গাণিতিক যুক্তি

এখানে,
25² = 24² + 7²
∴ ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য হবে 7 সেমি.

দেওয়া আছে,
সবৃদ্ধিমূল, C = ১০৪০
সুদের হার, r = ৪/১০০
আসল, p = ?
সময়, n = ১০
আমরা জানি, C = P(1 + rn)
বা, ১০৫০ = P {১ + (৪/১০০) × ১০}
বা, ১০৫০ = P (১ + ৪/১০)
বা, ১০৫০ = P (১৪/১০)
বা, P = ১০৫০ × ১০/১৪
বা, P = ৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: x + y = 2 এবং x² + y² = 4 হলে x³ + y³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, 2² = 4 + 2xy
বা, 4 = 4 + 2xy
বা, 2xy = 0
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

প্রশ্ন: 18 এবং 72 এর গুণোত্তর গড় কোনটি? 

সমাধান:
গুণোত্তর গড়ের সূত্র: ⁿ√(a₁ × a₂ × ..... a_n)
এখানে a₁ = 18, a₂ = 72

গুণোত্তর গড় = √(18 × 72)
= √1296
= 36

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ৯০০ টাকায় একটি জিনিস ক্রয় করে ৪ মাস পর ৯৬৩ টাকায় বিক্রয় করল। তার বার্ষিক শতকরা কত লাভ হলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ৯০০ টাকা  
বিক্রয়মূল্য = ৯৬৩ টাকা  
সময় = ৪ মাস = ৪/১২ = ১/৩ বছর

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য  
= ৯৬৩ - ৯০০
= ৬৩ টাকা

এখন, 
৪ মাসে লাভ হয় = ৬৩ টাকা 
∴ ১ মাসে লাভ হয় = ৬৩/৪ টাকা
∴ ১২ মাসে লাভ হয় = (৬৩ × ১২)/৪ = ১৮৯ টাকা

বার্ষিক শতকরা লাভের হার = (বার্ষিক লাভ × ১০০)/মূলধন  
= (১৮৯ × ১০০)/৯০০  
= ১৮৯/৯
= ২১ টাকা

∴ বার্ষিক ২১% লাভ হয়েছে।

অথবা 
বার্ষিক লাভের হার = (লাভ × ১০০ × ১২)/(মূলধন × মাস সংখ্যা)  
= (৬৩ × ১০০ × ১২)/(৯০০ × ৪)  
= ৭৫৬০০/৩৬০০  
= ২১%

ধারাটি হচ্ছে = ৩^২ = ৯, ৬^২ = ৩৬, ৯^২ = ৮১, ১২^২ = ১৪৪
∴ এর পরবর্তী সংখ্যা হবে = ১৫^২ = ২২৫

প্রশ্ন: 250 টাকার 4% কত?

সমাধান:
250 টাকার 4% = 250 এর 4/100
= 10 টাকা

log₃√x = -1 
বা, √x = 3^-1
বা, √x = 1/3
∴ x = 1/9

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 6)
= (a + 1) (a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

যে কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂x)] = 1 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂[log₃(log₂x)] = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹ = 2
⇒ log₂x = 3² = 9
⇒ x = 2⁹ = 512
∴ x = 512

প্রশ্ন: আয়তাকার চতুর্ভুজের ভূমি ১২ একক ও উচ্চতা ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আয়তাকার চতুর্ভুজ বা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১২ × ৮
= ৯৬ বর্গ একক

পরিধি = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১২ + ৮) = ৪০ একক

ক্ষেত্রফল : পরিধি = ৯৬ : ৪০
= ২৪ : ১০
= ১২ : ৫
∴ ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত = ১২ : ৫

প্রশ্ন: B = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং C = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (B ∩ C) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {x ∈ N :  2 < x ≤ 6}
= {3, 4, 5, 6}

এবং C = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {2, 4, 6, 8}

∴ (B ∩ C) = {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {4, 6}

∴ নির্ণেয় সেট = (4, 6}

√০.০০০০০৮৪১
= √(০.০০২৯ × ০.০০২৯)
= √(০.০০২৯)^২
= ০.০০২৯

এখানে পূর্ব রাশিঃউত্তর রাশি = ৬ঃ১১
বা, পূর্ব রাশি/উত্তর রাশি = ৬/১১
বা, পূর্ব রাশি/৯৯ = ৬/১১
সুতরাং পূর্ব রাশি = ৫৪

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২:৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১২ : ৪০ + ৩ ঘণ্টা = ৩ : ৪০ টায়

প্রশ্ন: 3^{p + 3} = 81 হলে, 10^{p - 3} = কত?

সমাধান:
3^{p + 3} = 81
বা, 3^{p + 3} = 3⁴
বা, p + 3 = 4
বা, p = 4 - 3
∴ p = 1

তাহলে,
10^{p - 3} = 10^{1 - 3} = 10^{- 2} = 1/10² = 1/100

Question: A square is drawn inside of a circle with a perimeter of 38π. What is the perimeter of that square?

Solution:
Circumference of the circle 2πr = 38π
r = 38π / 2π
r = 19
So, Diameter of a circle d = 2r
= 2 × 19
= 38
If the square’s side is a, its diagonal distance
d = a√2
⇒a = d / √2
⇒a = 38/√2
a = 19√2

So, perimeter 4a = 19√2 × 4
= 76√2

∴ Perimeter of a that square is  76√2

এখানে, ৪৪ = ৪৪ × ১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭

ত্রিভুজাকার প্রিজমের আয়তন = (1/2)abh = 40
⇒a × b × 10 = 80
⇒ 2 a² = 8
⇒ a = 2 সেমি
∴ b = 4 সেমি

প্রশ্ন: A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে। যদি A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হয়, তাহলে A এর লভ্যাংশ কত?

সমাধান:
A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে

A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭
মোট অনুপাতের যোগফল = ১৫

∴ A এর লভ্যাংশ = ২৭০০ এর ৩/১৫
= ১৮০ × ৩
= ৫৪০ টাকা 

∴ A এর লভ্যাংশ ৫৪০ টাকা।

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক = {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২ = ২১.৫

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৮টি লাল, ৭টি নীল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলো। বলটি লাল নয় এবং সবুজও নয়-এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট বল = ৮ + ৭ + ৬ = ২১টি
লাল নয় এবং সবুজও নয় 
অর্থাৎ, শুধু নীল বল। 
∴ নীল বলের সংখ্যা = ৭টি

আমরা জানি, 
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

∴ P(নীল বল) = ৭/২১ = ১/৩ ​

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - a² - 2ab - b² এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - a² - 2ab - b²
= 1 - (a + b)²
= (1)² - (a + b)²
= {1 + (a + b)} {1 - (a + b)}
= (1 + a + b) (1 - a - b)

প্রশ্ন: ABC এবং DEF ত্রিভুজে, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF। যদি AB = 4x - 2 এবং DE = 3x - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
ΔABC এবং ΔDEF এ, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF।

যেহেতু দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান, তাই বাহু-কোণ-বাহু (SAS) সর্বসমতার শর্ত অনুযায়ী,  △ABC এবং  △DEF সর্বসম।অর্থাৎ, △ABC≅△DEF

∴ AB = DE
⇒ (4x - 2) = (3x - 1)
∴ x = 1

প্রশ্ন: কোনো কলেজে ৬৫% শিক্ষার্থী গণিত এবং ৭৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে। কিন্তু ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭৫ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ কলেজে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৫%
শুধু গণিতে ফেল = (৩৫ - ১৫)% = ২০%
শুধু পদার্থবিজ্ঞানে ফেল = (২৫ - ১৫)% = ১০%
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = {১০০ - (২০ + ১০ + ১৫)}%
= ৫৫%

প্রশ্নমতে,
৫৫% = ২৭৫ জন
বা, ১% = ২৭৫/৫৫ জন 
বা, ১০০% = (২৭৫ × ১০০)/৫৫ জন 
= ৫০০ জন

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুনফল 20 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
20 এর চেয়ে বড় হওয়ার ঘটনা = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = 6 টি

∴ সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত ইভেন্টের সংখ্যা = ^৬C_২
 = ৬!/{২! × (৬ - ২)!} 
= ৬!/(২! × ৪!) 
= (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) 
= ১৫ টি 

প্রশ্ন: যদি a + b = 8 এবং ab = 7 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a – b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + b = 8
 এবং ab = 7

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a – b)²
= (a + b)³ – 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (8)³ – 3.8.7 + 4 (8² – 4.7) [মান বসিয়ে]
=512 - 168 + 4. (64 - 28)
= 512 - 168 + 4 × 36
= 512 - 168 + 144
= 488 

:. নির্ণেয় মান 488

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি ভগ্নাংশটি হলো,
x/(x + 2) ; [কারণ হর লব অপেক্ষা 2 বেশি]

প্রশ্নমতে,
লব ও হরের বর্গের পার্থক্য = 32
⇒ (x + 2)² - x² = 32
⇒ x² + 4x + 4 - x² = 32 
⇒ 4x + 4 = 32
⇒ 4x = 32 - 4
⇒ 4x = 28
⇒ x = 28/4
∴ x = 7
∴ লব = 7
∴ হর = x + 2 = 7 + 2 = 9

∴ ভগ্নাংশটি = 7/9​

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?

সমাধান: 
মনে করি,
শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা = ক জন 
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৪ জন করে বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক/৪) + ৩ 

আবার,
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক - ৬)/৩ 
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং,
(ক/৪) + ৩ = (ক - ৬)/৩
⇒ (ক + ১২)/৪ = (ক - ৬)/৩
⇒ ৪ক - ২৪ = ৩ক + ৩৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৩৬ + ২৪
⇒ ক = ৬০

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1

সুতরাং, a=1, b=1.

{(x^1/a)^{(a²-b²)/(a-b)}}^a/(a+b)
{(x^1/a)^{(a+b)(a-b)/(a-b)}}^a/(a+b)
(x^1/a)^{(a+b)a)/(a+b)}
x^a/a = x