PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ১৫৮ / ৪৭৫ · ১৫,৭০১–১৫,৮০০ / ৪৭,৮৩৩
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ2= লম্ব2+ভূমি2
তাই একমাত্র খ অপশন ছাড়া অন্য কোনটা এটি সমর্থন করে না।
সমকোণী ত্রিভূজের একটি সমকোণ = 90°
২য় কোণ = 50°
∴ ৩য় কোণ = 180° - (90° + 50°)
= 40°
প্রশ্ন: |2x - 3| < 5 এর সমাধান-
সমাধান:
|2x - 3| < 5
⇒ - 5 < 2x - 3 < 5
⇒ - 5 + 3 < 2x - 3 + 3 < 5 + 3
⇒ - 2 < 2x < 8
⇒ - 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ - 1 < x < 4
প্রশ্ন: বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ১২০০ টাকার ৪ বছরের সরল সুদ ১৯২ টাকা হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১২০০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
সুদ, I = ১৯২ টাকা
সুদের হার, r = ?
আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ r = (১০০ × I)/Pn
⇒ r = (১০০ × ১৯২)/(১২০০ × ৪)
⇒ r = ১৯২০০/৪৮০০
⇒ r = ৪
∴ সুদের হার, r = ৪%
প্রশ্ন: গমের মূল্য ২০% কমে যাওয়ায় ৮০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল গম বেশি পাওয়া যায়। এক কুইন্টাল গমের বর্তমান মূল্য কত?
সমাধান:
২০% মূল্য কমে যাওয়ায় বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা
এখন,
পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য = ৮০ টাকা
∴ পূর্বমূল্য ১ টাকা হলে বর্তমান মূল্য = ৮০/১০০ টাকা
∴ পূর্বমূল্য ৮০০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য = (৮০ × ৮০০০)/১০০ টাকা
= ৬৪০০ টাকা
∴ ১ কুইন্টাল গমের বর্তমান মূল্য = (৮০০০ - ৬৪০০) টাকা
= ১৬০০ টাকা।
অতএব, ১ কুইন্টাল গমের বর্তমান মূল্য = ১৬০০ টাকা
প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একসাথে বাজা শুরু করে এবং যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড পর পর বাজে। ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে কতবার বাজবে?
সমাধান:
৩ = ৩
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
∴ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০
তাহলে, ঘণ্টাগুলো প্রতি ১৮০ সেকেন্ড বা ৩ মিনিট পর একসাথে বাজবে।
∴ ৬৬ মিনিটে, তারা একসাথে বাজবে (৬৬/৩) + ১ = ২২ + ১
= ২৩ বার
x = 1/{(√5) - 2} = √5 + 2
এবং 1/x = √5 - 2
বা, x - (1/x) = 4 ........ (1)
বা, (x - (1/x))3 = 43 = 64
বা, x3 - 1/x3 + 3.x.(1/x)(x - (1/x)) = 64
বা, ((x6 - 1)/x3) + 3.4 = 64 ........... [(1) নং থেকে]
বা, (x6 - 1)/x3 = 64 - 12 = 52
বা, x6 - 1 = 52x3
∴ x6 - 52x3 = 1
প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণের চেয়ে ৪ বছর বেশি। ৪ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ১০০ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩ক + ৪ বছর
৪ বছর পর,
পুত্রের বয়স = ক + ৪ বছর
পিতার বয়স = (৩ক + ৪) + ৪ = ৩ক + ৮ বছর
প্রশ্নমতে,
(ক + ৪) + (৩ক + ৮) = ১০০
⇒ ৪ক + ১২ = ১০০
⇒ ৪ক = ৮৮
⇒ ক = ২২
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ২২ বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৩ × ২২) + ৪ = ৭০ বছর
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে 300 জন অতিথি ছিল। এর মধ্যে 180 জন চা পছন্দ করেন এবং 140 জন কফি পছন্দ করেন। যদি 50 জন উভয় পানীয় পছন্দ করেন, তবে কতজন অতিথি কোনো পানীয়ই পছন্দ করেন না?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট অতিথি = 300 জন
চা পছন্দ করে = 180 জন
কফি পছন্দ করে = 140 জন
উভয় পানীয় পছন্দ করে = 50 জন
∴ শুধু চা পছন্দ করে = 180 - 50 = 130 জন
∴ শুধু কফি পছন্দ করে = 140 - 50 = 90 জন
∴ অন্তত একটি পানীয় পছন্দ করে = 130 + 90 + 50 = 270 জন
∴ কোনো পানীয়ই পছন্দ করে না = 300 - 270 = 30 জন
প্রশ্ন: ১২/৩৫, ১৮/৪২ ও ২৪/৪৯ এর গ.সা.গু নিচের কোনটি?
সমাধান: আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.)/(হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব ১২, ১৮ ও ২৪ এর গ.সা.গু. নির্ণয়:
১২ = ২২ × ৩
১৮ = ২ × ৩২
২৪ = ২৩ × ৩
∴ গ.সা.গু. = ২ × ৩ = ৬
হর ৩৫, ৪২ ও ৪৯ এর ল.সা.গু. নির্ণয়:
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭
৪৯ = ৭২
∴ ল.সা.গু. = ২ × ৩ × ৫ × ৭২
= ২ × ৩ × ৫ × ৪৯ = ১৪৭০
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = ৬/১৪৭০
= ১/২৪৫
a3 - 21a - 20
= a3 + a2 - a2 - a - 20a - 20
= a2 (a + 1)) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 20)
= (a + 1) (a2 - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৮৪ এবং অনুপাত ৩ : ৪। যদি প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৬ বিয়োগ করা হয় তাহলে নতুন অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার যোগফল = ৮৪
অনুপাত = ৩ : ৪
ধরি, দুটি সংখ্যা = ৩x এবং ৪x
তাহলে,
⇒ ৩x + ৪x = ৮৪
⇒ ৭x = ৮৪
⇒ x = ৮৪/৭
∴ x = ১২
সুতরাং, প্রথম সংখ্যা = ৩x = ৩ × ১২ = ৩৬
এবং দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪x = ৪ × ১২ = ৪৮
এখন, প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৬ বিয়োগ করলে নতুন সংখ্যা দুটি হবে,
∴ নতুন প্রথম সংখ্যা = ৩৬ - ৬ = ৩০
∴ নতুন দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪৮ - ৬ = ৪২
∴ নতুন অনুপাত = ৩০ : ৪২ = ৫ : ৭
প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
সমাধান:
একটি বৃত্ত ও একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
πr2 = x
r2 =x/π
r = √(x/π)
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a2
x = a2
a = √x
বর্গক্ষেত্রের বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = √x : √(x/π)
= 1 : 1/√π
= √π : 1
প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৮। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৭২ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৩৮। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৮
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি (৫৮ × ১০) = ৫৮০
প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৭২
প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭২ × ৪) = ২৮৮
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৩৮
শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫ × ৩৮) = ১৯০
এখন,
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি + পঞ্চম সংখ্যা + শেষ ৫টির সমষ্টি)
∴ পঞ্চম সংখ্যা = (মোট সমষ্টি - প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি)
= ৫৮০ - ২৮৮ - ১৯০
= ৫৮০ - ৪৭৮
= ১০২
অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ১০২।
হেলানো তলের উচ্চতা = √(৩২ + ৪২) = ৫
প্রশ্ন: x = 1 + √7 হলে, x3 = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 1 + √7
∴ x3 = (1 + √7)3
= 13 + 3.12.√7 + 3.1. (√7)2 + (√7)3
= 1 + 3√7 + 3 . 7 + 7√7
= 22 + 10√7
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 20% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কতটুকু বৃদ্ধি পায়?
সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ r একক।
ক্ষেত্রফল, A = πr2 বর্গএকক।
ব্যাসার্ধ r এর 20% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ, r1 = r × (1 + 20/100)
= r × (1 + 0.20)
= 1.2r একক।
তাহলে,
নতুন ক্ষেত্রফল, A1 = πr12 বর্গএকক
= π(1.2r)2
= 1.44πr2 বর্গএকক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ
= (1.44πr2 - πr2)
= 0.44πr2 বর্গএকক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (বৃদ্ধির পরিমাণ/ প্রাথমিক ক্ষেত্রফল) × 100%
= (0.44πr2/πr2) × 100%
= 0.44 × 100%
= 44%।
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = 44%
প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কত যোগ করলে যোগফল ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
সমাধান:
আমরা জানি,
৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৫ ও ৭ এর লসাগু = ৩৫
এখন,
১০০০ কে ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ২৮ এবং ভাগশেষ থাকে ২০
৪ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০০ এর সাথে ৩৫ - ২০ = ১৫ যোগ করলে তা ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে।
যেমন, ১০১৫ ÷ ৫ = ২০৩ বা ১০১৫ ÷ ৭ = ১৪৫
প্রশ্ন: যদি x + y + z = 0 হয়, তবে x3 + y3 + z3 এর মান কত?
সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y + z = 0
আমরা জানি,
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
⇒ x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0 × (x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
⇒ x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
∴ x3 + y3 + z3 = 3xyz
প্রশ্ন: একটি তেলের ট্যাংকের ১/৬ অংশ পূর্ণ আছে। ট্যাংকের ৪/৬ অংশ পূর্ণ করতে আরও ৩০ লিটার তেল প্রয়োজন। ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা কত লিটার?
সমাধান:
৩০ লিটার তেল দ্বারা পূর্ণ হয় ট্যাংকের (৪/৬ - ১/৬) অংশ
= ৩/৬ অংশ
ট্যাংকের ৩/৬ অংশের ধারণক্ষমতা = ৩০ লিটার
∴ সম্পূর্ণ ১ অংশের ধারণক্ষমতা = (৩০ × ৬)/৩ লিটার
= ৬০ লিটার
অতএব, ট্যাংকের মোট ধারণক্ষমতা = ৬০ লিটার।
প্রশ্ন: f(x) = x2 + (1/x- 1) - 1 হলে, f(0) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে, f(x) = x2 + (1/x- 1) - 1
= x2 + {1/(1/x)} - 1
= x2 + x - 1
এখন, x = 0 বসিয়ে পাই,
f(0) = 02 + 0 - 1
= 0 + 0 - 1
= - 1
প্রশ্ন: যদি 5x3 - 2x2 + x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?
সমাধান:
ধরি,
f(x) = 5x3 - 2x2 + x + k
∴ f(3) = 5(3)3 - 2(3)2 + 3 + k
= 5 × 27 - 2 × 9 + 3 + k
= 135 - 18 + 3 + k
= 120 + k
এখন,
5x3 - 2x2 + x + k এর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, f(3) = 0 হবে,
এখন
f(3) = 0
⇒ 120 + k = 0
∴ k = - 120
প্রশ্ন: (৩/৪) এর (২/৫) ÷ (৬/৫) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল ১ হবে?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
এখন,
৩/৪ এর ২/৫ ÷ ৬/৫
= ৩/১০ ÷ ৬/৫
= ৩/১০ × ৫/৬
= ১/৪
প্রশ্নমতে,
১/৪ + ক = ১
বা, (১ + ৪ক)/৪ = ১
বা, ১ + ৪ক = ৪
বা, ৪ক = ৩
∴ ক = ৩/৪
প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?
সমাধান:
২ টি বই কখনোই বাছাই না করা হলে বাছাইযোগ্য বইসংখ্যা হবে = (১০ - ২) টি = ৮ টি
∴ ৮ টি বইয়ের মধ্য থেকে ৪ টি বই বাছাই করার সংখ্যা = ৮C৪
= ৮!/{৪! × (৮ - ৪)!}
= ৮!/(৪! × ৪!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪!)/(৪ × ৩ × ২ × ৪!)
= ৭০
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য 20 মি. এবং পরিসীমা 160 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের,
দৈর্ঘ্য - প্রস্থ = 20 মিটার ......(১)
এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 160 মিটার
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ 160 = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 160/2 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 80 মিটার ...........(২)
এখন, দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই,
(দৈর্ঘ্য - প্রস্থ) + (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 20 + 80
⇒ 2 × দৈর্ঘ্য = 100
⇒ দৈর্ঘ্য = 100/2 = 50 মিটার
এখন,
দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 80
⇒ 50 + প্রস্থ = 80
⇒ প্রস্থ = 80 - 50 = 30 মিটার
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 50 × 30
= 1500 বর্গ মিটার।
∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1500 বর্গ মিটার।
বৃত্তের ব্যাস = 2r হলে এর ব্যসার্ধ হবে r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴ 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, গ.সা.গু = ক
সুতরাং ল.সা.গু = ৩ক
প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ১০৮
বা, ক = ৬
সুতরাং গ.সা.গু = ৬
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার আয়ের ১/৩ অংশ খাবারে এবং ১/৬ অংশ যাতায়াতে ব্যয় করার পর তার কাছে আরও ৩০০০ টাকা অবশিষ্ট আছে। তার মোট আয় কত?
সমাধান:
ধরি মোট আয় = ক টাকা
খাবারে খরচ = ক/৩
এবং যাতায়াতে খরচ = ক/৬
প্রশ্নমতে,
ক - (ক/৩ + ক/৬) = ৩০০০
⇒ (৬ক - ২ক - ক)/৬ = ৩০০০
⇒ ৩ক/৬ = ৩০০০
⇒ ক/২ = ৩০০০
⇒ ক = ৩০০০ × ২
∴ ক = ৬০০০ টাকা
সুতরাং, তার মোট আয় ৬০০০ টাকা
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স ৩x, x
∴ (৩x + ৫)/(x + ৫) = ৫/২
বা, ৬x + ১০ = ৫x + ২৫
∴ x = ১৫
∴ পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = ৩x + x = ৪x
= ৪ × ১৫
= ৬০
প্রশ্ন: sin230° + cos2θ = 1 হলে, θ এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin230° + cos2θ = 1
⇒ (1/2)2 + cos2θ = 1
⇒ 1/4 + cos2θ = 1
⇒ cos2θ = 1 - (1/4)
⇒ cos2θ = (4 - 1)/4
⇒ cos2θ = 3/4
⇒ cosθ = √3/2
⇒ cosθ = cos30°
∴ θ = 30°
প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে, (1/27)(a3 + b3 + c3) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
a + b = - c
এখন,
(1/27)(a3 + b3 + c3)
= (1/27){(a + b)3 - 3ab(a + b) + c3}
= (1/27){(- c)3 - 3ab( - c) + c3}
= (1/27)( - c3 + 3abc + c3)
= (1/27) × 3abc
= abc/9
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ১২ ঘন মিটার। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩ মিটার এবং প্রস্থ ২ মিটার। চৌবাচ্চার গভীরতা কত?
সমাধান:
ধরি,
চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ক মিটার
প্রশ্নমতে,
চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
⇒ ১২ = (৩ × ২ × ক)
⇒ ৬ক = ১২
⇒ ক = ১২/৬
∴ ক = ২
∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা= ২ মিটার।
প্রশ্ন: জাহিদ সাহেব ২৫০০০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। ৬ বছর পর তিনি আসল টাকার ৩/৫ অংশ সুদ পেলেন। বার্ষিক সরল সুদের হার কত?
সমাধান:
আসল টাকা, P = ২৫০০০০ টাকা
সময়, T = ৬ বছর
সুদ = (৩/৫) × ২৫০০০০ = ১৫০০০০ টাকা,
সুদের হার, R = ?
আমরা জানি,
SI = (P × R × T)/১00
⇒ ১৫০০০০ = (২৫০০০০ × R × ৬)/১০০
⇒ ১৫০০০০ = (১৫০০০০০ × R)/১০০
⇒ ১৫০০০০ × ১০০ = ১৫০০০০০ × R
⇒ ১৫০০০০০০ = ১৫০০০০০ × R
⇒ R = ১৫০০০০০০/১৫০০০০০
∴ R = ১০
∴ সুদের হার ১০%।