গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: S = {1, 2, 3} ও T = Ø হলে S ∩ T = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
S = {1, 2, 3}
T = Ø

S ∩ T = {1, 2, 3} ∩ Ø
= Ø

প্রশ্ন: log₃(1/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(3^-4)
= - 4 log₃3
= - 4 × 1
= - 4

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের চেয়ে ১০ বেশি এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ। ভাগফল ৪০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৪০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ৪০ + ১০ = ৫০
ভাগশেষ = ৫০ × (১/৫) = ১০

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (৪০ × ৫০) + ১০
= ২০০০ + ১০

∴ ভাজ্য = ২০১০

x² + y² = 185
(x - y)² + 2xy = 185 [ x - y = 3]
2xy = 185 - 9
2xy = 176
∴ 4xy = 352
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy} = √(3² + 352)
∴ x + y = √361 = 19
x + y = 19........(1)
x - y = 3............(2)
(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
2x = 22
x = 11
∴ y = 8

প্রশ্ন: a³ + 3a + 36 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ + 3a + 36
= a³ + 27 + 3a + 9
= (a)³ + (3)³ + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9) + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9 + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 12)

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে ১১ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ৫ টি স্বরবর্ণ এবং ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। স্বরবর্ণ গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2)
= 360
‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1) বা, 359

ORBITAL শব্দে মোট 7টি বর্ণ আছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
মধ্যবর্তী স্থানটি স্বরবর্ণ দিয়ে ³p₁ = 3 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট দু'টি শূন্যস্থান 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করা যায় = ⁴p₂ = 12 উপায়ে
∴ শব্দ গঠনের মোট উপায় = 3 × 12
= 36 

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% সরল মুনাফায় কত বছরে ১২,০০০ টাকার মুনাফা ৮৪০০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০
আসল, P = ১২০০০ টাকা
মুনাফা, I = ৮৪০০ টাকা

মনে করি,
সময় = n

আমরা জানি,
I = pnr
বা, n = I/pr
= ৮৪০০/(১২০০০ × ১/১০)
= ৭ বছর

∴ ৭ বছরে ১২,০০০ টাকার মুনাফা ৮৪০০ টাকা হবে।

১/২ = ০.৫
৪/৫ = ০.৮
৫/৭ = ০.৭
৪/৯ = ০.৪
সুতরাং, ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ৪/৫ বৃহত্তম।

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী প্রতিদিন ২০ কে.জি ৪০০ গ্রাম ডাল বিক্রয় করলে, মাসে কী পরিমাণ ডাল বিক্রয় করতে পারেন?

সমাধান:
আমারা জানি, 
১০০০ গ্রাম = ১ কে.জি
∴ ১ গ্রাম = (১/১০০০) কে.জি
∴ ৪০০ গ্রাম = (৪০০/১০০০) কে.জি = ২/৫ কে.জি

এখন,
একজন ব্যবসায়ী প্রতিদিন ডাল বিক্রয় করেন = ২০ কে.জি ৪০০ গ্রাম
= {২০ + (২/৫)} কে.জি 
= ১০২/৫ কে.জি

আবার, ১ মাস = ৩০ দিন
∴ মাসে ডাল বিক্রির পরিমাণ = {(১০২/৫) × ৩০} কে.জি
= (১০২ × ৬) কে.জি
= ৬১২ কে.জি

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৮ সে. মি. ও ৩ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।

মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৮ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৩ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৮ - ৩) সে. মি.
= ৫ সে. মি.

∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৫ সে. মি.

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।

ধরি, অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 3x এবং 4x ফুট
তাহলে,
(3x)² + (4x)² = 25²
⇒ 9x² + 16x² = 25²
⇒ 25x² = 25²
⇒ x² = 25
∴ x = 5
∴ অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য (3×5)= 15 ফুট এবং (4×5)= 20 ফুট

প্রশ্ন: সানি ও মনিরের বয়সের অনুপাত ৪ : ৩। ২ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৫। বর্তমানে সানির বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
সানি ও মনিরের বর্তমান বয়স ৪ক ও ৩ক বছর।

প্রশ্নমতে,
(৪ক - ২)/(৩ক - ২) = ৭/৫
⇒ ২১ক - ১৪ = ২০ক - ১০
⇒ ২১ক - ২০ক = ১৪ - ১০
∴ ক = ৪

∴ বর্তমানে সানির বয়স = ৪ × ৪ = ১৬ বছর

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৫/২ টাকা সরল মুনাফায়, কত টাকার ৪ বছরের মুনাফা ১২০০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মুনাফা, I = ১২০০ টাকা
মুনাফার হার, r = (৫/২)% = ১/৪০ টাকা
সময়, n = ৪ বছর
আসল, P = ?

আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ P = I/rn
= ১২০০/(১/৪০) × ৪
= ১২০০ × ১০
= ১২০০০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ১৩ এবং গুণফল ৩৬। সংখ্যাদ্বয়ের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাদ্বয় a এবং b
শর্তমতে, a + b = ১৩ , ab = ৩৬ 

∴ সংখ্যাদ্বয়ের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি = (1/a) + (1/b) 
= (a + b)/(ab)
= ১৩/৩৬                     [মান বসিয়ে]

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y

প্রশ্নমতে,
x² + y² = ৮০
এবং (x - y)² = ১৬

এখন, 
(x - y)² = ১৬
⇒ x² - ২xy + y² = ১৬
⇒ x² + y² - ২xy = ১৬
⇒ ৮০ - ২xy = ১৬ [x² + y² = 80] 
⇒ ২xy = ৮০ - ১৬ = ৬৪
⇒ xy = ৩২

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ -এর মূলধন সমান কিন্তু গ -এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে? 

সমাধান: 
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ২০) = ২৮০
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০
বা, ৩x = ২৮০ + ২০
বা, ৩x = ৩০০
বা, x = ৩০০/৩
∴ x = ১০০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০)
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০)
= ১০০ : ১০০ : ৮০
= ৫ : ৫ : ৪
∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা
= ১৬ টাকা ।

প্রশ্ন: (3²)^{x - 1} = 81 হলে x = কত?

সমাধান:
(3²)^{x - 1} = 81
⇒ 3^{2(x - 1)} = 3⁴
⇒ 3^{2x - 2} = 3⁴
⇒ 2x - 2 = 4
⇒ 2x = 4 + 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 6/2
∴ x = 3

প্রশ্ন: A এর গতিবেগ B এর গতিবেগের দ্বিগুণ, আবার B এর গতিবেগ C এর গতিবেগের ৩ গুণ। যদি কোন পথ যেতে C এর ৪২ মিনিট সময় লাগে তবে উক্ত পথ যেতে A এর কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A এর গতিবেগ = ২ × B এর গতিবেগ
B এর গতিবেগ = ৩ × C এর গতিবেগ
সুতরাং,
A এর গতিবেগ = ২ × (৩ × C এর গতিবেগ) = ৬ × C এর গতিবেগ
অর্থাৎ A এর গতিবেগ C এর গতিবেগের ৬ গুণ।

আবার, একই পথ যেতে, C এর সময় = ৪২ মিনিট
যেহেতু গতিবেগ বেশি হলে সময় কম লাগে, এবং সময় গতিবেগের ব্যস্তানুপাতিক। 

∴ A এর সময় = C এর সময়​/৬ = ৪২/৬ = ৭ মিনিট

অতএব, উক্ত পথ যেতে A এর ৭ মিনিট সময় লাগবে।

ধরি, দৈর্ঘ্য = x m
তাহলে প্রস্থ = (x - 6) m
প্রশ্নমতে,
x(x - 6) = 160
বা, x² - 6x -160 = 0
বা, x² - 16x + 10x -160 = 0
বা, x(x - 16) + 10(x - 16) = 0
বা, (x - 16)(x + 10) = 0
কিন্তু x +10 ≠ 0
সুতরাং x -16 = 0
বা, x = 16 m

প্রশ্ন: 7 জন শিক্ষক ও 5 জন শিক্ষার্থীর মধ্য হতে কতভাবে 4 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 2 জন শিক্ষক ও 2 জন শিক্ষার্থী থাকবে?

সমাধান:
7 জন শিক্ষক থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁷C₂
= 7!/(2! × 5!)
= (7 × 6)/(2 × 1)
= 21

5 জন শিক্ষার্থী থেকে 2 জন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₂
= 5!/(2! × 3!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 21 × 10 = 210

y<7 হল সকল ঋণাত্মক সংখ্যা, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0≤x≤5 হল 1, 2, 3, 4, 5
∴ y = -1  x = 2 হলে xy = -2
y = 0 x = 2 হলে xy = 0
y = 3 x = 2 হলে xy = 6

প্রশ্ন: একজন দৌড়বিদ ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে দৌড়ালে ২.৫ কি.মি. দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার কত মিনিট সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গতিবেগ = ১০ মিটার/সেকেন্ড
দূরত্ব = ২.৫ কি.মি. = (২.৫ × ১০০০) মিটার = ২৫০০ মিটার

∴ গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
বা, সময় = দূরত্ব/গতিবেগ = (২৫০০/১০) সেকেন্ড = ২৫০ সেকেন্ড

আমরা জানি,
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট

এখন,
২৫০ সেকেন্ড = ৪ মিনিট + ১০ সেকেন্ড

অর্থাৎ, দৌড় সম্পূর্ণ করতে তার ৪ মিনিট ১০ সেকেন্ড সময় লাগবে।

প্রশ্ন: 'TIGER' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
TIGER শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে। যেখানে স্বরবর্ণ আছে E, I দুটি।
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট 3টি।

3টি বেজোড় স্থানে 2টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় ³P₂ = 6 উপায়ে
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি 3 ঘরে সাজানো যায় ³P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন: নিচের কোনটি q³ - 21q - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
এখানে,
q = 1 বসিয়ে পাই,
q³ - 21q - 20 = (-1)³ - 21 (-1) - 20
= -1 + 21 - 20
= 0

∴ (q + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। 
q³ - 21 - 20
= q³ + p² - q² - q - 20q - 20
= q²(q + 1) - q(q +1) - 20(q + 1)
= (q + 1) (q² - q - 20)

(3.2ⁿ – 8.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2^n-1)
(3.2ⁿ – 2³.2^n-2) ÷ (2ⁿ - 2ⁿ .2^-1)
(3.2ⁿ – 2^3+n-2) ÷ (2ⁿ (1 - 2^-1))
(3.2ⁿ – 2¹⁺ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(3.2ⁿ – 2¹ 2ⁿ) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ (3 – 2)) ÷ (2ⁿ (1 – 1/2))
(2ⁿ .1)÷ (2ⁿ .1/2)
1 ÷ 1/2 = 2

প্রশ্ন: P = {2, 3, 5}, Q = {4, 5} এবং R = P ∩ Q হলে, P × R নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 5}
∴ R = P ∩ Q = {2, 3, 5} ∩ {4, 5}
= {5}

∴ P × R = {2, 3, 5} × {5}
= {(2, 5), (3, 5), (5, 5)} 

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ২ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {২১ মি. + (২ + ২) মি.} = ২৫ মিটার 
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {১৫ মি. + (২ + ২) মি.} = ১৯ মিটার 
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৫ × ১৯) বর্গমিটার 
= ৪৭৫ বর্গমিটার

আবার, 
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার 
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৪৭৫ – ৩১৫) বর্গমিটার 
= ১৬০ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): ১ থেকে বড় যে সকল সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না এবং শুধুমাত্র দুটি উৎপাদক থাকবে তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

এখন, 
১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা আছে ২১টি। যথা
১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯, ১৪৯, ১৫১, ১৫৭, ১৬৩, ১৬৭, ১৭৩, ১৭৯, ১৮১, ১৯১, ১৯৩, ১৯৭, ১৯৯

ধরি,
আসল ক টাকা।
সুতরাং সুদাসল ৪ক টাকা।
সুদ = ৪ক - ক
= ৩ক
আমরা জানি,
সুদ = আসল × সময় × সুদের হার/১০০
সুদের হার = সুদ × ১০০/(আসল × সময়)
= ৩ক × ১০০/ক × ২৫
= ১২%

প্রশ্ন: ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে কী বলে? 

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।


চিত্রে G বিন্দুটি হলো ভরকেন্দ্র।

উল্লেখ্য,
• অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
• পরিকেন্দ্র (Circumcentre): ত্রিভুজের তিনটি বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে পরিকেন্দ্র বলা হয়।
• বহিঃকেন্দ্র: একটি ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক এবং অপর দুটি বহিঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: যে সরলরেখাটি y = 3x – 5 এর সমান্তরাল, তার ঢাল কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত সরলরেখা- 
y = 3x – 5 

আমরা জানি, 
সমান্তরাল রেখার ঢাল (slope) সদা সমান থাকে। 
y = mx + c আকারের সমীকরণে ঢাল  m দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

এখন, 
y = 3x – 5 সমীকরণের সাথে তুলনা করলে ঢাল পাওয়া যায়- 
ঢাল, m = 3 তাই সমান্তরাল রেখার ঢালও 3 ।

ধরি, সংখ্যাদ্বয় x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 199
⇒ x² + 2x + 1 - x² = 199
⇒ 2x = 199 - 1
⇒ x = 198/2 = 99

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে চিনি ও দুধের অনুপাত ৩ : ২। যদি মিশ্রণের মোট ওজন ৫০ কেজি হয়, তবে চিনির পরিমাণ কত কেজি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
চিনি ও দুধের অনুপাত ৩ : ২
অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ২ = ৫

∴ চিনির পরিমাণ = (৩/৫) × ৫০ = ৩০ কেজি