গাণিতিক যুক্তি

x² + 3 < 4x
বা, x² - 4x + 3 < 0
বা, x² - 3x - x + 3 < 0
বা, x(x-3) - 1(x-3) < 0
বা, (x-3)(x-1) < 0
∴ 1 < x < 3

ধরি, ক এর বেতন ৭x টাকা, খ এর বেতন ৫x টাকা এবং গ এর বেতন ৩x টাকা।
প্রশ্নমতে, ৫x - ৩x = ২২২
সুতরাং, x = ১১১ টাকা।
∴ ক এর বেতন ৭ × ১১১ = ৭৭৭ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 13 : 5 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি 180°।
ধরি, কোণ দুটি হলো 13x এবং 5x।

শর্তমতে,
13x + 5x = 180°
⇒ 18x = 180°
⇒ x = 180°/18
⇒ x = 10°
∴ প্রথম কোণটি = 13x = 13 × 10° = 130°
এবং দ্বিতীয় কোণটি = 5x = 5 × 10° = 50°
সুতরাং, কোণ দুটির পরিমাণ হলো 130° এবং 50°।

• দুটি কোণের সমষ্টি 180° হলে তাদেরকে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angles) বলা হয়।

প্রশ্ন: যদি A : B = ২ : ৩ এবং B : C = ৪ : ৫ হয়, তবে A : B : C কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A : B = ২ : ৩ = (২ × ৪) : (৩ × ৪) = ৮ : ১২ 
এবং 
B : C = ৪ : ৫ = (৪ × ৩) : (৫ × ৩) = ১২ : ১৫ 

সুতরাং, A : B : C = ৮ : ১২ : ১৫ 

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৭ : ২ । ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর 
পুত্রের বর্তমান বয়স = (৭৪ - x) বছর

আবার,
১০ বছর পূর্বে পিতার বর্তমান বয়স = (x - ১০) বছর 
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বর্তমান বয়স (৭৪ - x - ১০) বছর 

প্রশ্নমতে, 
(x - ১০) : (৭৪ - x - ১০) = ৭ : ২ 
⇒ (x - ১০)/(৬৪ - x) = ৭/২ 
⇒ ২x - ২০ = ৪৪৮ - ৭x 
⇒ ৭x + ২x = ৪৪৮ + ২০ 
⇒ ৯x = ৪৬৮ 
⇒ x = ৪৬৮/৯ 
∴ x = ৫২ 
সুতরাং, পিতার বর্তমান বয়স = ৫২ বছর 
পুত্রের বর্তমান বয়স = (৭৪ - x) বছর 
= (৭৪ - ৫২) বছর 
= ২২ বছর 

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে- 
(x + ১০) : {(৭৪ - x) + ১০} 
= (৫২ + ১০) : (২২ + ১০) 
= ৬২ : ৩২ 
= ৩১ : ১৬ ।

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ × ১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০ × ১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

প্রশ্ন: একটি জিনিস নির্মাতা ১০% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ২৫% লাভে বিক্রয় করে। যদি জিনিসটির নির্মাণ খরচ ২৪০ টাকা হয়, তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
১০% লাভে,
নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = ২৪০ + ২৪০ এর ১০%
= ২৪০ + ২৪ টাকা 
= ২৬৪ টাকা

আবার,
২৫% লাভে,
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য (২৬৪ + ২৬৪ এর ২৫%)
= ২৬৪ + ২৬৪ এর ২৫/১০০
= (২৬৪ + ৬৬)
= ৩৩০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সেনা ক্যাম্পে ৮ জন সৈনিকের ৬ দিনে ৪৮ লিটার পানি লাগে। যদি ঐ সেনা ক্যাম্পে ৪ জন নতুন সৈনিক আসে, তবে সব সৈনিকের জন্য ৯ দিনে কত লিটার পানি লাগবে?

সমাধান:
৪ জন সৈনিক নতুন আসায় মোট সৈনিক সংখ্যা হয় = ৮ + ৪ = ১২ জন

৮ জন সৈনিকের ৬ দিনে পানি লাগে = ৪৮ লিটার
∴ ১ জন সৈনিকের ১ দিনে পানি লাগে = ৪৮/(৮ × ৬) লিটার
∴ ১২ জন সৈনিকের ৯ দিনে পানি লাগবে = (৪৮ × ১২ × ৯)/(৮ × ৬) = ১০৮ লিটার

অতএব, ৯ দিনে সব সৈনিকের জন্য ১০৮ লিটার পানি লাগবে।

প্রশ্ন: 720 সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= (2 × 2) × (2×2) × (3 × 3) × 5

এখানে,
5 জোড়া বিহীন।
∴ 720 সংখ্যাকে 5 দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হচ্ছে - গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি লম্বের দ্বিগুণ অপেক্ষা ২ মিটার বেশি এবং অতিভুজ অপেক্ষা ১ মিটার কম। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
​সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = ক মিটার 
​ভূমি = ২ক + ২ মিটার 
​অতিভুজ = (২ক + ২) + ১ মিটার = ২ক + ৩ মিটার 
​
​পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
​অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
⇒ ​(২ক + ৩)^২ = ক^২ + (২ক + ২)^২ 
​⇒ ৪ক^২ + ১২ক + ৯ = ক^২ + ৪ক^২ + ৮ক + ৪
⇒ ​৪ক^২ + ১২ক + ৯ = ৫ক^২ + ৮ক + ৪
​⇒ ৫ক^২ - ৪ক^২ + ৮ক - ১২ক + ৪ - ৯ = ০
​⇒ ক^২ - ৪ক - ৫ = ০
⇒ ​ক^২ - ৫ক + ক - ৫ = ০
​⇒ ​ক(ক - ৫) + ১(ক - ৫) = ০
⇒ ​(ক - ৫)(ক + ১) = ০

​​হয়, ক - ৫ = ০ অথবা ক + ১ = ০
​হয়, ক = ৫ অথবা ক = - ১
​​কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। 
​ ​∴ ক = ৫
​
অর্থাৎ লম্ব = ৫ মিটার 
∴ ​অতিভুজ = (২ × ৫ + ৩) মিটার = (১০ + ৩) মিটার = ১৩ মিটার 

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x/2 - x/3 = 18
বা, (3x - 2x)/6 = 18
সুতরাং, x = 108

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² বর্গ একক
= π × 9r² বর্গ একক
= 9 × πr² বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

৭% লাভে,
১০৭ টাকা বিক্রয় মূল্যে ক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা
৫৩৫ টাকা বিক্রয় মূল্যে ক্রয় মূল্য = (১০০×৫৩৫)/১০৭
= ৫০০ টাকা
∴ ২০% ক্ষতিতে বইটির বিক্রয়মূল্য = (৮০×৫০০)/১০০
= ৪০০ টাকা

ΔABC এ AD একটি মধ্যমা G এর ভরকেন্দ্র, AG = 6 সে.মি হলে, DG = কত সে.মি?



আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
এখানে, ΔABC এ AD একটি মধ্যমা G তাহার ভরকেন্দ্র।
ধরি, AG = 2x এবং DG = x
2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

প্রশ্ন: রাফি ও সাফি একটি কাজ যথাক্রমে ৬ দিনে ও ১২ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রাফি ১ দিনে করে = ১/৬ অংশ
সাফি ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ

দুই জনে একত্রে ১ দিনে করে = (১/৬ + ১/১২) অংশ
= (২ + ১)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

∴ দুই জনে একত্রে ১/৪ অংশ কাজ করে ১ দিনে
∴ দুই জনে একত্রে সম্পূর্ণ (১ অংশ) কাজ করে (১ × ৪) দিনে
= ৪ দিনে

∴ তারা একত্রে কাজটি ৪ দিনে করতে পারবে।

প্রশ্ন: একটি নৌকা একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব স্রোতের দিকে যেতে ৬ ঘণ্টা এবং একই দূরত্ব স্রোতের বিপরীতে যেতে ১০ ঘণ্টা সময় নেয়। যদি স্রোতের গতিবেগ ৩ কিমি/ঘণ্টা হয়, তবে স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ = 'a' কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের দিকে গতি = a + ৩ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বিপরীতে গতি = a - ৩ কিমি/ঘণ্টা

∴ দূরত্ব = গতি × সময়

প্রশ্নমতে,
৬(a + ৩) = ১০(a - ৩)
বা, ৬a + ১৮ = ১০a - ৩০
বা, ১০a - ৬a = ১৮ + ৩০
বা, ৪a = ৪৮
∴ a = ১২ কিমি/ঘণ্টা

∴ স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ = ১২ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ২০ কি.মি ও ৫ কি.মি । স্রোতের অনুকূলে ৭৫ কি.মি পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ২০ কি.মি/ঘণ্টা 
স্রোতের বেগ = ৫ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (২০ + ৫) = ২৫ কি.মি/ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (২০ - ৫) = ১৫ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ ৭৫ কি.মি পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৭৫/২৫ = ৩ ঘণ্টা 

এবং 
৭৫ কি.মি পথ পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৭৫/১৫ = ৫ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৫ = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক সুদের হার ৭ টাকা হলে ৬৫০ টাকার ৬ বছরের সুদ কত? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৭ টাকা 
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৭/১০০ টাকা 
∴ ৬৫০ টাকার ৬ বছরের সুদ = (৭ × ৬৫০ × ৬) /১০০ টাকা 
= ২৭৩ টাকা 

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ........................................ ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 6
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1
সুতরাং, a = 1, b = 1.

১৯ সংখ্যার অংকগুলো স্থান বিনিময় করলে ৯১ হয়
যেখানে,
১৯ + ৭২ = ৯১ এবং
৯ - ১ = ৮
∴ সংখ্যাটি ১৯

7000 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি 5 অথবা 6 দ্বারা পূর্ণ করতে হবে যা ²p₁ = 2 উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।
অবশিষ্ট 3টি অংক 3! = 6 উপায়ে পূর্ণ করা যায়
∴ 7000 থেকে ছোট সংখ্যা = 2 × 6
= 12 টি

z^c = x
(y^b)^c = x [z = y^b]
(x^a)^bc = x
x^abc = x¹
abc = 1

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পানির ট্যাংকে ৩৬০০০ লিটার পানি ধরে। যদি ট্যাংকের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ২ মিটার হয়, তবে  ট্যাংকের গভীরতা কত মিটার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১০০০ লিটার = ১ ঘনমিটার
৩৬০০০ লিটার = ৩৬ ঘনমিটার

আবার,
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা

∴ গভীরতা = আয়তন/(দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= ৩৬/(৬ × ২)
= ৩৬/১২
= ৩ মিটার

∴ ট্যাংকের গভীরতা ৩ মিটার।