গাণিতিক যুক্তি

Question: If two-fifth of one-seventh of a number is 16, then three-eighth of that number is ?

Solution:
105

Suppose,
The number is x.
According to the question:

Now,


∴ That number is 105

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2.5
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√2.5)² বর্গসেমি
= 2 × 25 বর্গসেমি
= 50 বর্গসেমি

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি হলে বক্রতল ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 5 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
=  2 π × 3 × 5
= 30π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30π বর্গ সে.মি।

দেওয়া আছে,
4^x+1 = 32
⇒ (2²)^x+1 = 2⁵
⇒ 2^2x+2 = 2⁵
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে? 

সমাধান: 
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।

অন্য অপশনগুলো- 
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।

বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।

তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।

³√{³√(x³)}
= ³√(x^{3 × 1/3})
= x^1/3

দেওয়া আছে, x = 5^m+1 এবং y = 5^m-1
এখন, log₅x/y
= log₅5^m+1/5^m-1
= log₅5^m+1-m+1
= log₅5²
= 2log₅5
= 2 × 1
= 2

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: ৫২ জন ছাত্রের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর আরও ৩২ জন ছাত্র আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে? 

সমাধান: 
দিন বাকী আছে (২৬ - ৫) দিন
= ২১ দিন 

এবং মোট ছাত্র সংখ্যা হলো = (৫২ + ৩২) জন
= ৮৪ জন 

এখন,
৫২ জন ছাত্রের চলে = ২১ দিন 
∴ ১ জন ছাত্রের চলে = (২১ × ৫২) দিন 
∴ ৮৪ জন ছাত্রের চলে = (২১ × ৫২)/৮৪ দিন 
= ১৩ দিন। 

অতএব, অবশিষ্ট খাদ্য ৮৪ জন ছাত্রের ১৩ দিন চলবে।

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ৪ : ৭ , খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক : খ = ৪ : ৭ 
= (৪ × ৫) : (৭ × ৫) 
= ২০ : ৩৫ 

আবার, 
খ : গ = ৫ : ৭ 
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭) 
= ৩৫ : ৪৯ 

∴ ক : খ : গ = ২০ : ৩৫ : ৪৯ ।

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 2 এবং log⁡_ac = 3 হয়, তবে log⁡_a(b²c) এর মান কত?

সমাধান:
লগারিদমের নিয়ম অনুসারে, 
log⁡_a(MN) = log⁡_aM + log_⁡aN
log_⁡a(b^x) = xlog_⁡ab

এখন,
log_⁡a(b²c) = log_⁡a(b²) + log_⁡a(c)
= 2log_a​(b) + log⁡_a(c)
= 2 × 2 + 3 [মান বসিয়ে]
= 4 + 3
= 7

∴ log⁡_a(b²c) এর মান = 7

a³ - 7a + 6 = a³ - a² + a² - a - 6a + 6  = a²(a - 1) + a(a -1) - 6(a - 1) = (a - 1)(a² + a - 6) = ( a - 1)(a² + 3a - 2a - 6) = (a - 1){a(a + 3) - 2(a + 3)} = (a - 1)(a + 3)(a - 2)

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + ................. ধারাটির কততম পদ 48?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 – 4 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n – 1)d
মনে করি,
n তম পদ = 48
∴ a + (n – 1)d = 48
⇒ 4 + (n – 1) × 4 = 48
⇒ 4 + 4n – 4 = 48
⇒ 4n = 48
⇒ n = 48/4
⇒ n = 12

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুইটি পিঠ (H, T) এবং একটি ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6) থাকে।

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

সম্ভাব্য ঘটনাসমূহ:
(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6),
(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা:
(H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট অনুকূল ঘটনা = 3

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা / মোট ঘটনা সংখ্যা
= 3/12
= 1/4

প্রশ্ন: করিম বইয়ের দোকান থেকে একটি ইংরেজি বই ৯০ টাকায় ক্রয় করল। কিন্তু বইটির কভারে মূল্য দেওয়া ছিল ১৫০ টাকা। সে শতকরা কত টাকা কমিশন পেল?

সমাধান:
কমিশন = (১৫০ - ৯০) টাকা  
= ৬০ টাকা

১৫০ টাকায় কমিশন পেল = ৬০ টাকা  
১ টাকায় কমিশন পেল = ৬০/১৫০ টাকা  
১০০ টাকায় কমিশন পেল = (৬০ × ১০০)/১৫০ টাকা  
= ৪০ টাকা

সুতরাং, ৪০% কমিশন পেল।

প্রশ্ন: 6log5 - log 25 = কত?

সমাধান:
6log5 - log25
= 6log5 - log5²
= 6log5 - 2log5
= (6 - 2)log5
= 4log5
= log5⁴
= log625

সঞ্চয় = ২০ - ১৫
= ৫
আয় ২০ টাকা হলে সঞ্চয় ৫ টাকা।
আয় ১ টাকা হলে সঞ্চয় ৫/২০ টাকা।
∴ আয় ১০০ টাকা হলে সঞ্চয় = (৫ X ১০০) / ২০ টাকা।
= ২৫ টাকা।

প্রশ্ন: 5^{2x - 1} = 125^{x + 2} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 1} = 125^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = (5³)^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3(x + 2)}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3x + 6}
⇒ 2x - 1 = 3x + 6
⇒ 2x - 3x = 6 + 1
⇒ - x = 7
∴ x = - 7

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ 

এখানে,
২ + ৩ = ৫
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, সংখ্যা দুটির গুণফল = (১২/৭)×(১/১৪) = ৬/৪৯.

প্রশ্ন: 729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম = log_√3729
= log_√33⁶
= 6log_√33
= 6log_√3(√3)²
= 6 × 2 × log_√3√3
= 12log_√3^√3
= 12 × 1
= 12

প্রশ্ন: যদি p + q = 7n এবং pq = 10n² হয়, তবে (p - q) এর মান কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে
p + q = 7n
pq = 10n²

আমরা জানি,
(p - q)² = (p + q)² - 4pq
⇒ (p - q)² = (7n)² - 4 × 10n²
⇒ (p - q)² = 49n² - 40n2
⇒ (p - q)² = 9n²
⇒ p - q = ±√(9n²)
∴  p - q = ± 3n

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = 7, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 7
⇒ tanθ + cotθ = 7
⇒ (tanθ + cotθ)²= 7²    [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ (tanθ + cotθ)² = 49
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 49
⇒ tan²θ + cot²θ = 49 − 2  [∵ tanθ.cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 47

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৬৮০ টাকা এবং ৬ বছরে সুদে-আসলে ৭২০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
৬ বছরের সুদ + আসল = ৭২০ টাকা  
৪ বছরে সুদ + আসল = ৬৮০ টাকা  

∴ ২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা  
∴ ১ বছরের সুদ = ৪০/২ টাকা  

∴ ৪ বছরের সুদ = (৪০ × ৪)/২ টাকা  
= ৮০ টাকা  

সময়, n = ৪ বছর  
আসল, P = ৬৮০ - ৮০ = ৬০০ টাকা  

আমরা জানি,  
I = Pnr
বা, r = I/Pn  
বা, r = (৮০ × ১০০)/(৬০০ × ৪)  
∴ r = ৩.৩৩%

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 · 25 + 1)}/6
= (25 · 26 · 51)/6
= 5525

৪/২৭ = ০.১৫
৭/৩৬ = ০.১৯
১১/৪৫ = ০.২৪
২/৯ = ০.২২
সুতরাং অপশনগুলোর মধ্যে ৪/২৭ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

প্রশ্ন: 6 ≤ 2q + 3 < 15 অসমতাটির সমাধান হবে:

সমাধান:
6 ≤ 2q + 3 < 15
⇒ 6 - 3 ≤ 2q + 3 - 3 < 15 - 3
⇒ 3 ≤ 2q < 12
⇒ 3/2 ≤ q < 12/2
⇒ 3/2 ≤ q < 6

∴ অসমতাটির সমাধান = [3/2, 6)

প্রশ্ন: cos(nπ/2) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি? 

সমাধান: 
অনুক্রমটি হলো, cos(nπ/2) ; যেখানে n = 1, 2, 3, 4, …

এখন, 
n = 1 হলে cos(1 × π/2) = cos(π/2) = 0
n = 2 হলে cos(2 × π/2) = cos(π) = - 1
n = 3 হলে cos(3 × π/2) = cos(3π/2) = 0
n = 4 হলে cos(4 × π/2) = cos(2π) = 1
n = 5 হলে cos(5 × π/2) = cos(5π/2) = 0
..............................................................

সুতরাং, তৃতীয় পদ (n = 3) এর মান = cos(3π/2) = 0

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 22 মিটার হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr = 22
⇒ r = 22/(2π)
⇒ r = 22/{2 × (22/7)}
⇒ r = (22 × 7)/(2 × 22)
∴ r = 7/2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
= π × (7/2)² বর্গমিটার
= (49/4)π বর্গমিটার

প্রশ্ন: ক ও খ এর মূলধন সমান, কিন্তু গ এর মূলধন তাদের থেকে ২০% বেশি। মোট ৩৬০ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট লাভ = ৩৬০ টাকা

ধরি,
(ক ও খ) প্রত্যেকের মূলধন  = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = x + x এর ২০% = x + (২০/১০০)x
= ৬x/৫ টাকা

∴ মোট মূলধন = x + x + (৬x/৫) = ১৬x/৫ টাকা

 ∴ গ এর লাভ = (৬x/৫)/(১৬x/৫) × ৩৬০
= (৬x/৫) × (৫/১৬x)  × ৩৬০ 
= (৩/৮) × ৩৬০ 
= ১৩৫ টাকা

∴ গ এর লাভ = ১৩৫ টাকা

ট্রেনটি ৬০ × ৬০ সেকেন্ডে যায় ৪৮ × ১০০০ মিটার
⸫ ট্রেনটি ৩০ সেকেন্ডে যায় (৪৮ × ১০০০ × ৩০)/(৬০ × ৬০) মিটার
= ৪০০ মিটার
⸫ ট্রেনটি দৈর্ঘ্য (৪০০ - ২২০) মিটার
= ১৮০ মিটার