গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x² - 7x + 12 < 0
⇒ x² - 3x - 4x + 12 < 0
⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) < 0
⇒ (x - 3)(x - 4) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 3) > 0 এবং (x - 4) < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
⇒ 3 < x < 4

ক্ষেত্র ২: (x - 3) < 0 এবং (x - 4) > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 3 < x < 4

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^x+8
বা, (1000)⁷ = 10^x+8
বা, (10³)⁷ = 10^x+8
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 65। এদের মধ্যে 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 70 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = 65
∴ 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর = (65 × 200)
= 13000

আবার, 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর = 70
∴ 120 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (70 × 120) = 8400

এখন, ছাত্রের সংখ্যা = (200 - 120) = 80 জন।
∴ ছাত্রের মোট নম্বর = (13000 - 8400)
= 4600
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = 4600/80
= 57.5

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
4x² - 12x + 9 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 4
b = x এর সহগ = - 12
c = ধ্রুবক = 9

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
b² - 4ac = 0 হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
b² - 4ac < 0 হলে ⇒ বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)

প্রশ্ন: 2a² - 9a - 35 এর একটি উৎপাদক (2a + 5) হলে অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
2a² - 9a - 35 
= 2a²  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

প্রশ্ন: প্রদত্ত রেখার ঢাল কত? 
6x + 3y + 9 = 0

সমাধান: 
6x + 3y + 9 সমীকরণের ঢাল বের করতে, প্রথমে একে y = mx + c আকারে রূপান্তর করতে হবে, যেখানে m হলো রেখার ঢাল।

দেওয়া সমীকরণ, 
6x + 3y + 9 = 0
⇒ 3y = - 6x - 9 
∴ y = - 2x - 3  ; [3 দ্বারা ভাগ করে পাই] 

এখন, এই সমীকরণটি y = mx + c আকারে রূপান্তরিত হয়েছে, যেখানে m = - 2

 সুতরাং, রেখার ঢাল হলো m = - 2

যেহেতু AMERICA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি A.
একটি A বাদ দিয়ে 6টি ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶P₃ = 120
দুইটি A কে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে 3 বর্ণ শব্দ সংখ্যা = 5 × ³P₂ = 15
∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 3 : 4 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
কোণগুলো = 3x, 3x, 4x
তাহলে, 
3x + 3x + 4x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°

3x = 54°
4x = 72°

তাহলে কোনগুলো = 54°, 54°, 72°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ২টি কোণের সমান হয়।  

∴ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।  

প্রশ্ন: a² + b² = 8 এবং a = - 4/b হলে, (a - b)² এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 8
এবং, a = - 4/b
⇒ ab = - 4

এখন, (a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
= a² + b² - 2ab
= 8 - {2 × (- 4)}
= 8 + 8
= 16

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x³ + 27y³ এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + 3y = 13 এবং xy = 6 

প্রদত্ত রাশি, 
8x³ + 27y³
= (2x)³ + (3y)³
= (2x + 3y)³ - 3 . 2x . 3y(2x + 3y)
= (13)³ - 18 . 6 . 13
= 2197 - 1404
= 793

৮০ এর উৎপাদক = {২, ৪, ৫, ৮, ১০, ১৬, ২০, ৪০, ৮০} = ৯টি,
৮৮ এর উৎপাদক = {২, ৪, ৮, ১১, ২২, ৪৪, ৮৮} = ৭টি,
৯৫ এর উৎপাদক = {৫, ১৯, ৯৫} = ৩টি,
৯৯ এর উৎপাদক = {৩, ৯, ১১, ৩৩, ৯৯} = ৫টি

৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৮৯ এবং ৩১।
এদের পার্থক্য = ৮৯ - ৩১ = ৫৮ 

পূর্ণ বর্গসংখ্যার ভাজক সংখ্যা বিজোড় হয়।
প্রদত্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে ১০২৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
√(১০২৪) = ৩২
সুতরাং ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা বিজোড় সংখ্যা হবে।

এখন, ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করিঃ
১০২৪ = ১ X ১০২৪
= ২ X ৫১২
= ৪ X ২৫৬
= ৮ X ১২৮
= ১৬ X ৬৪
= ৩২ X ৩২
∴ ১০২৪ এর ভাজক সংখ্যা = ১, ২, ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪, ১২৮, ২৫৬, ৫১২ এবং ১০২৪ = ১১ টি

প্রশ্ন: 3x - 4y - 3 = 0 রেখার ঢাল কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x - 4y - 3 = 0
রেখার সমীকরণকে প্রথমে y = mx + c আকারে লিখতে হবে।
এখানে m = ঢাল (slope)

এখন, 
3x - 4y - 3 = 0
⇒ - 4y = - 3x + 3
⇒ 4y = 3x - 3
⇒ y = (3/4)x - (3/4)

অতএব, ঢাল, m = 3/4

সুতরাং, রেখাটির ঢাল 3/4

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 2/3; A ও B স্বাধীন হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
P(A) = 1/3, P(B) = 2/3 

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 136 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 34 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  136 = (1/2) × (34 × নির্ণেয় বাহু) 
⇒  নির্ণেয় বাহু = (136 × 2)/34
∴ নির্ণেয় বাহু = 8 একক। 

প্রশ্ন: y⁶ - 64 এর উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
y⁶ - 64
= (y³)² - 8²
= (y³ + 8)(y³ - 8)
= (y³ + 2³)(y³ - 2³)
= (y + 2)(y² - 2y + 4)(y - 2)(y² + 2y + 4)
= (y + 2)(y - 2)(y² + 2y + 4)(y² - 2y + 4)

প্রশ্ন: x² - √5x + 1 = 0 হলে, x⁶ + 1/x⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² - √5x + 1 = 0
⇒ x - √5 + 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √5

∴ x⁶ + 1/x⁶
= (x³)² + (1/x³)²
= (x³ + 1/x³)² - 2.x³.1/x³
= {(x + 1/x)³ - 3. x .1/x (x + 1/x)}² - 2
= {(√5)³ - 3.√5}² - 2
= (5√5 - 3√5)² -2
= (2√5)² - 2
= 20 - 2
= 18

 ১ম পদ a = ২২
২য় পদ ২৭
সাধারণ অন্তর d = ২৭- ২২ =৫
১৫তম পদ = a + (১৫ -১) d
= ২২ + (১৪×৫)
= ২২ + ৭০
= ৯২

প্রশ্ন: {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2 সমীকরণটিতে x এর মান কত?

সমাধান:
 {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2
⇒ (3x - 2 + 4)/4 = (x + 3)/2
⇒ (3x + 2)/4 = (x + 3)/2
⇒ 2(3x + 2) = 4(x + 3)
⇒ 6x + 4 = 4x + 12
⇒ 6x - 4x = 12 - 4
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4

সমকোণী ত্রিভূজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভূজ বলে, অতিভূজের বিপরীত কোণ সমকোণ।

আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ (∠ACD) = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি (∠A + ∠B)

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
∴ ১৪ ও ১৯ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

(4 - x²) ≤ 0
বা, x² - 4 ≥ 0
বা, (x + 2)(x - 2) ≥ 0



চিত্র অনুসারে,
নির্ণেয় সমাধান = x ≤ -2 অথবা x ≥ 2

প্রশ্ন: একজন চা ব্যবসায়ী এক বাক্স চা পাতা কেজি প্রতি ৮০ টাকা হিসাবে ক্রয় করেন। সব চা পাতা কেজি প্রতি ৭৫ টাকা দরে বিক্রয় করায় ৫০০ টাকা ক্ষতি হয়। তিনি কত কেজি চা পাতা ক্রয় করেছিলেন? 

সমাধান: 
কেজি প্রতি চা পাতার ক্রয়মূল্য = ৮০ টাকা 
কেজি প্রতি চা পাতার বিক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা 
__________________________________
∴ ১ কেজি চা পাতা বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় = ৫ টাকা 

এখন, 
৫ টাকা ক্ষতি হয় = ১ কেজিতে 
∴ ১ টাকা ক্ষতি হয় = ১/৫ কেজিতে 
∴ ৫০০ টাকা ক্ষতি হয় = (১ × ৫০০)/৫ কেজিতে 
= ১০০ কেজিতে 

∴ চা পাতা ক্রয় করেছিলেন = ১০০ কেজি।

প্রশ্ন: ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত ৪৯ : ১ হলে ২০০ কেজি ইস্পাতে কার্বনের পরিমাণ কত?

সমাধান:
লোহা ও কার্বনের অনুপাত ৪৯ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৪৯ + ১ = ৫০ 

২০০ কেজি ইস্পাতে কার্বনের পরিমাণ = ২০০ এর ১/৫০
= ৪ কেজি