গাণিতিক যুক্তি

a²x + b = 0 সমীকরণের x এর সর্বোচ্চ ঘাত = 1
∴ সমীকরণের ঘাত = 1

প্রশ্ন: 80 + 74 + 68 + …… - 16 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 80
সাধারণ অন্তর, d = 74 - 80 = - 6
প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 16
⇒ 80 + (n - 1)(- 6) = - 16
⇒ 80 - 6n + 6 = - 16
⇒ 86 - 6n = - 16
⇒ 6n = 86 + 16
⇒ 6n = 102
⇒ n = 102/6
∴ n = 17

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (n - 1)d}
= (17/2){2 × 80 + (17 - 1)(-6)}
= (17/2){160 + (- 96)}
= (17/2)(160 - 96)
= (17/2) × 64
= 17 × 32
= 544

2 + tan²θ = 5
বা, tan²θ = 3
বা, tanθ = √3
= tan60°
∴ θ = 60°

প্রথম 6 জন থেকে 4 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄
= 6!/(4! × 2!)
= 15 উপায়ে।

পরের 9 জন থেকে 7 জন নিয়ে টিম গঠন করা যাবে = ⁹C₇
= 9!/(7! × 2!)
= 36 উপায়ে।

টিম গঠন করা যাবে = ⁶C₄ × ⁹C₇
= 15×36
= 540 উপায়ে।

প্রশ্নমতে, ২x/৩ - x/৩ = ১৭০০
বা, (২x - x)/৩ = ১৭০০
∴ x = ৫১০০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 45 এবং বর্গের যোগফল 106। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেওয়া আছে, xy = 45 এবং x² + y² = 106

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
 ⇒ (x + y)² = 106 + 2 × 45
 ⇒ (x + y)² = 106 + 90
 ⇒ (x + y)² = 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14

∴ সংখ্যা দুইটির যোগফল = 14

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
আসল, P = ৮০০
মুনাফার হার, r = ১০% = ১০/১০০ = ১/১০ 
সময়, n = ২ বছর 

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৮০০ × {১ + (১/১০)}^২
= ৮০০ × (১১/১০)^২
= ৮০০ × (১২১/১০০)
= ৮০০ × ১.২১ 
= ৯৬৮ 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৯৬৮ । 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 10√2​ একক হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2

প্রশ্নমতে,
a√2 = 10√2
⇒ a = (10√2)/√2 
∴ a = 10

∴ ক্ষেত্রফল = a²
= 10²
= 100 বর্গ একক

a⁸ + 1/a⁸ + 2 . a⁴ . 1/a⁴
= (a⁴ + 1/a⁴)² যা পূর্ণবর্গ

প্রশ্ন: যদি a³ + b³ = 341 এবং a + b = 11 হয় তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a³ + b³ = 341 এবং a + b = 11

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
⇒ 341 = 11³ - 3ab × 11
⇒ 341 = 1331 - 33ab
⇒ 33ab = 1331 - 341
⇒ 33ab = 990
⇒ ab = 990/33
∴ ab = 30

প্রশ্ন: । 2a + 4। < 8 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2a + 4। < 8
⇒ - 8 < 2a + 4 < 8
⇒ - 8 - 4 < 2a + 4 - 4 < 8 - 4
⇒ - 12 < 2a < 4
⇒ - 6 < a < 2

ধরি, অপর বাহুদ্বয় ৫x, ১২x ∴ (৫x)^২ + (১২x)^২ = ৬৫^২
বা, ২৫x^২ + ১৪৪x² = ৬৫ × ৬৫
বা, ১৬৯x^২ = ৬৫ × ৬৫
বা, x² = ৬৫ × ৬৫ / ১৬৯ = ২৫ ∴ x = ৫
 ∴ অপর বাহুদ্বয় = ২৫, ৬০

ব্যাগটিতে,
সাদা বল সংখ্যা = 4টি
কালো বল সংখ্যা = 5টি
মোট বল সংখ্যা = 9টি

বলগুলো ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা
= {(⁴c₂ × ⁵c₁)/⁹c₃}+ {(⁴c₁ × ⁵c₂)/⁹c₃}
= {(6 × 5)/84} + {(4 × 10)/84}
= (30 + 40)/84
= 70/84
= 5/6

সুদাসল = ১৬২০ টাকা
আসল = ১৩৫০ টাকা
সুদ = ২৭০ টাকা
আমরা জানি,
সময় = (১০০× সুদ)/(আসল×হার)
=(১০০ × ২৭০)/(১৩৫০ × ১০)
= ২ বছর
∴বার্ষিক ১০% হার সুদে ১৩৫০ টাকা ২ বছরে সুদে-আসলে ১৬২০ টাকা হবে।

প্রশ্ন: একটি কোণের দ্বিগুণ ৬০° হলে তার পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, কোণটি = ক

প্রশ্নমতে,
২ক = ৬০°
বা, ক = ৩০°

আমরা জানি, দুটি কোণ পরস্পর পূরক হলে তাদের সমষ্টি = ৯০°

অতএব, ৩০° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩০° = ৬০°

প্রশ্ন: ৮ টি সংখ্যার গড় ৪৫। এর সাথে ৪ টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৪ টির গড় ৩০। সমষ্টিগত ভাবে ১২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 ৮টি সংখ্যার গড় ৪৫
∴ ৮ টি সংখ্যার সমষ্টি (৪৫ × ৮) = ৩৬০

এবং
৪ টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ৩০) = ১২০

∴ (৮ + ৪) বা ১২ টি সংখ্যার সমষ্টি = (৩৬০ + ১২০) = ৪৮০

∴ ১২ টি সংখ্যার গড় = (৪৮০/১২) = ৪০

প্রশ্ন: log₈x = 25 এবং log₂y = 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
log₈x = 25 এবং log₂y=5
⇒ x = 8²⁵ এবং y = 2⁵
⇒ x = (2³)²⁵ এবং y = 2⁵ 
⇒ x = 2⁷⁵ এবং y = 2⁵ 
⇒ x = (2⁵)¹⁵ এবং y = 2⁵
 x = y¹⁵

আমরা জানি,
রম্বসের দুটি কর্ণ d₁ এবং d₂ হলে এর ক্ষেত্রফল (½) × d1 × d2

ধরি,
রম্বসটির ক্ষুদ্রতম কর্ণের দৈর্ঘ্য x মিটার,
বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2x মিটার

রম্বসটির ক্ষেত্রফল = (1/2) × x × 2x
= x²

শর্তমতে,
x² = 64
বা, x = 8

তাহলে বৃহত্তম কর্ণের দৈর্ঘ্য 2 × 8 মিটার
= 16 মিটার

3^{2x - 3} = 27^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = (3³)^{3x + 6}
বা, 3^{2x - 3} = 3^{9x + 18}
বা, 2x - 3 = 9x + 18
বা, 7x = -21
∴ x = -3

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ১৫ কি.মি. গিয়ে এবং প্রতিকূলে ৩ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড় গতিবেগ কত?

সমাধান: 
মোট সময় = (২ + ৩) ঘণ্টা = ৫ ঘণ্টা
মোট দূরত্ব = (১৫ + ১৫) কি.মি. = ৩০ কি.মি. 

∴ ঘণ্টায় গড় গতিবেগ = (৩০/৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব = a
∴ অতিভূজ = a√২
ক্ষেত্রফল = ১/২ × a × a = ৬৪
বা, a² = ১২৮
বা, a = √১২৮ = ৮√২
∴ অতিভূজ = a√২
= ৮√২ × √২
= ১৬ cm

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:
৫/৬ = ০.৮৩৩...
৩/৫ = ০.৬
৭/৯ = ০.৭৭৭...
১১/১৫ = ০.৭৩৩...

তুলনা করলে পাই,
০.৮৩৩ > ০.৭৭৭ > ০.৭৩৩ > ০.৬
অর্থাৎ, ৫/৬ > ৭/৯ > ১১/১৫ > ৩/৫

∴ ৫/৬ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

∫x^-1 dx
=∫1/x dx
= ln |x| + c

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৪৫ মিনিটে এক শহর থেকে আরেক শহরে পৌঁছায়। দুটি শহরের দূরত্ব ৬০ মাইল হলে, ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দূরত্ব = ৬০ মাইল
সময় = ৪৫ মিনিট = (৪৫/৬০) ঘণ্টা
= ৩/৪ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= ৬০/(৩/৪)
= ৬০ × (৪/৩)
= (৬০ × ৪)/৩
= ৮০ মাইল প্রতি ঘণ্টা

সুতরাং, ট্রেনটির গড় গতিবেগ ৮০ মাইল প্রতি ঘণ্টা।

প্রশ্ন: বাঁশের ৪/৯ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং বাকি ১০ মিটার পানির উপরে। বাঁশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

কাদায় ও পানিতে আছে= {(৪ক/৯) + (ক/৩)} অংশ
= {(৪ক + ৩ক)/৯} অংশ
= ৭ক/৯ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৭ক/৯)
= (৯ক - ৭ক)/৯ অংশ
= ২ক/৯ অংশ

প্রশ্নমতে,
২ক/৯ = ১০ মিটার
⇒ ২ক = ৯ × ১০ 
⇒ ২ক = ৯০
⇒  ক = ৯০/২ 
⇒  ক = ৪৫

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ৪৫ মিটার

প্রথম পদ a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৪
nতম পদ = ১৬১
∴ a + (n - ১)d = ১৬১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ১৬১
বা, ৫ + ৪n - ৪ = ১৬১
বা, ৪n = ১৬০
∴ n = ৪০

প্রশ্ন: ৩৪৩ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৩৪৩ = ৭ × ৭ × ৭ = ৭^৩

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ৭ এর ঘাত ৩ (বিজোড়)।
তাই ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ৩৪৩ × ৭ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: ৩ দিনে একটি কাজের ১/৯ অংশ শেষ হয়। তাহলে ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১/৯ অংশ কাজ করে ৩ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (৯ × ৩) দিনে
= ২৭ দিনে।

সুতরাং, তিন গুণ কাজ করে = (২৭ × ৩) দিনে
= ৮১ দিনে

প্রশ্ন: (x + 5) + 8 = 4(x + 1) হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x + 5) + 8 = 4(x + 1)
⇒ x + 13 = 4x + 4
⇒ 4x - x = 13 - 4
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ৩টির সমষ্টি কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2(a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী।

প্রশ্ন:

সমাধান: