গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: যদি g(x) = 2x + 5 এবং g(3b) = g(b + 2) হয়, তবে g(b) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(x) = 2x + 5
এবং
g(3b) = g(b + 2)

∴ g(3b) = 2 × 3b + 5
= 6b + 5

g(b + 2) = 2(b + 2) + 5
= 2b + 4 + 5
= 2b + 9

প্রশ্নমতে,
6b + 5 = 2b + 9
⇒ 6b - 2b = 9 - 5
⇒ 4b = 4
⇒ b = 4/4
⇒ b = 1

∴ g(1) = 2 × 1+5
= 2 + 5
= 7

বৃত্তের ব্যাস = বৃহত্তম জ্যা = 14 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = 7 মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 7²
= 49π বর্গমিঃ

দেওয়া আছে, পরপর 10টি সংখ্যার প্রথম 5টির যোগফল 550
সুতরাং গড় = 550 ÷ 5 = 110
সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো 108, 109 110, 111, 112, (যেহেতু বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড় সর্বদা মধ্যম সংখ্যা)।
অতএব, পরবর্তী 5টি সংখ্যার যোগফল = 113 + 114 + 115 + 116 + 117 = 575।

প্রশ্ন: DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোন 4টি অক্ষর নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
’DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা- 
(i) 4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= ⁴C₄ = 1
(ii) 2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = ²C₂ × ³C₂ = 1 × 3 = 3
(II) 3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = ³C₃ × ³C₁ = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

৮ কে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।
৮^২ = ৬৪ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪।

প্রশ্ন: a² - b² + 8b - 16 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = a² - b² + 8b - 16
= a² - (b² - 8b + 16)
= a² - (b - 4)²
= (a + b - 4)(a - b + 4)

প্রশ্ন: 3 - 5 - 13 - 21 - ........... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ ‍a = 3
সাধারণ অনুপাত d = (- 5 - 3) = - 8
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 

আমরা জানি,
 n তম পদ = {a + (n - 1) d}
∴ 10 তম পদ = {3 + (10 - 1) × (- 8)}
= {3 + 9 × (- 8)}
= 3 - 72
= - 69

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ২৫ টাকা সুদে ৭২০ টাকার ৪ মাসের সরল সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সময় = ৪ মাস = ৪/১২ বছর = ১/৩ বছর
আসল = ৭২০ টাকা
সুদের হার = ২৫%
সুদ = ?

আমরা জানি,
সরল সুদ,
= (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
= {৭২০ × (১/৩) × ২৫}/১০০
= (২৪০ × ২৫)/১০০
= ৬০ টাকা

এখানে, এক বাহু AD = 13 cm
AO = 1/2AC = 1/2 × 24 = 12 cm [যেহেতু, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]

∴ ∠AOD = 90°
∴ AD² = AO² + OD²
⇒ OD = √(AD² - AO²)
⇒ OD = √(13² - 12²)
⇒ OD = √(25)
∴ OD = 5 cm
অপর কর্ণ BD = 2 × OD = 2 × 5 = 10 cm

৮ জন ছাত্র-ছাত্রীর মোট বয়স = (৮ × ৮) = ৬৪ বছর
শিক্ষকসহ ৮ জন ছাত্র-ছাত্রীর মোট বয়স = {৯×(৮+৭)} = ১৩৫ বছর।
∴ শিক্ষকের বয়স = ১৩৫ - ৬৪ = ৭১ বছর।

প্রশ্ন: ৬৫৫৯ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
এখানে,
৮১ × ৮১ = ৬৫৬১ 
প্রদত্ত সংখ্যা = ৬৫৫৯
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৬৫৬১ - ৬৫৫৩) = ২

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ৩৬০ টাকা নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। ক ও খ-এর মূলধন সমান, কিন্তু গ-এর মূলধন ৩০ টাকা বেশি। মোট ৭২ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা 
∴ গ-এর মূলধন = (x + ৩০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x + ৩০) = ৩৬০
⇒ ৩x + ৩০ = ৩৬০
⇒ ৩x = ৩৩০
⇒ x = ১১০

∴ ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x + ৩০)
= ১১০ : ১১০ : ১৪০
= ১১ : ১১ : ১৪

∴ অনুপাতের রাশিগুলোর সমষ্টি = ১১ + ১১ + ১৪
= ৩৬

∴ গ-এর লাভ = (৭২ এর ১৪/৩৬) টাকা
= ২৮ টাকা

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 199
⇒ x²+2x+1-x² = 199
⇒ 2x = 198
∴ x = 99
∴ (x+1) = 100

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
∴ ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

প্রশ্ন: a + c = 9 এবং a² + c² = 45 হলে, a³ + c³ এর মান কত?

সমাধান:
a² + c² = 45
⇒ (a + c)² - 2ac = 45
⇒ 9² - 2ac = 45
⇒ 81 - 2ac = 45
⇒ - 2ac = 45 - 81
⇒ - 2ac = - 36
∴ ac = 18

এখন,
a³ + c³ = (a + c)³ - 3ac(a + c)
= 9³ - 3 × 18 × 9
= 729 - 54 × 9
= 729 - 486
= 243

∴ a³ + c³ এর মান 243 

প্রশ্ন: P + 3/P = 5 হলে, P⁶ - 80P³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P + 3/P = 5
⇒ (P + 3/P)³ = 5³
⇒ P³ + (3/P)³ + 3 × P × 3/P × (P + 3/P) = 125
⇒ P³ + (27/P³) + 9 × 5 = 125
⇒ P³ + (27/P³) + 45 = 125
⇒ P³ + (27/P³) = 125 - 45
⇒ P³ + (27/P³) = 80
⇒ P⁶ + 27 = 80P³
∴ P⁶ - 80P³ = - 27

ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
= মোট ৬ টি
১২ এর গুণনিয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬}
= মোট ৫ টি
∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

প্রশ্ন: সোনালী ব্যাংকে আরিফ নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন। জমাকৃত টাকা সরল মুনাফায় ৪ বছরে আসলের ৩/২ অংশ হয়। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
আসল = P হলে, 
অর্থাৎ, আরিফ সোনালী ব্যাংকে P পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন। 

মুনাফা, I = মুনাফা সহ আসল - আসল 
বা, I = আসলের ৩/২ অংশ - আসল 
বা, I = P × (৩/২) - P
বা, I = (৩P/২) - P
বা, I = (৩P - ২P)/২
বা, I = P/২

আমরা জানি, 
মুনাফা, I = Pnr/১০০ 
বা, P/২ = (P × ৪ × r)/১০০ 
বা, ১/২ = (৪ × r)/১০০
বা, ১/২ = r/২৫
বা, r = ২৫/২
∴ r = ১২.৫%

অর্থাৎ মুনাফার হার = ১২.৫%

2/x = 8
বা, 2/8 = x
∴ x = 1/4

3/y = 9
বা, 3/9 = y
∴ y = 1/3

∴ y - x
= 1/3 - 1/4
= (4 - 3)/12
= 1/12
∴ 1/(y - x) = 12

প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৫৬° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, ∠B = ৫৬° এবং AB = AC 
∴ ∠B = ∠C = ৫৬°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

প্রশ্নমতে,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠A + ৫৬° + ৫৬° = ১৮০°
⇒ ∠A + ১১২° = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০° - ১১২° = ৬৮°
∴ ∠A = ৬৮°

পূর্ণ সংখ্যা (Integers): 
শূন্য সহ সকল ধনাত্বক ও ঋণাত্বক অখণ্ড সংখ্যা সমূহকে পূর্ণ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: .............., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি। সাধারণত পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Z = {.........., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি} । 

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q যদি সহমৌলিক হয় এবং q ≠ 0, q ≠ 1 হয় তবে p/q আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: 1/2, 2/3, 5/6,- 5/2 ইত্যাদি। 
p < q হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। 
যেমন: 1/3, 2/3, 2/7, ......... ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং 3/2, 5/3, 7/2, 9/4, ............ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। 

মূলদ সংখ্যা (Rational Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q এবং q ≠ 0 হলে, আকারের সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। মূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Q =  {p/q | p,q ∈ Z এবং q ≠ 0, p ও q সহমৌলিক} । 

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): 
যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। অমূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
যেমন: π, √2, √3, √(5/2) ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: |x - 2| ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, |x| ≤ a হলে, -a ≤ x ≤ a

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:
|x - 2| ≤ 5
⇒ -5 ≤ x - 2 ≤ 5
⇒ -5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 (প্রতিটি পদের সাথে 2 যোগ করে)
⇒ -3 ≤ x ≤ 7

অসমতাটি থেকে দেখা যায় যে, x এর মান -3 এর সমান বা বড় এবং 7 এর সমান বা ছোট।

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 3

একই চাপের (AD) উপর দন্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোন সমান।

প্রশ্ন: ১ ইঞ্চি = কত সে.মি? 

সমাধান: 
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়),
১ গজ = ০.৯১৪৪ মি.(প্রায়)।
১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়),
১ কি.মি = ০.৬২ মাইল (প্রায়) এবং
১ মাইল = ১.৬১ কি.মি. (প্রায়)।

4x⁴-25x²+36
= (2x²)² - 2.2x.6 + (6)² - x²
= (2x²-6)² - x²
= (2x²-6+x)(2x²-6-x)
= (2x²+4x-3x-6)(2x²-4x+3x-6)
= {2x(x+2) - 3(x+2)}{2x(x-2) + 3(x-2)}
= (x+2)(2x-3)(x-2)(2x+3)

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার এবং গভীরতা ৪০ সে.মি । চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা কত লিটার? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার = (৩ × ১০০) সে.মি = ৩০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার প্রস্থ = ২ মিটার = (২ × ১০০) সে.মি = ২০০ সে.মি 
চৌবাচ্চার গভীরতা = ৪০ সে.মি 

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (৩০০ × ২০০ × ৪০) ঘন সে.মি 
= ২৪০০০০০ ঘন সে.মি 

১০০০ ঘন সে.মি = ১ লিটার 
∴ চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = ২৪০০০০০/১০০০ লিটার 
= ২৪০০ লিটার ।

প্রশ্ন: a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোন সংখ্যাটি জোড়?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a ও b উভয়ই বিজোড় সংখ্যা।

ধরি, a = 1 এবং b = 3 (উভয়ই বিজোড়)

এখন, প্রতিটি অপশনে মান বসাই:

ক) ab = 1 × 3 = 3 (বিজোড়)

খ) b + 2a + 2 = 3 + 2(1) + 2 = 3 + 2 + 2 = 7 (বিজোড়)

গ) a + b + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 (বিজোড়)

ঘ) 2a + 4b = 2(1) + 4(3) = 2 + 12 = 14 (জোড়)

∴ সঠিক উত্তর: ঘ) 2a + 4b

প্রশ্ন: a + b = √8 এবং a - b = √6 হলে, 8ab (a² + b²) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = √8 
এবং a - b = √6

এখন, 
8ab(a² + b²) 
= 4ab × 2(a² + b²) 
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²} 
= {(√8)² - (√6)²} × {(√8)² + (√6)²}
= (8 - 6) × (8 + 6) 
= 2 × 14 
= 28

যদি ক) a/p ≠ b/q হয়, তবে সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে।
এক্ষেত্রে অন্যন্য সমাধান হবে।
যেমনঃ x-y = 4 এবং x+y = 10 ; সমীকরণ জোট সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীলতার কারণ 1/1 ≠ -1/1
(আবার, সমীকরণজোটটির সমাধান (x, y) = (7, 3) যা অন্যন্য)

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 5 গুণ। ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = w
দৈর্ঘ্য = 5w
ক্ষেত্রফল = 5w × w = 5w²

প্রশ্নমতে,
5w² = 500
w² = 100
w = 10m

তাহলে,
দৈর্ঘ্য = 10 × 5 = 50m

∴দৈর্ঘ্য= 50m

গাণিতিক গড় সমান হতে হলে সংখ্যাত্রয়ীর যোগফল সমান হতে হবে।
∴৬+৮+১০=২৪ 
এবং ৭+৯+ক=২৪ 
বা,ক=৮