গাণিতিক যুক্তি

x - y = 3
(x - y)² = 9
বা, x² + y² - 2xy = 9
বা, 17 - 2xy = 9
2xy = 17 - 9 = 8
∴ xy = 4 = 4.1
∴ x = 4, y = 1 হলে
x - y = 3

প্রশ্ন: 3^{log₃4 + log₃5} এর মান কত?

সমাধান:
3^{log₃4 + log₃5}
= 3^{log₃(4 × 5)}
= 3^log₃(20)
= 20 
আমরা জানি, a^{log_ab = b}

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৯২ বছর হয়। ৬ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৩। ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
বর্তমানে,
পিতার বয়স = x বছর  
পুত্রের বয়স = y বছর  

দেওয়া আছে,  
x + y = ৯২ বছর.........(i)

৬ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৩  
তাহলে,  
(x - ৬)/(y - ৬) = ৫/৩  
বা, ৩(x - ৬) = ৫(y - ৬)  
বা, ৩x - ১৮ = ৫y - ৩০  
বা, ৩x = ৫y - ১২  
∴ x = (৫y - ১২)/৩.........(ii)

(ii) সমীকরণটি (i)-এ বসাই:  
(৫y - ১২)/৩ + y = ৯২  
বা, ৫y - ১২ + ৩y = ২৭৬  
বা, ৮y = ২৮৮  
∴ y = ৩৬

y এর মান (i) নং এ বসাই,  
∴ x = ৯২ - ৩৬ = ৫৬

৮ বছর পর,  
পিতার বয়স = ৫৬ + ৮ = ৬৪  
পুত্রের বয়স = ৩৬ + ৮ = ৪৪  

∴ ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ৬৪ : ৪৪ = ১৬ : ১১

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা কত হার সরল সুদে ৫০০০ টাকা ৮ বছরে সুদে-আসলে ১০০০০ টাকা হবে?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৫০০০ টাকা
সুদ-আসল, A = ১০০০০ টাকা
∴ সুদ, I = (১০০০০ - ৫০০০) = ৫০০০ টাকা
সময়, n = ৮ বছর

আমরা জানি,
I = (P × n × r)/১০০
⇒ r = (I × ১০০)/(P × n)
⇒ r = (৫০০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৮)
⇒ r = ১০০/৮
∴ r = ১২.৫

∴ সুদের হার = ১২.৫%

কঃখ = ৪ঃ৭ = (৪ × ১০) ঃ (৭ × ১০) = ৪০ঃ৭০
খঃগ = ১০ঃ৭ = (১০ × ৭) ঃ (৭ × ৭) = ৭০ঃ৪৯
∴গঃখঃক = ৪৯ঃ৭০ঃ৪০ 

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা 6 মিটার এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মিটার এবং 10 মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল সূত্র:
A=1/2 × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা
= 1/2 × (12 + 10) × 6 
= 1/2 × (22) × 6 
= 22 × 3
= 66 বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল 66 বর্গমিটার

প্রশ্ন: log_y(1/64) = - 3 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
log_y(1/64) = - 3
⇒ y^{- 3} = 1/64 [log_b(a) = c হলে b^c = a]
⇒ y^{- 3} = 1/4³
⇒ y^{- 3}= 4^{- 3}
∴ y = 4

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১৭৭। মধ্যম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা ধরি
ক - ২, ক , ক + ২

এগুলোর যোগফল
⇒ (ক - ২) + ক + (ক + ২) = ১৭৭
⇒ ৩ক = ১৭৭
⇒  ক = ১৭৭/৩
∴ ক = ৫৯

∴ মধ্যম সংখ্যা = ৫৯

ফুটবল খেলতে পছন্দ করে না এমন ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৭০) = ৩০ জন।
হকি খেলতে পছন্দ করে না এমন ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৭৫) = ২৫ জন।
ক্রিকেট খেলতে পছন্দ করে না এমন ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৮০) = ২০ জন।
খেলা তিনটিই খেলতে পছন্দ করে না এমন ছাত্র সংখ্যা = (৩০ + ২৫ + ২০) = ৭৫ জন।
∴ খেলা তিনটি খেলতে পছন্দ করে এমন ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৭৫) = ২৫ জন।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৩৬ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
⇒ ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬
⇒ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৪
⇒ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (৯)^২
= ৮১ বর্গ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮১ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: 'MISSISSIPPI' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'MISSISSIPPI' শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর আছে।

এখানে,
M আছে 1 বার
I আছে 4 বার
S আছে 4 বার
P আছে 2 বার

আমরা জানি, যদি কোনো শব্দে n টি অক্ষরের মধ্যে একই অক্ষর যথাক্রমে a, b, c …… বার থাকে, তবে মোট সাজানোর উপায় = n! / (a! × b! × c! ……)

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায়
= 11! / (4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(4! × 4! × 2!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(24 × 2)
= 39916800/1152
= 34650

∴ মোট সাজানোর উপায় = 34650

প্রশ্ন:  যদি x = √5 + √3 হয়, তবে এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার টেল ও ছক্কার 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান; 
একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
{1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T} = 12টি 

মুদ্রার টেল ও ছক্কার ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার অনুকূল ফলাফল ={2T, 4T, 6T} = 3টি 

নির্ণেয় সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: cos60°.cos30° + sin60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2

প্রশ্ন: x²y³z, x³y²z⁴ এবং xy⁴z² এই তিনটি রাশির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x²y³z = x. x. y. y. y. z
২য় রাশি = x³y²z⁴ = x. x. x. y. y. z. z. z. z
৩য় রাশি = xy⁴z² = x. y. y. y. y. z. z

এখানে,
x, y এবং z গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে x³, y⁴ এবং z⁴

∴ ল.সা.গু = x³y⁴z⁴

মনে করি,
প্রথম জন পাবে ক টাকা
দ্বিতীয় জন পাবে খ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক + খ = ৫০০০ টাকা --- (১)
ক = ৪খ --- (২)

সমাধান করলে, ক = ৪০০০ এবং খ = ১০০০

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১৫ ও ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চার অর্ধেক পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ
৩য় নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ

∴ তিনটি নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/১০ + ১/১৫ + ১/১২) অংশ
= (৬ + ৪ + ৫)/৬০ অংশ
= ১৫/৬০ অংশ
= ১/৪ অংশ

তিনটি নল দ্বারা,
 ১/৪ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৪) ঘণ্টায়
∴ ১/২ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৪)/২ ঘণ্টায়
= ২ ঘণ্টায়

৫,০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা ক্ষেত্রে সংখ্যাগুলো চার অংকের হবে,
এবং ১ম অংকে ৫ অথবা ৬ নির্দিষ্ট করতে হবে?
∴ ১ম অংকটি পূর্ণ করা যায় = ^২p_১ = ২ উপায়ে।
অবশিষ্ট ৩টি ঘর পূর্ণ করা যায় = ৩! = ৬ উপায়ে।
∴ সংখ্যা তৈরি করা যাবে = ২ × ৬ = ১২টি

2x = 3y
∴ x = 3y/2
আবার,
3x - 2y = 5
বা, 3(3y/2) - 2y = 5
বা, 9y - 4y = 10
বা, 5y = 10
∴ y = 2
এবং x = 3

প্রশ্ন: ১৫, ২৫ এবং ৪০ এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১৫ = ৩ × ৫
২৫ = ৫ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫ 
তিনটি সংখ্যার মধ্যে শুধু ৫-ই একটি মাত্র সাধারণ গুণনীয়ক 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫ । 

প্রশ্ন: 3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 3x - 5 < 13
⇒ 3x < 13 + 5
⇒ 3x < 18
⇒ x < 18/3
∴ x < 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে তিনগুণ করে তার থেকে 15 বিয়োগ করা হলো। উক্ত ফলাফলকে 4 দ্বারা ভাগ করলে 9 পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নানুসারে, 
(3x - 15)/4 = 9
⇒ 3x - 15 = 9 × 4
⇒ 3x - 15 = 36
⇒ 3x = 36 + 15
⇒ 3x = 51
⇒ x = 51/3
∴ x = 17

সুতরাং, সংখ্যাটি 17.

(3x/8)+(2x×(2/5)) = x+21
Or, (15x+32x)/40 = x+21
Or, 47x-40x = 840
Or, 7x = 840
Or, x = 120
সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশ= (3/5)×120 = 72

প্রশ্ন: ৩/৫ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ৪/৫ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
(৩ + x)/(৫ + x) = ৪/৫
বা, ১৫ + ৫x = ২০ + ৪x 
বা, ৫x - ৪x = ২০ - ১৫ 
∴ x = ৫

∴ সংখ্যাটি = ৫ । 

১ম টুকরার দৈর্ঘ্য = ৬০ এর ৩/(৩+৭+১০) = ৯ একক
২য় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৬০ এর ৭/(৩+৭+১০) = ২১ একক
এবং তয় টুকরার দৈর্ঘ্য = ৬০ - (৯+২১) = ৩০ একক।

a³ - 3a²b + 3ab² - b³
= (a - b)³
সুতরাং (a - b)³ এর ঘনমূল {(a - b)³}^1/3
= (a - b)^(3×1/3)
= a - b