনো জিনিস ৪৫ টাকায় বিক্রয় করলে বিক্রেতার কত টাকা লাভ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
জিনিসটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 

২৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা  = ১২৫ টাকা 

এখন, 
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৫)/১২৫ টাকা
= ৩৬ টাকা 

∴ লাভ = (৪৫ - ৩৬) টাকা
= ৯ টাকা । 

প্রশ্ন: ১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর ৬৫। এদের মধ্যে ৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর ৭০ হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = ৬৫ 
∴ ১০০ জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর (৬৫ × ১০০) 
= ৬৫০০

আবার, ৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ৭০ 
 ∴ ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর (৭০ × ৬০)
= ৪২০০

এখন, ছাত্রের সংখ্যা (১০০ - ৬০) জন
= ৪০ জন

ছাত্রদের মোট নম্বর (৬৫০০ - ৪২০০) = ২৩০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৩০০/৪০
= ৫৭.৫

প্রশ্ন: x + y + z = 16, x - y = z হলে, x = ?

সমাধান:
x - y = z
বা, x = y + z

∴ x + y + z = 16
বা, x + x =16
বা, 2x = 16
∴ x = 8

4 সদস্যের কমিটি গঠনপ্রক্রিয়া নিম্নরুপ-
মহিলা (4 জন) -- পুরুষ (6 জন)
(i)            1 -- 3
(ii)           2 -- 2
(iii)          3 -- 1

(i) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₁ × ⁶c₃
= 4 × 20
= 80

(ii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₂ × ⁶c₂
= 90

(iii) এর ক্ষেত্রে কমিটির সংখ্যা = ⁴c₃ × ⁶c₁
= 24

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 80 + 90 + 24
= 194

log₂√10 - log₂√(5/2)
= log₂(10)^1/2 - log₂(5/2)^1/2
= 1/2 log₂10 - 1/2 log₂5/2
= 1/2 [log₂(5×2) - log₂5/2]
= 1/2 [log₂5 + log₂2 - (log₂5 - log₂2)]
= 1/2 [log₂5 + 1 - log₂5 + 1]
= 1/2 × 2
= 1

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12} হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 5 ≤ x < 11}
এখানে, x এর মান 5 এর সমান বা বড় এবং 11 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 12}
এখানে, x এর মান 12 এর ছোট স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

প্রদত্ত রাশি,
A ∩ B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {5, 7, 9}

∴ A ∩ B এর মান {5, 7, 9}

প্রশ্ন: 315° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ 180° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু 360° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই 315° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: যদি x + 1/x = 2 হয়, তাহলে x⁶ - 1/x⁶ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2. x . 1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, 
x⁶ - 1/x⁶
= (1)⁶ - {1/(1)⁶}
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৭৫% শিক্ষার্থী ইতিহাসে এবং ৬৫% শিক্ষার্থী ভূগোলে পাশ করল। যদি ৫০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
ইতিহাসে পাশ = ৭৫%
ভূগোলে পাশ = ৬৫%
উভয় বিষয়ে পাশ = ৫০%

∴ কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ = (৭৫ + ৬৫ - ৫০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল = ১০০ - ৯০ = ১০%
অতএব, ১০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়েই ফেল করেছে।

প্রশ্ন: যদি M : N = ২ : ৩, N : P = ৪ : ৫, P : Q = ৬ : ৭ হয়, তবে M : Q কত?

সমাধান:
M : Q = (M : N) × (N : P) × (P : Q)
= (M/N) × (N/P) × (P/Q)
= (২/৩) × (৪/৫) × (৬/৭)
= ৪৮/১০৫
= ১৬/৩৫
= ১৬ : ৩৫

a³ - 21a - 20
এখানে f(a) = a³ - 21a - 20 ধরে অপশনগুলো থেকে a এর মান নিয়ে সমাধান করাটা সহজ হবে।
সবগুলো অপশন থেকে মান নিয়ে যাচাই করলে দেখা যায় যে, f(-1) = 0 হয়।
অর্থাৎ, (a+1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক হবে।

Let's assume the present age of mother be 7x years and daughter be x years.
(7x-4)/(x-4) = 19/1
⇒ 7x-4 = 19(x-4)
⇒ 19x-7x = 76-4
⇒ 12x = 72
⇒ x = 6
∴ Mother's age after 4 years = 7x+4 = 7×6+4 = 46 years.

প্রশ্ন: x + (1/y) = 3/2 এবং y + (1/x) = 3 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

সমাধান: 
x + (1/y) = 3/2 ..........(A)
y + (1/x) = 3 .............(B)

সমীকরণ (A) ⇒ xy + 1 = 3y/2 ..........(1)       [উভয়পক্ষে y গুণ করে]

সমীকরণ (B) ⇒ xy + 1 = 3x .............(2)            [উভয়পক্ষে x গুণ করে]
 
এখন, (2) - (1) ⇒
3x - (3y/2) = 0
⇒ 3x = (3y/2)
⇒ x = y/2 .............(3)

সমীকরণ (A) ⇒
(y/2)+ (1/y) = 3/2
⇒ (y² + 2)/2y = 3/2
⇒ y² + 2 = 3y
⇒ y² - 3y + 2 = 0
⇒ y² - 2y - y + 2 = 0
⇒ y(y - 2) - 1(y - 2) = 0
⇒ (y - 2)(y - 1) = 0

∴ y = 2, 1

y = 2 হলে (3) হতে,
x = 2/2 = 1

এবং y = 1 হলে (3) হতে,
x = 1/2

∴ (x, y) = (1, 2), (1/2, 1)

উত্তরের দিকে ২ মিনিটে যায় = ১ মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = ৬০/২ = ৩০ মাইল

আবার
দক্ষিণ দিকে পূর্বস্থানে ২ মাইল ফিরে আসে ১ মিনিটে
১ মাইল ফিরে আসে = ১/২ মিনিটে
∴ ৩০ মাইল ফিরে আসে = ৩০/২ = ১৫ মিনিটে।

সুতরাং মোট সময় = ৬০+১৫ = ৭৫ মিনিট
এবং মোট দূরত্ব = ৩০ + ৩০ = ৬০ মাইল

এখন,
সে ৭৫ মিনিটে যায় = ৬০ মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = ৬০×৬০/৭৫ মাইল
                            = ৪৮ মাইল।