গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ৩০ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩)
= ২ক/৩ ফুট 

প্রশ্নমতে, 
ক + (২ক/৩) = ৩০
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৩০
বা, ৫ক = ৯০
বা, ক = ৯০/৫
∴ ক = ১৮

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ১৮)/৩
= ১২ ফুট ।

দেওয়া আছে, xy = 2
∴ y = 2/x
এখন, x+2y = 4
⇒ x + 2.2/x = 4
⇒ x + 4/x = 4
⇒ x² + 4 = 4x
⇒ x² - 4x + 4 = 0
⇒ (x - 2)² = 0
∴ x = 2

ধরি, আগের বেতন ছিলো = x টাকা
প্রশ্নমতে,
x + x এর ৩০% = ১১০৫
বা, x + ৩০x/১০০ = ১১০৫
বা, ১৩০x/ ১০০ = ১১০৫
বা, ১৩x/১০ = ১১০৫
বা, x = (১১০৫ × ১০)/১৩ = ৮৫০ টাকা

প্রশ্ন: a² + b² = 13 এবং ab = 6 হলে, a⁴ + b⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
a² + b² = 13 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি = a⁴ + b⁴
= (a²)² + (b²)²
= (a² + b²)² - 2a²b²
= (a² + b²)² - 2(ab)²
= 13² - 2 × 6²
= 169 - 72
= 97

এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ১ / ৫ = ১ / ৫
এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ৩/ ১৫ = ১ / ৫
ধ্রুবক পদ দ্বয়ের অনুপাত = ৭ / ৩৫ = ১ / ৫
অতএব সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। কাজেই এর অসংখ্য সমাধান আছে।

১ কেজি পেয়ারার ক্ষতি = ৮০ - ৭৫ = ৫ টাকা
∴ ১৫০০ টাকা ক্ষতি হয় = ১৫০০/৫ = ৩০০ কেজি

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
20 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ²⁰C₁ = 20

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 20 - 1 = 19  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁹C₁ = 19

∴ মোট উপায় = 20 × 19 = 380

সুতরাং, ৩৮০ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি 1620° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ= (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 1620°
⇒ n - 2 = 1620°/180°
⇒ n - 2 = 9
∴ n = 11

√0.3 = 0.547,
1/3 = 0.333,
2/3 = 0.67

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 0.3

প্রশ্ন: একটি দোকানের গত বছরের মাসিক বিক্রয় ও এ বছরের মাসিক বিক্রয়ের অনুপাত ৫ : ৪। গত বছরের তুলনায় এ বছরের মাসিক বিক্রয় শতকরা কত হ্রাস পেয়েছে?

সমাধান:
গত বছরের বিক্রয় ও এ বছরের বিক্রয়ের অনুপাত ৫ : ৪
ধরি, গত বছরের বিক্রয় = ৫ক টাকা
এবং এই বছরের বিক্রয়= ৪ক টাকা
বিক্রয় হ্রাস পেয়েছে = (৫ক - ৪ক) টাকা = ১ক টাকা

∴ বিক্রয় শতকরা হ্রাস পেয়েছে = {(১ক/৫ক) × 100}%
= ২০%

প্রশ্ন: x³ + 2x²y - xy + y² - 5 এর পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
দেওয়া বহুপদী, 
x³ + 2x²y - xy + y² - 5
প্রতিটি পদ আলাদা করে দেখি, 
x³, 2x²y, - xy, y², - 5

সুতরাং, এখানে 5টি পদ আছে। 

প্রশ্ন: দৈবভাবে একটি দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা বাছাই করা হলে সেটি 18 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সংখ্যা পদ্ধতিতে দুই অংকের সংখ্যা আছে = 99 - 10 + 1 = 90 টি

18 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো- 18, 36, 54, 72, 90 অর্থাৎ 5 টি

∴ সম্ভাবনা = 5/90 = 1/18

1 থেকে 40 এর মধ্যে 32 এর চেয়ে বড় সংখ্যা হলো {33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,40} মোট 8 টি
∴টিকিটের নম্বর 32 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = 8/40 = 1/5

নিম্নে বর্ণিত উপায়ে কমিটিটি গঠন করা যায়-
1 জন চেয়ারম্যান 2 জন ভাইস চে. 16 জন সদস্য
1 ------------ 1 ------------ 3
সুতরাং নির্ণেয় কমিটির সংখ্যা = ¹C₁ × ²C₁ × ¹⁶C₃
= 1 × 2 × 560
= 1120

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে ৪২ লিটার রস আছে। আম ও কমলার অনুপাত ৪ : ৩। কমলার রস ৯ লিটার কমিয়ে দিলে নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, মোট মিশ্রণ ৪২ লিটার।
আম ও কমলার রসের অনুপাত = ৪ : ৩
অনুপাতের যোগফল = (৪ + ৩) = ৭

সুতরাং, আমের রসের পরিমাণ = (৪২ এর ৪/৭ অংশ)
= (৪২ × ৪)/৭
= ৬ × ৪
= ২৪ লিটার

এবং, কমলার রসের পরিমাণ = (৪২ এর ৩/৭ অংশ)
= (৪২ × ৩)/৭
= ৬ × ৩
= ১৮ লিটার

এখন, কমলার রস ৯ লিটার কমিয়ে দিলে,
নতুন পরিমাণ হবে = (১৮ - ৯) = ৯ লিটার।

আমের রসের পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে, অর্থাৎ ২৪ লিটার।

সুতরাং, নতুন অনুপাত হবে,
= ২৪ : ৯
= ৮ : ৩

অতএব, নতুন অনুপাত হবে ৮ : ৩

আমরা জানি, ক্রমিক সমানুপাতে ১ম রাশি ✕ ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২,
যেখানে, ১ম রাশি = ৮, ৩য় রাশি = ৫১২

(২য় রাশি)^২ = ৮ × ৫১২
২য় রাশি = ৬৪

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 126 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 14 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 14 
= 7 × ভূমি 
 
প্রশ্নমতে, 
7 × ভূমি = 126
বা, ভূমি = 126/7 
∴ ভূমি = 18 গজ 

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 18 গজ । 

ধরি,
R এর আয় = a টাকা
∴ Q এর আয় = ১২০a/১০০ টাকা
এবং p এর আয় = (১২০a×১২৫)/(১০০×১০০)

∴ আয়ের অনুপাত = {(১২০a×১২৫)/(১০০×১০০)} : (১২০a/১০০) : a
= (১২০×১২৫) : (১২০×১০০) : (১০০×১০০)
= ১৫০ঃ১২০ঃ১০০
=১৫ঃ১২ঃ১০

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(x/২) + ৬ = ২x/৩ 
বা, (২x/৩) - (x/২) = ৬ 
বা, (৪x - ৩x)/৬ = ৬ 
বা, x/৬ = ৬ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬। 

প্রদত্ত অপশনগুলোতে ^৩√৮ একটি মূলদ সংখ্যা।
= (২^৩)^(১/৩)
= ২^(৩/৩)
= ২

দেওয়া আছে,
ক : খ = ২ : ৩
= ৮ : ১২ (৪ দ্বারা গুণ করে)
এবং খ : গ = ৪ : ৫
= ১২ : ১৫
= (৩ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং ক : খ : গ = ৮ : ১২ : ১৫
এবং ক : গ = ৮ : ১৫।

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি মূলদ হবে যদি-

সমাধান: 
ax² + bx + c = 0 সমীকরণের b² – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে।
এটি দ্বারা সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করা হয়।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা হয় তাহলে,

• b² – 4ac ; পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b² - 4ac > 0; কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b² – 4ac = 0; হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
• b² – 4ac < 0; ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: ২০০২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. নয়?

সমাধান:
১৩, ৭৭, ৯১, ১৪৩ - সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু = ১০০১

অন্যান্য সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. ২০০২।