গাণিতিক যুক্তি

C = ৮০০(১ + ২৫%)^২
C = ৮০০ × ১২৫ × ১২৫ ÷ (১০০ × ১০০)
C = ১২৫০
নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১২৫০ - ৮০০ = ৪৫০

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় ∣3x+2∣ ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|3x + 2| ≤ 5 
⇒ - 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5 
⇒ - 5 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 5 - 2 
⇒ - 7 ≤ 3x ≤ 3 
⇒ - (7/3) ≤ x ≤ 1

f(x) = x⁴ - 4x + 3
এখানে,
f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
∴ x - 1, f(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং xy = 9 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
x + y = 6 ........ (i)
xy = 9 ........ (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
y = 6 - x

এখন, y এর এই মানটি সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,
x(6 - x) = 9
বা, 6x - x² = 9
বা, x² - 6x + 9 = 0
বা, (x - 3)² = 0
বা, x - 3 = 0
∴ x = 3

প্রশ্ন: ২০টি কমলা ৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০% লাভ হলো। তাহলে প্রতি ডজন কমলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% লাভে, বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (৮০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৮০০০/১২০ = ২০০/৩ টাকা

এখন,
২০ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/৩ টাকা
∴ ১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/(৩ × ২০)  টাকা
∴ ১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য = (২০০ × ১২)/(৩ × ২০) টাকা
= ৪০ টাকা

প্রশ্ন: যদি tan 53° = 4/3 হয় তবে tan8°-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan 53° = 4/3

আমরা জানি,
8° = 53° - 45°
tan8° = tan(53° - 45°)
⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)  ; [tan(x - y) = (tanx - tany)/(1 + tanx . tany)]
⇒ tan8° = {(4/3) - 1){/{(1 + (4/3)}
⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)
⇒ tan8° = (1/3) × (3/7)
∴ tan8° = 1/7

0.001 / (0.1 X 0.1)
= 0.001 / 0.01
= 0.1

প্রশ্ন: ৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের সূত্র:
= [(n - ২) × ১৮০°] / n
= [(8 - ২) × ১৮০°] / ৮
= (৬ × ১৮০°) / ৮
= ১০৮০°/ ৮
= ১৩৫°

∴ ৮ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৩৫° 

প্রশ্ন: (4.2^{n - 2}) ÷ 2^{n + 1} = কত?

সমাধান: 
4.2^{n - 2} ÷ 2^{n + 1}
= (2² . 2^{n - 2}) / 2^{n + 1}
= 2^{2 + n - 2} / 2^{n + 1}
= 2ⁿ / 2^{n + 1}
= 2^{n - n - 1}
= 2^-1
= 1/2

Speed downstream = (5 + 1) kmph = 6 kmph
Speed upstream = (5 - 1) kmph = 4 kmph
Let the required distance be x km
Then,
(x/6)+(x/4) = 1
⇒ 2x + 3x = 12
⇒ 5x = 12
⇒ x = 2.4 km

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
১ম পদ, a = 1/4 
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4 

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r)  [যেহেতু, r < 1] 
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: log₂ log₃ (log₃27³) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂ log₃ (log₃27³)
= log₂ log₃(3log₃3³)
= log₂ log₃(9log₃3)
= log₂ log₃9 ; [log_aa = 1]
= log₂ (log₃3²)
= log₂ (2log₃3)
= log₂2
= 1

প্রশ্ন: একজন নির্মাতা এবং একজন খুচরা বিক্রেতা উভয় ২০% লাভে একটি দ্রব্য বিক্রয় করে, যদি ঐ দ্রব্যের নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত? 

সমাধান: 
নির্মাতার ২০% লাভে, 
নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
∴ নির্মাণ খরচ ১ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা 
∴ নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = (১২০ × ৩০০)/১০০ টাকা
= ৩৬০ টাকা 

আবার, 
খুচরা বিক্রেতার ২০% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৩৬০)/১০০ টাকা 
= ৪৩২ টাকা 

∴ খুচরা মূল্য = ৪৩২ টাকা । 

৩টি সংখ্যার গড় ৩৩ হলে এদের সমষ্টি = ৩ × ৩৩ = ৯৯
দুইটি সংখ্যা ২৬ এবং ৩৭ হলে অপর সংখ্যাটি হবে = ৯৯ - (২৬ + ৩৭) = ৩৬

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32 + ------  ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি, 
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 8} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}
= 2^{-(n - 9)}
= 2^{9 - n}

(০.১ × ০.০১ × ০.০০৪) / (০.০২ × ০.০০২)
= ০.০০০০০৪ / ০.০০০০৪
= ০.৪ / ৪
= ০.১

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

 সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
⇒ - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
⇒ - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 11

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 21 এবং a² - ab + b² = 3 হলে, a² + ab + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 21
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 21
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 21
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 21
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 21
⇒ (a² + ab+ b²). 3 = 21
⇒ a² + ab + b² = 21/3
∴ a² + ab + b² = 7

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(২ক + ক) একক
= ৬ক একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৩ক/২)২ = (৯ক২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক২)/৪ : (২ক২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ৫ × ৪ = ২০ টাকা
∴ ১০০ টাকা ৫ বছরে সুদে আসলে হলে (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা।
প্রশ্নমতে, সুদাসল ১২০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৯০০ টাকা হলে আসল ১০০/১২০ × ৯০০ = ৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2 হলে a - (- b) - (- c) - (- d) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2

প্রদত্ত রাশি = a - (- b) - (- c) - (- d)
= a + b + c + d
= 1 + 1 + 2 + (- 2)
= 2 + 2 - 2
= 2

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির পারিশ্রমিক তার পুত্রের পারিশ্রমিক অপেক্ষা ২০% বেশি। পুত্রের পারিশ্রমিক পিতার পারিশ্রমিকের শতকরা কত ভাগ? 

সমাধান: 
পুত্রের বেতন ১০০ টাকা হলে পিতার বেতন = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা 

পিতার বেতন ১২০ টাকা হলে পুত্রের বেতন = ১০০ টাকা 
∴ পিতার বেতন ১ টাকা হলে পুত্রের বেতন = ১০০/১২০ টাকা 
∴ পিতার বেতন ১০০ টাকা হলে পুত্রের বেতন = (১০০ × ১০০)/১২০ টাকা 
= ৮৩.৩৩ টাকা