গাণিতিক যুক্তি

পরিসরের সংজ্ঞানুসারে।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 108 বর্গমিটার এবং একটি কর্ণ 12 মিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল সূত্র:
ক্ষেত্রফল = 1/2 × d₁ × d₂
​যেখানে d₁, d₂​ হলো রম্বসের কর্ণদ্বয়।

প্রদত্ত:
ক্ষেত্রফল = 108, d₁ = 12
অতএব, অপর কর্ণ:
108 = 1/2 × 12 × d₂​
d₂ = 108/6 
d₂ = 18 মিটার

∴ অপর কর্ণ = ১৮ মিটার

প্রশ্ন: ২০ বৎসর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ ছিল। ৪ বৎসর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বর্তমানে পিতার বয়স = x বৎসর 
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স = y বৎসর 
প্রথম শর্তানুসারে, x - ২০ = ৪(y - ২০) ........ (1) 
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, x + ৪ = ২(y + ৪) ............ (2) 

(1) নং হতে পাই, 
x = ২০ + ৪y - ৮০ 
বা, x = ৪y - ৬০ ..........(3) 

x-এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
৪y - ৬০ + ৪ = ২(y + ৪) 
বা, ৪y - ৫৬ = ২y + ৮ 
বা, ৪y - ২y = ৫৬ + ৮ 
বা, ২y = ৬৪
বা, y = ৬৪/২
∴ y = ৩২

y-এর মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x = ৪ × ৩২ - ৬০
= ১২৮ - ৬০
∴ x = ৬৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬৮ বৎসর।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে 40 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 25 জন ইংরেজি এবং 20 জন বাংলা পড়তে পারে। যদি 10 জন ছাত্র উভয় ভাষাই পড়তে পারে, তবে কতজন ছাত্র ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ∣
ইংরেজি পড়তে পারে, ।E।  = 25
বাংলা পড়তে পারে, ।B।  = 20
এবং উভয় ভাষাই পড়তে পারে ।E ∩ B।  = 10

∴ ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা হলো,
।E ∪ B। = ।E। + ।B। - ।E ∩ B।
= 25 + 20 - 10
= 35

ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে পারে না = মোট ছাত্র - (ইংরেজি অথবা বাংলা পড়তে পারা ছাত্রদের সংখ্যা)
= 40 - 35
= 5

সুতরাং, ইংরেজি বা বাংলা কোনোটিই পড়তে না পারা ছাত্রের সংখ্যা = 5 জন

প্রশ্ন: একটি ভেড়া ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ভেড়াটি আরও ১২০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ৮% লাভ হতো। ভেড়াটির ক্রয়মূল্য নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ভেড়াটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, ৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ৮) টাকা
= ৯২ টাকা।

আবার, ৮% লাভে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৮) টাকা
= ১০৮ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি হয় (১০৮ - ৯২) টাকা 
= ১৬ টাকা।

∴ বিক্রয়মূল্য ১৬ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য (১০০/১৬) টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১২০০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য {(১০০ × ১২০০)/১৬} টাকা
= ৭৫০০ টাকা

∴ ভেড়াটির ক্রয়মূল্য ৭৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y

তাহলে,
১২x - ১২y = ৬০
∴ ১২(x - y) = ৬০
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২xy
∴ ১২xy = ২৪৪৮
⇒ xy = ২৪৪৮/১২
⇒ xy = ২০৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২০৪
= ২৫ + ৮১৬
= ৮৪১

⇒ x + y = ২৯ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৪
⇒ x = ১৭

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৪
⇒ y = ১২

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১২ × ১৭ এবং ১২ × ১২
= ২০৪ ও ১৪৪

প্রশ্ন:

সমাধান:

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×5² : π×4²
= 25 : 16

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৩ অংশ কাদায়, ১/৪ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।
কাদায় আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার
পানিতে আছে = ক এর ১/৪ = ক/৪ মিটার

∴ খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (ক/৩ + ক/৪) মিটার
= (৪ + ৩)/১২  মিটার
= ৭ক/১২ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (৭ক/১২) মিটার
= (১২ক - ৭ক)/১২  মিটার
= ৫ক/১২ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ ১০ মিটার।
∴ ৫ক/১২ = ১০
⇒ ৫ক = ১০ × ১২
⇒ ৫ক = ১২০
⇒ ক = ২৪

∴ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার।

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a²+ b²+ c² = 14 , ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 6 
a² + b²+ c² = 14

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 6² = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 36 - 14
বা, 2(ab + bc + ca) = 22
বা, ab + bc + ca = 22/2
∴ ab + bc + ca = 11

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের গতি যথাক্রমে ঘণ্টায় ১২ ও ৬ কিলোমিটার। স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নৌকার গতি (স্থির জলে) = ১২ কিলোমিটার/ঘণ্টা 
স্রোতের গতি = ৬ কিলোমিটার/ঘণ্টা 
পথের দৈর্ঘ্য = ৪৮ কিলোমিটার

আমরা জানি, 
প্রতিকূলে গতি = নৌকার গতি - স্রোতের গতি
= ১২ - ৬
= ৬ কিমি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির সময় লাগবে = ৪৮/৬ ঘণ্টা 
= ৮ ঘণ্টা। 

সুতরাং, স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে নৌকাটির ৮ ঘণ্টা সময় লাগবে।

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24…... ধারাটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ × r^{n - 1}
প্রথম পদ a₁ = 3,
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

৭ম পদ a_7​:
a₇ = 3 × 2^7-1
= 3 × 2⁶
= 3 × 64
= 192

∴ সপ্তম পদ = 192

cosec²θ - cot²θ = (cosecθ + cotθ) (cosecθ - cotθ)
বা, 1 = (cosecθ + cotθ) 1/2
∴ cosecθ + cotθ = 2

সুষম বহুভূজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = 360°

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় ৪ কি.মি. বেগে দৌড়ালে, তিনি ২৮০০ মিটার অতিক্রম করতে কত মিনিট সময় নেবেন?
​
​সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি.মি. = ১০০০ মিটার
৪ কি.মি. = (৪ × ১০০০) মিটার
= ৪০০০ মিটার

৪০০০ মিটার পথ যায় = ৬০ মিনিটে
১ মিটার পথ যায় = ৬০/৪০০০ মিনিটে
২৮০০ মিটার পথ যায় = (৬০ × ২৮০০)/৪০০০ মিনিটে
= ৪২ মিনিটে

প্রশ্ন: মুনাফা ১২% থেকে হ্রাস পেয়ে ৮% হলে কত টাকার বার্ষিক মুনাফা ৫০০ টাকা হ্রাস পাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
I = pnr
বা, p = I / (nr)
বা, p = ৫০০ / {(১২ - ৮)% × ১}
বা, p = ৫০০ / ৪%
বা, p = ৫০০ / (৪/১০০)
বা, p = (৫০০ × ১০০) / ৪

∴ আসল = ১২৫০০ টাকা

ধরি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = x
প্রশ্নমতে,
x(x+15) = 4500
⇒ x² + 15x - 4500 = 0
⇒ x² + 75x - 60x - 4500 = 0
⇒ x(x+75) - 60(x+75) = 0
⇒ (x+75)(x-60) = 0
∴ x = 60 [x = -75 গ্রহণযোগ্য নয়]

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে ১৮ জন অতিথি আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ^১৮C_২
= ১৮!/২!(১৮ - ২)!
= (১৮ × ১৭ × ১৬!)/(২ × ১৬!)
= ৯ × ১৭
= ১৫৩

প্রদত্ত সংখ্য = যোগফল – Given number
= y/x - x/y = (y² – x²)/xy

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.25 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
log₁₆x = 0.25 
∴ x = 16^0.25
বা, x = (2⁴)^1/4
∴ x = 2 

x² - {a + (1/a)}x + 1
= x² - ax - x/a + 1
= x(x - a) - 1/a (x - a)
= (x - 1) (x - 1/a)

ধরি, অভির বর্তমান আয় = ১০০ টাকা
∴ ব্যায় = ৬০ টাকা এবং
সঞ্চয় = ৪০ টাকা
৩২% বৃদ্ধিতে নতুন আয় = ১৩২ টাকা
নতুন ব্যায় = ৬০+(৬০ এর ২০%) = ৭২ টাকা
∴ নতুন সঞ্চয় = ১৩২ - ৭২ = ৬০ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ৬০ - ৪০ = ২০ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধির হার = (২০×১০০)/৪০ = ৫০%

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৬ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে, কোণকটির আয়তন কত ঘন সে. মি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ভূমি বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৬ সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = ৭ সে.মি.

আমরা জানি, 
কোণকের আয়তন, V = (১/৩)πr²h
= (১/৩) × (২২/৭) × ৬২ × ৭ 
= (১/৩) × (২২/৭) × ৩৬ × ৭
= ২২ × ১২ 
= ২৬৪ 

অতএব, কোণকটির আয়তন ২৬৪ ঘন সে.মি.। 

৩ এবং ৪ এর লসাগু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ ✕ ১০ = ১২০ মিটার

প্রশ্ন: (4x - 3, 6) = (13, 3y + 3) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(4x - 3, 6) = (13, 3y + 3)

অতএব, 
4x - 3 = 13
⇒ 4x = 13 + 3
⇒ 4x = 16
⇒ x = 4

এবং,
3y + 3 = 6
⇒ 3y = 6 - 3
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

∴ (x, y) = (4, 1)

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস 14 সে.মি. এবং তীর্যক উচ্চতা 12 সে.মি. হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 14 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 12 cm

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 12
= 22 × 12
= 264 বর্গসে.মি.

সুতরাং, কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 264 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি 3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
3^2√x + 3^2√x + 3^2√x = 9^{√(x + 1)} 
⇒ 3^2√x(1 + 1 + 1) = (3²)^{√(x + 1)}
⇒ 3^2√x × 3 = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 3^{2√x + 1} = 3^{2√(x + 1)}
⇒ 2√x + 1 = 2√(x + 1)
⇒ (2√x + 1)² = {2√(x + 1)}²  ; [বর্গ করে পাই]
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4(x + 1)
⇒ 4x + 4√x + 1 = 4x + 4
⇒ 4√x = 3
⇒ √x = 3/4
⇒ (√x)² = (3/4)²    ; [বর্গ করে পাই]
∴ x = 9/16

ধরি,
রাজশাহীর দূরত্ব = x km
∴ ক এর সময় লাগে= x/১০ ঘন্টা
= ৬০x/১০ মিনিট
= ৬x মিনিট।
খ এর সময় লাগে = x/15 ঘন্টা
= ৬০x/১৫ মিনিট
= ৪x মিনিট।
সময় ব্যাবধান = ১১.১০ − ১০.১০ = ৬০ মিনিট
∴ ৬x − ৬০ = ৪x
বা, ২x = ৬০
∴ x = ৩০ কি.মি.
অর্থাৎ, রওয়ানা হওয়ার স্থান থেকে রাজশাহীর দুরত্ব ৩০ কি.মি.

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গ তার বর্গমূলের চেয়ে ৭৮ বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক 

শর্তমতে,
ক^২ = √ক + ৭৮ 

এখন, যদি আমরা অপশন মেলাই তাহলে কেবল ৯ দ্বারাই শর্ত মিলে। অর্থাৎ,
⇒ ৯^২ = √৯ + ৭৮
⇒ ৮১ = ৩ + ৭৮ 
∴ ৮১ = ৮১ 

অন্য অপশনগুলো শর্ত সিদ্ধ করে না। 

সুতরাং, সঠিক উত্তর ৯। 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য ২০ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটির দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি. ও ৩০ সে.মি.
উচ্চতা = ৮ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহু দুটির সমষ্টি) × উচ্চতা
= (১/২) × (২০ + ৩০) × ৮
= (১/২) × ৫০ × ৮
= ৫০ × ৪ 
= ২০০ 

∴ ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল ২০০ বর্গসে.মি.।

মনেকরি, ক্রয়মুল্য ৪a টাকা
∴ বিক্রয়মুল্য ৪a এর ৫/৪ = ৫a টাকা
∴ লাভ = ৫a - ৪a = a টাকা
∴ লাভের হার = (a×১০০)/৪a = ২৫%

প্রশ্ন: যদি - 7, x, y, z, 29 একটি সমান্তর অনুক্রম গঠন করে, তবে x এবং z এর মান যথাক্রমে কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = - 7
মোট পদের সংখ্যা, n = 5
ধরি, সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, ধারাটির 5ম পদ = 29
⇒ a + (5 - 1)d = 29
⇒ - 7 + 4d = 29
⇒ 4d = 29 + 7
⇒ 4d = 36
∴ d = 9

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ, x = a + (2 - 1)d = - 7 + 9
= 2

∴ ধারাটির চতুর্থ পদ, z = a + (4 - 1)d = - 7 + 3(9) = - 7 + 27
= 20

প্রশ্ন: ১৬০০ বর্গফুট মাঠের চারপাশের ২ ফুট রাস্তায় ১.৫ বর্গফুটের কয়টি ট্যালি বসবে?

দেওয়া আছে:
মাঠের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গফুট
চারপাশের রাস্তার প্রস্থ = ২ ফুট
একটি টাইলের ক্ষেত্রফল = ১.৫ বর্গফুট

ধরি মাঠ বর্গক্ষেত্র:
বাহু = √১৬০০ = ৪০ ফুট
চারপাশে রাস্তা যোগ করলে নতুন বাহু = ৪০ + ২ + ২ = ৪৪ ফুট

নতুন ক্ষেত্রফল = ৪৪ × ৪৪ = ১৯৩৬ বর্গফুট
রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৯৩৬ - ১৬০০ = ৩৩৬ বর্গফুট
তাহলে,
ট্যালি বসবে = ৩৩৬ / ১.৫ = ২২৪ 

∴ট্যালি বসবে = ২২৪ টি 

নোটঃ প্রশ্নে শুধু মাঠের ক্ষেত্রফল বলা আছে তাই বাহুর সাথে ৪০ + ৪ যোগ করা হয়েছে, যদি রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল বলা হত তাহলে ৪০ - ৪ হত।