গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: |3x - 4| < 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ |3x - 4| < 5
⇒ -5 < 3x - 4 < 5
⇒ -5 + 4 < 3x < 5 + 4
⇒ - 1 < 3x < 9
⇒ - 1/3 < x < 9/3
⇒ - 1/3 < x < 3

∴ সমাধান হলো -1/3 < x < 3

প্রশ্ন: log₁₆x = 0.75 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₆x = 0.75 = 75/100
⇒ log₁₆x = 3/4
⇒ x = 16^3/4
⇒ x = (2⁴)^3/4
⇒ x = 2³ 
∴  x = 8

x² - y² + 4x + 4
= (x² + 4x + 4) - y²
= (x + 2)² - y²
= (x + 2 + y)(x + 2 - y)
= (x + y + 2)(x - y + 2)

প্রশ্ন: জালাল প্রতি ঘণ্টায় ৯ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে পারে। ৩৬ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে তার কত ঘণ্টা লাগবে?

সমাধান:
জালাল ৯ কি.মি. পথ অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
 জালাল ১ কি.মি. পথ অতিক্রম করে ১/৯ ঘণ্টায়
 জালাল ৩৬  কি.মি. পথ অতিক্রম করে (১ × ৩৬)/৯ ঘণ্টায়
= ৪ ঘণ্টায়

∴ নির্ণেয় সময় ৪ ঘণ্টা

১০০ টাকার নোট ক সংখ্যক ও ৫০ টাকার নোট খ সংখ্যক হলে, আমরা লিখতে পারি যে
১০০ক + ৫০খ = ২০০০
বা, ১০০ক = ২০০০ - ৫০খ
বা, ক = (২০০০ - ৫০খ)/১০০
খ = ২,৪, ৬, ------------, ৩৬, ৩৮ হলে, ক এর মান স্বাভাবিক সংখ্যা পাব।
কত প্রকারে তার অনুরোধ রক্ষা করা সম্ভব এর উত্তর অবশ্যই স্বাভাবিক সংখ্যায় দিতে হবে।
২,৪, ৬, ------------, ৩৬, ৩৮ পর্যন্ত মোট ১৯ টি সংখ্যা আছে। তাই ১৯ প্রকারে অনুরোধ রক্ষা করা সম্ভব।

খ = ২ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ২)/১০০ = ১৯
খ = ৪ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৪)/১০০ = ১৮
খ = ৬ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৬)/১০০ = ১৭
-----------------------------------------------
-----------------------------------------------
খ = ৩৬ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৩৬)/১০০ = ২
খ = ৩৮ হলে, ক = (২০০০ - ৫০ × ৩৮)/১০০ = ১

প্রশ্ন: - 3 < x < 11 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = {11 + (- 3)}/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 3 < x < 11
⇒ - 3 - 4 < x - 4 < 11 - 4
⇒ - 7 < x - 4 < 7
⇒ |x - 4| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 4| < 7

ধরি,
রহিমের বয়স = ক বছর
∴ করিমের বয়স = (ক - ৩) বছর।
আফজালের বয়স = (ক - ৩ - ২) বছর।
= (ক - ৫) বছর।
এবং মুমিনের বয়স = (ক - ৩ + ৫) বছর।
= (ক + ২) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক + ২ = ৫২
∴ ক = ৫০
∴ আফজালের বয়স = (৫০ - ৫) বছর।
= ৪৫ বছর।

ক্রয়মূল্য = (১০০ × বিক্রয়মূল্য)/(১০০ + লাভের শতকরা হার)
= (১০০ × ৫৬০)/(১০০+১০) = ৫৬০০০/১১০ = ৫০৯.১০ টাকা (প্রায়)

২ ও ৩ এর ভিতরে অসংখ্য সংখ্যা আছে( যেমনঃ 2.1, 2.11, 2.111 ................)

যুক্তিঃ 16x² + 16x + 2
= (4x)² + 2.4x.2 + (2)² - 2
= (4x + 2)² - 2
সুতরাং, 2 যোগ করতে হবে।

প্রশ্ন: যদি 3^x + 3^x + 3^x = 9⁹ হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^x + 3^x + 3^x = 9⁹
⇒ 3^x(1 + 1 + 1) = (3²)⁹
⇒ 3^x × 3 = 3¹⁸
⇒ 3^{x + 1} = 3¹⁸
⇒ x + 1 = 18
⇒ x = 18 - 1
∴ x = 17

(7^{n + 2} + 35×7^{n - 1})/(6 × 7ⁿ)
= {7ⁿ.7² + (5 × 7) × 7^{n - 1}}/(6 × 7ⁿ)
= (49 × 7ⁿ + 5 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= (54 × 7ⁿ)/(6 × 7ⁿ)
= 9

প্রশ্নমতে,
(p(1 + r)ⁿ -p) - pnr
৫৩৬৮ - ৪০০০ = ১৩৬৮

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

ক) ৫০৪ ⇒ ৫ + ০ + ৪ = ৯ (বিভাজ্য)
খ) ১৪৭ ⇒ ১ + ৪ + ৭ = ১২ (বিভাজ্য)
গ) ৫১৩ ⇒ ৫ + ১ + ৩ = ৯ (বিভাজ্য)
ঘ) ২৫১ ⇒ ২ + ৫ + ১ = ৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)

∴ ২৫১ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: f(x) = x² - 7x + 12 এবং f(x) = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​f(x) = x² - 7x + 12
​
​এখন,
​f(x) = 0
​x² - 7x + 12 = 0
​= x² - 3x - 4x + 12 = 0
​= x(x - 3) - (x - 3) = 0
​= (x - 3)(x - 4) = 0
∴ ​x = 3, 4

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ এর গসাগু।
∴ এখানে, ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ এর গসাগু = ৩
∴নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩

প্রশ্ন: secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x .....(1)

এখন, 
⇒ secθ - cosθ = 14
⇒ secθ - (1/secθ) = 14   ; [cosθ = 1/secθ]
⇒ (sec²θ - 1)/secθ = 14
⇒ sec²θ - 1 = 14secθ
⇒ tan²θ = x   ; [sec²θ - 1 = tan²θ, 14 secθ = x] 
∴ x = tan²θ

৩টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

প্রশ্ন:  

সমাধান:

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 5

প্রশ্ন: চার বন্ধুর গড় বয়স ২৮ বছর। একজন চলে গেলে বাকি তিনজনের গড় বয়স ২৬ বছর। চলে যাওয়া বন্ধুটির বয়স কত?

সমাধান:
চারজনের মোট বয়স = ২৮ × ৪ = ১১২ বছর
তিনজনের মোট বয়স = ২৬ × ৩ = ৭৮ বছর

∴ চলে যাওয়া বন্ধুটির বয়স = ১১২ - ৭৮ = ৩৪ বছর

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৭ সে.মি. হলে, উহার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = ৩ সে.মি.
উচ্চতা, h = ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= ২ × π × ৩(৩ + ৭)
= ৬π × ১০
= ৬০π বর্গ সে.মি.

∴ সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = ৬০π বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 10 মিটার কম এবং পরিসীমা 100 মিটার। পুকুরটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত মিটার? 

সমাধান: 

মনে করি,
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = x মিটার
এবং আয়তাকার পুকুরের প্রস্থ = y মিটার
প্রথম শর্তানুসারে, x + 10 = 2y .........(1) 
এবং দ্বিতীয় শর্তানুসারে, 2(x + y) = 100 .........(2)

এখন, 
(1) নং সমীকরণ হতে পাই, 
x = 2y - 10 ......... (3)

(2) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই, 
2(2y - 10 + y) = 100
বা, 2(3y - 10) = 100
বা, 6y - 20 = 100
বা, 6y = 100 + 20
বা, 6y = 120
বা, y = 120/6
∴ y = 20 

y-এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 2 × 20 - 10
বা, x = 40 - 10
∴ x = 30 

∴ পুকুরের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার এবং প্রস্থ = 20 মিটার।

আমরা জানি, n-তম পদের সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং, 25-তম পদের সমষ্টি = 25(25+1)/2
= 25 × 26/2
= 25 × 13
= 325

সমকোণী ত্রিভুজ পীথাগোরিয়ান টাপুল সমর্থন করে।
অর্থ্যাৎ,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
এখানে, ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
সুতরাং, খ) সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = 6, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 6
⇒ tanθ + cotθ = 6
⇒ (tanθ + cotθ)²= 6²
⇒ (tanθ + cotθ)² = 36

উভয় পাশে বর্গ করে,
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 36
⇒ tan²θ + cot²θ = 36 − 2  [∵ tanθ.cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 34