গাণিতিক যুক্তি

x²+ 5x - 6
= x² + 6x - x - 6
= x(x + 6) -1(x + 6)
= (x +6)(x - 1)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ১০৮ এবং গ.সা.গু ১৮। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই তৃতীয়াংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি ৩ক
ছোট সংখ্যাটি ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩ক × ২ক = ১০৮ × ১৮
⇒ ৬ক^২ = ১৯৪৪
⇒  ক^২ = ১৯৪৪/৬
⇒ ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = ১৮

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১৮ = ৩৬

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 60 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?  

সমাধান: 
মনে করি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি. হলে 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি. 
এবং
বৃত্তের পরিধি = 2πr সে.মি. 

প্রশ্নমতে, 
বা, 2πr - 2r = 60 
বা, 2r(π - 1) = 60 
বা 2r{(22/7) - 1} = 60 
বা, 2r(15/7) = 60 
বা, 30r/7 = 60 
বা, r = (60 × 7)/30 
∴ r = 14 

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14 সে.মি. ।

মূল্যের অনুপাতের পার্থক্য = ৭ - ৫ = ২
সুতরাং, শতকরা মূল্য বৃদ্ধি = (২/৫)×১০০ = ৪০%

২৫% - ২৫% + [(২৫%)(-২৫%)]/১০০
= -৬২৫%/১০০
= - ৬(১/৪)%
∴ ৬(১/৪)% কমেছে।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 55 জন উচ্চতর গনিত, 40 জন জীববিজ্ঞান নিয়েছে এবং 20 জন কোনটিই নেয় নি। কতজন শিক্ষার্থী শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে? 

সমাধান:

ধরি,
উভয় বিষয় নিয়েছে = x জন
∴ শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - x) জন
∴ শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - x) জন

দেওয়া আছে,
কোনো বিষয় নেয় নি = 20 জন

প্রশ্নমতে,
(55 - x) + x + (40 - x) + 20 = 100
⇒ 95 - x = 100 - 20
⇒ 95 - x = 80
 ⇒ x = 95 - 80
 ⇒ x = 15

শুধু উচ্চতর গনিত নিয়েছে = (55 - 15) জন = 40 জন 
শুধু জীববিজ্ঞান নিয়েছে = (40 - 15) জন = 25 জন

∴ শুধুমাত্র একটি বিষয় নিয়েছে (উচ্চতর গনিত বা জীববিজ্ঞান) = (40 + 25) জন = 65 জন 

প্রশ্ন : বার্ষিক ৬% সরল মুনাফায় ৮০০০ টাকার মুনাফা ১৪৪০ টাকা হবে কত বছরে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৮০০০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৬%
মুনাফা, I = ১৪৪০ টাকা

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, I = (P × r × n)/১০০
⇒ ১৪৪০ = (৮০০০ × ৬ × n)/১০০
⇒ ১৪৪০ = ৪৮০ × n
⇒ n = ১৪৪০/৪৮০
∴ n = ৩ বছর

প্রশ্ন: ৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকে ভাংলে, 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

এখানে মৌলিক উৎপাদক ২ মোট ৫ বার এসেছে এবং ৩ মাত্র ১ বার।

তাহলে প্রচুরক = ২ 

∴ প্রচুরক = ২ 

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে ৮, ৯ এবং ১২ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ৭ এবং ১০ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
৮ - ৬ = ২
৯ - ৭ = ২
১২ - ১০ = ২

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৮, ৯ এবং ১২ এর ল. সা. গু অপেক্ষা ২ কম।

৮, ৯ এবং ১২ এর ল. সা. গু = ৭২

তাহলে, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে = ৭২ - ২ = ৭০

আমার জানি,
1 হেক্টর =10000 বর্গমিটার
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল a² =10000
বা, a = 100
সুতরাং,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √2a = √2 × 100
= 100√2

প্রশ্ন: যদি x² - √8x + 1 = 0 হয়, তবে x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - √8x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √8x
⇒ x + (1/x) = √8 [উভয়পাশে x দ্বারা ভাগ করে]

এখন, 
{x - (1/x)}² = {x + (1/x)}² - 4 . x . (1/x)
⇒ {x - (1/x)}² = (√8)² - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 8 - 4
⇒ {x - (1/x)}² = 4
⇒ x - (1/x) = √4
∴ x - (1/x) = 2

প্রশ্ন: (200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
(200x)⁰ + 200x⁰ + (200x)⁰   [আমরা জানি, a⁰ = 1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (200 × 1) + 1
= 1 + 200 + 1
= 202

x - 2 ) x³ - x² ( x² + x + 2
          x³ - 2x²
        -----------
                  x²
                  x² - 2x
                 ----------
                         2x
                         2x - 4
                        ---------
                                4

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তবে r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 8 × 7 × 6
⇒ (8 - r)! = 8!/(8 × 7 × 6)
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(8 × 7 × 6)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম= 240/(x+1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x-240/(x+1) = 1
⇒ (240x+240-240x)/x(x+1) = 1
⇒ x²+x = 240
⇒ x²+16x-15x-240 = 0
⇒ x(x+16)-15(x+16) = 0
⇒ (x-15)(x+16) = 0
Either, x-15 = 0 or, x+16 = 0
∴ x=15 | ∴ x=-16(Which is not acceptable)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

প্রশ্ন: 9x² - 30x + 25 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
9x² - 30x + 25 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 9
b = x এর সহগ = - 30
c = ধ্রুবক = 25
নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 30)² - 4 × 9 × 25
= 900 - 900
= 0
নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

সঠিক উত্তর: খ) বাস্তব ও সমান

2^x + 2^x + 2^x + 2^x
= 4.2^x
= 2² . 2^x
= 2^(2+x)
= 2^(x+2)

z³ + 1/z³
= (z + 1/z)³ - 3 . z . 1/z . (z + 1/z)
= 4³ - 3 X 4
= 64 - 12
= 52

a^x√x = (a^√x)^x
বা, a^x√x = a^x√x
বা, x^√x = x√x
বা, x^√x = x^3/2
বা, √x = 3/2
∴ x = 9/4

প্রশ্ন: (5x/6) + 4 এবং (x/3) + 12 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(5x/6) + 4 =  (x/3) + 12 
⇒ (5x/6) - (x/3) = 12 - 4 
⇒ (5x - 2x)/6 = 8 
⇒ 3x/6 = 8 
⇒ x/2 = 8 
⇒ x = 8 × 2 
∴ x = 16

৮০% মূল্য = ৪৮ টাকা
∴ ১% মূল্য = ৪৮/৮০ টাকা
∴ ১০০% মূল্য = (৪৮×১০০)/৮০ টাকা
= ৬০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3a³ + 2a - 5 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a³ + 2a - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (a - 1), 3a³ + 2a -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3a³ + 2a - 5
= 3a³ - 3a² + 3a² - 3a + 5a - 5
= 3a²(a - 1) + 3a(a - 1) + 5(a - 1)
= (a - 1)(3a² + 3a + 5)

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3/4 x a² বর্গ মি.
বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মি. বাড়ালে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + 2) মি.
নতুন ক্ষেত্রফল = √3/4 x (a + 2)² বর্গ মি.

প্রশ্নমতে, 
√3/4 x (a + 2)² - √3/4 x a² = 2√3
বা, √3/4 { (a + 2)² - a² } = 2√3
বা, √3/4 (a² + 4a + 4 - a²) = 2√3
বা, √3/4 (4a + 4) = 2√3
বা, 4a + 4 = 2√3 × 4/√3
বা, 4a = 8 - 4
∴ a = 1

১/২ এর ক% = ৩/৪
বা, ১/২ এর ক/১০০ = ৩/৪
বা, ক = ৩ × ২ × ১০০/৪
বা, ক = ১৫০

প্রশ্ন: ২২০ এর ২৫%, p এর ৫.৫% সমান । p এর মান কত? 

সমাধান: 
p এর ৫.৫% = ২২০ এর ২৫% 
বা, p × (৫.৫/১০০) = ২২০ × (২৫/১০০) 
বা, ৫.৫p/১০০ = (২২০ × ২৫)/১০০ 
বা, ৫.৫p × ১০০ = ২২০ × ২৫ × ১০০ 
বা, p = (২২০ × ২৫ × ১০০)/(৫.৫ × ১০০)
∴ p = ১০০০ 

a = ৩, d = 8, n =?
৭৯ = ৩ + (n - ১)৪ বা, ৭৬ = (n - ১)৪ বা, ১৯ = n - ১ ∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = ৭৯+৩/২ × ২০ = ৮২×২০/২ = ৮২০

প্রশ্ন: |x - 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
|x - 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ x - 4 ≤ 10
⇒ - 10 + 4 ≤ x - 4 + 4 ≤ 10 + 4 ; [উভয় পাশে 4 যোগ করি] 
⇒ - 6 ≤ x ≤ 14

সুতরাং x এর সম্ভাব্য মানের সীমা, x ∈ [- 6, 14]
∴ x এর সর্বোচ্চ মান হলো 14

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1} এর মান কত?

সমাধান:
= 5.2ⁿ - 10.2^{n - 1}
= 5.2ⁿ - 10.(2ⁿ/2)
= 5.2ⁿ - 5.2ⁿ
= 2ⁿ(5 - 5)
= 2ⁿ × 0
= 0

প্রশ্ন: - 5 < x < 3 এর পরম মান কত?

সমাধান: 
- 5 < x < 3
বা, - 5 + 1 < x + 1 < 3 + 1
বা, - 4 < x + 1 < 4
∴ |x + 1| < 4

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৩^২ : π × ২^২
= ৯ : ৪