গাণিতিক যুক্তি

এখানে, ৭১, ৭৩ সংখ্যা দু’টি মৌলিক সংখ্যা যাদের অন্তরফল ২।

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং ভূমির দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে.মি. 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য, b = 8 সে.মি. 

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4)√(4a² - b²)
= (8/4) × √(4 × 5² - 8²) 
= 2√(4 × 25 - 64) 
= 2√(100 - 64) 
= 2√36
= 2 × 6
= 12 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি.

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটির A + C = ১৮০°
∴ ∠A = ১৮০° - ∠C
= ১৮০° - ৭০°
= ১১০°

প্রশ্ন: (6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216 , তবে 2^x এর মান কত?

সমাধান:
(6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216
⇒ (6^{x - 1}) · 6^{2(x + 2)} = 216
⇒ (6^{x - 1}) · (6^{2x + 4}) = 6³
⇒ 6^{x - 1 + 2x + 4} = 6³
⇒ x - 1 + 2x + 4 = 3
⇒ 3x + 3 = 3
⇒ 3x = 3 - 3
⇒ 3x = 0
⇒ x = 0

∴ 2^x = 2⁰
= 1

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
দৈর্ঘ্য ১২ মিটার, প্রস্থ ৮ মিটার এবং উচ্চতা ৩.৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) 
= ২(১২ + ৮) মিটার
= ২ × ২০ মিটার
= ৪০ মিটার 

আমরা জানি,
চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = পরিসীমা × উচ্চতা
= (৪০ × ৩.৫) বর্গমিটার 
= ১৪০ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: যদি x = √3 +√2 হয়, তাহলে, x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √3 + √2
বা, 1/x =  √3 - √2

এখন, 
 x + 1/x = √3 + √2 + √3 - √2 
∴ x + 1/x = 2√3 

আমরা জানি, 
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3.x.1/x (x + 1/x)
= (2√3)³ - 3 . 2√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

প্রশ্ন: যদি log_√2 x = 12 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_√2 x = 12
⇒ x = (√2)¹²   [log_aM = n ⇒ aⁿ = M]
⇒ x = (2^1/2)¹²
⇒ x = 2^{(1/2) × 12}
⇒ x = 2⁶
∴ x = 64

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যা?

সমাধান:
সঠিক উত্তর - π
কারণ, π একটি অমূলদ সংখ্যা এবং সকল অমূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত। 

প্রশ্ন: (০.০১)^২ এর মান কোন ভগ্নাংশটির সমান?

সমাধান:
(০.০১)^২
= (১/১০০)^২
= (১/১০০) × (১/১০০)
= ১/১০০০০

নির্ণেয় বাছাই সংখ্যা = ¹⁰C₃ × ⁸C₁
= 10! ÷ {(10 - 3)! × 3!} × 8
= {(10 × 9 × 8 × 7!) ÷ (7! ×‌ 3!)} × 8
= (10 × 9 × 8 ÷ 6) × 8
= 120 × 8
= 960

প্রশ্ন: 50 ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমনভাবে কাটা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের 1/4 হয়। ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
একটি অংশ = x 
অপর অংশটি = x/4

প্রশ্নমতে, 
x + x/4 = 50
⇒ (4x + x)/4 = 50
⇒ 5x = (50 × 4) 
⇒ 5x = 200 
⇒ x = 200/5 
∴ x = 40

∴ ছোট অংশটির দৈর্ঘ্য = 40/4
= 10 ফুট।

f(x) = 3x³ + 2x² - 21x – 20
f(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21.-1 -20
= 0
সুতরাং রাশিটির একটি উৎপাদক হলো x – (-1) = x + 1

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৫ গুণ। ৮ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৯ গুণ ছিল। পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বয়স = ক বছর
পিতার বয়স = ৫ক বছর

৮ বছর পূর্বে,
পুত্রের বয়স (ক - ৮) বছর
পিতার বয়স (৫ক - ৮) বছর

প্রশ্নমতে,
৫ক - ৮ = ৯ (ক - ৮)
বা, ৫ক - ৮ = ৯ক - ৭২
বা, ৯ক -  ৫ক = ৭২ - ৮
বা, ৪ক= ৬৪
বা, ক = ৬৪/৪
বা, ক = ১৬

∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ১৬) বছর = ৮০ বছর

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য 130 মিটার এবং গতি ঘণ্টায় 45 কিলোমিটার। ট্রেনটি 30 সেকেন্ডে যে সেতুটি পার হয়, সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 130 মিটার
গতি = 45 কিমি/ঘণ্টা
সময় = 30 সেকেন্ড

আমরা জানি, 
গতি = দূরত্ব × সময় = (45 × 1000)/(60 × 60) = 12.5 মিটার/সেকেন্ড

আবার, 
৩০ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব 
= 12.5 × 30= 375 মিটার

আমরা জানি, 
মোট দূরত্ব = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য)
⇒ সেতুর দৈর্ঘ্য = মোট দূরত্ব - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= 375 - 130 = 245 মিটার

সুতরাং, সেতুর দৈর্ঘ্য = 245 মিটার

মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = ২৫ সে.মি., প্রস্থ, b = ২০ সে.মি. এবং উচ্চতা, c = ১৫ সে.মি.।
আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab+bc+ca)
= ২(২৫×২০+২০×১৫+১৫×২৫) বর্গ সে.মি.
= ২৩৫০ বর্গ সে.মি.
উৎসঃ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

x = 2 হলেই কেবল উভয় সমীকরন সিদ্ধ হয়
∴ A = {2}

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের পরিধি ৩৫২ মিটার হলে বাগানটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তাকার বাগানের পরিসীমা = ৩৫২ মিটার 

প্রশ্নমতে,
২πr = ৩৫২
⇒ πr = ৩৫২/২
 ⇒ πr = ১৭৬
 ⇒ r = ১৭৬/π 
 ⇒ r = ১৭৬/(২২/৭) 
 ⇒ r = (১৭৬ × ৭)/২২ 
 ⇒ r = ৫৬

∴ বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr^২ 
= (২২/৭) × (৫৬)^২ 
= (২২/৭) × ৫৬ × ৫৬ 
= ৯৮৫৬ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

ট্রাপিজয়ামের বৈশিষ্ট্য অনুসারে।

মনে করি,
জুইয়ের বয়স = ৫a বছর
জিসানের বয়স = ৪a বছর
প্রশ্নমতে,
৪a + ৮ = ২৪
বা, ৪a = ১৬
∴ a = ৪
∴ জুইয়ের বর্তমান বয়স = ৫ × ৪
= ২০ বছর

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স তার ছেলের বয়সের চারগুণ। ৬ বছর আগে পিতার বয়স ছেলের বয়সের ছয়গুণ ছিল। ছেলের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, ছেলের বর্তমান বয়স = ক বছর
পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক বছর

৬ বছর আগে,
ছেলের বয়স = ক - ৬
পিতার বয়স = ৪ক - ৬

প্রশ্নমতে,
৪ক - ৬ = ৬(ক - ৬)
⇒ ৪ক - ৬ = ৬ক - ৩৬
⇒ ৬ক - ৪ক = ৩৬ - ৬
⇒ ২ক = ৩০
⇒ ক = ১৫

∴ ছেলের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর

সমাধান:
মনে করি, সুলেমানের মোট সম্পত্তির পরিমান = ১ অংশ

জমি ক্রয় করেন = ৩/৭ অংশ টাকা দিয়ে
এবং বাড়ি ক্রয় করেন = (৩/৭) × (১/৩) = ১/৭ অংশ টাকা দিয়ে।

∴ জমি ও বাড়ি ক্রয় করার পর অবশিষ্ট রইল = ১ - (৩/৭) - (১/৭) অংশ
= {(৭ - ৩ - ১)/৭}
= (৭ - ৪)/৭
= ৩/৭ অংশ

প্রশ্ন: এক সরলকোণের মান কত?

সমাধান: 

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরলকোণ বলে। চিত্রে ∠BAC হচ্ছে এক সরলকোণ। সরলকোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা ১৮০°।

৩১১-২৩ = ২৮৮
= ১×২৮৮, ২×১৪৪, ৩×৯৬, ৪×৭২, ৬×৪৮, ৮×৩৬, ৯×৩২, ১২×২৪, ১৬×১৮।
সুতরাং ২৩ অপেক্ষা বড় ২৮৮ এর উৎপাদকের সেট = {২৪, ৩২, ৩৬, ৪৮, ৭২, ১৪৪, ২৮৮}।

প্রশ্ন: 2 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 2 টি
চিঠির সংখ্যা r = 7 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = n^r
 = 2⁷
 = 128 টি উপায়ে

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে, খ^২ = ক×গ
বা, খ = √(ক×গ)
সুতরাং ১৬ এবং ২৫ এর মধ্যসমানুপাতী = √(১৬×২৫)
= ৪×৫
= ২০.

প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হলে, (x² - 1/x²)² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1/x = 5

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . (1/x)
= 5² - 4 = 25 - 4 = 21
∴ (x - 1/x) = √21

প্রদত্ত রাশি, 
(x² - 1/x²)²
= {(x + 1/x)(x - 1/x)}²
= (5 × √21)²
= 25 × 21
= 525

11 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹¹C₁ =11উপায়ে
10 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁰C₁ =10 উপায়ে
∴ বছাই সংখ্যা = 11 × 10 =110

(০.২ + ০.৪ + ১ + x)/৪ = ০.৬
বা, x + ১.৬ = ২.৪
বা, x = ২.৪ - ১.৬
= ০.৮

৮০০ টাকায় ৩ বছরের মুনাফা (৯২০ - ৮০০) = ১২০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ১ বছরের মুনাফা (১০০ × ১২০)/(৮০০ × ৩) = ৫ টাকা
সুদের হার ৩% বৃদ্ধি পেয়ে নতুন সুদের হার (৫ + ৩)% = ৮% 
∴ ৮০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা = (৮০০ × ৮ × ৩)/১০০ = ১৯২ টাকা
∴৮০০ টাকার ৩ বছরের সুদে-আসলে (৮০০ + ১৯২) = ৯৯২ টাকা