গাণিতিক যুক্তি

দেওয়া আছে,
সবৃদ্ধিমূল, C = ১০৪০
সুদের হার, r = ৪/১০০
বয়স, n = ১৫
এবং আসল, p = ?

আমরা জানি,
C = P(1+rn)
বা, ১০৪০ = P {১ + (৪/১০০) × ১৫}
বা, ১০৪০ = P (১ + ৬০/১০০)
বা, ১০৪০ = P (১৬০/১০০)
বা, P = (১০৪০×১০০)/১৬০
বা, P = ৬৫০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ মিটার, ৯ মিটার এবং ১৩ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৩ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৭ মিটার
সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৯ মিটার এর অর্ধেক।

∴ দূরত্ব = ৯/২ = ৪.৫ মিটার

4x² + 4xy - 2y - 1
= (2x)² - 1² + 2y(2x - 1)
= (2x + 1)(2x - 1) + 2y(2x - 1)
= (2x - 1)(2x + 2y + 1)

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল -1।

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [-1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান -1।

এখানে প্রথম রাশি = ৫
দ্বিতীয় রাশি = ৭
তৃতীয় রাশি = ১০
আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
৪র্থ রাশি = (৭ × ১০) / ৫ = ১৪
∴ নির্ণেয় ৪র্থ সমানুপাতি = ১৪

প্রশ্ন: 10 - 2x ≥ x - 2 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
10 - 2x ≥ x - 2
⇒ - 2x - x ≥ - 2 - 10
⇒ - 3x ≥ - 12
∴ x ≤ 4 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 4]

(- ∞, 4] বলতে বোঝায় যে, 4 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: x⁴ ÷ x⁶ × x² = ?

সমাধান:
x⁴ ÷ x⁶ × x²
= x^{4 - 6} × x² (ভাগ থাকলে পাওয়ার বিয়োগ হয়)
= x^-2 × x²
= x^{-2 + 2} (গুণ থাকলে পাওয়ার যোগ হয়)
= x⁰ 
= 1

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। মাঠটি ঢাকতে ২ মিটার বাহু বিশিষ্ট কতগুলো বর্গাকার টাইলস প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গমিটার = ২৫০০ বর্গমিটার

আবার,
টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
∴ প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল = (২ × ২) বর্গমিটার = ৪ বর্গমিটার

সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা = ২৫০০/৪ টি
= ৬২৫ টি
∴ ৬২৫ টি টাইলস প্রয়োজন।

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 2x - 15 > 0
⇒ x² - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0 ............... (1) 

(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x - 5 > 0
∴ x > 5

এবং
x + 3 > 0
∴ x > - 3

আবার, 
(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ঋণাত্মক হয়।
x - 5 < 0
∴ x < 5
এবং
x + 3 < 0
∴ x < - 3
কিন্তু, 
- 3 < x < 5 এর জন্য 
(x - 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয় যা গ্রহণযোগ্য নয়। 
∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < - 3

∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < - 3} । 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়? 

সমাধান: 
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

 সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

ধরি ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি 2πr = 26π
∴ r = 13 cm
∴ ক্ষেত্রফল = πr²
= 169π

প্রশ্ন: যদি m একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

ক) 2m = 2 × 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
খ) m² + 1 = (1)² + 1 = 1 + 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
গ) 3m = 3 × 1 = 3 (বিজোড় সংখ্যা)
ঘ) 3m + 1 = (3 × 1) + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড় সংখ্যা)

যেহেতু 3m এর মান বিজোড় এসেছে,
∴ 3m হলো বিজোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: p² + q² = 6 এবং p - 1 = √2 হলে, q + 1 এর মান কত?

সমাধান:
p - 1 = √2
⇒ p = 1 + √2

p² + q² = 6
⇒ (1 + √2)² + q² = 6
⇒ 1 +  2√2 + 2 + q² = 6
⇒ 3 + 2√2 + q² = 6
⇒ q² = 3 - 2√2
⇒ q² = 2 -  2√2 + 1
⇒ q² = (√2)² -  2√2 + 1²
⇒ q² = (√2  - 1)²
⇒ q = √2 - 1
∴ q + 1 = √2

প্রশ্ন: ১২০ মিটার ও ৮০ মিটার দৈর্ঘ্যের দুটি ট্রেন প্রতি ঘন্টায় যথাক্রমে ১৮ কি.মি. ও ১২ কি.মি. বেগে চলছে। ট্রেন দুটি পাশাপাশি অবস্থানে থেকে একই স্থান থেকে একই দিকে একই সময়ে অগ্রসর হলে পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্য = ১২০ + ৮০ = ২০০ মিটার
আপেক্ষিক বেগ = ( ১৮ - ১২) কি.মি/ঘন্টা = ৬ কি.মি/ঘন্টা = ৬০০০ মি./ঘন্টা
∴ ২০০ মিটার অতিক্রম করতে সময় লাগবে:
২০০ × (১/৬০০০)
= ২০০/৬০০০
= ১/৩০ ঘণ্টা
= ৬০/৩০ মিনিট
= ২ মিনিট

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে (B')' = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 4, 6} = {1, 3, 5, 7}

এখন,
(B')' = U - B'
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1, 3, 5, 7}
= {2, 4, 6}

∴ (B')' = {2, 4, 6} = B

বি: দ্র: (B')' = B, অর্থাৎ কোনো সেটের ডাবল পরিপূরক সেই সেট নিজেই হয়।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sinθ = 1/cosecθ
cosecθ = 1/sinθ
cosθ = 1/secθ
secθ = 1/cosθ
tanθ = 1/cotθ
cotθ = 1/tanθ

ধরি, একটি সংখ্যা = x
∴ অপর সংখ্যাটি = x এর ৩৫০% = ৩৫০x/১০০ = ৭x/২
সংখ্যা দুটির অনুপাত = x/(৭x/২) = ২/৭ = ২ঃ৭

a⁰ = 1
∴ n = 0

অনুপাত গুলোর সমষ্টি = (৩+১+২) = ৬
সুতরাং, বাঁশটির ২/৬ অংশ নীল রং করা হয়েছিল
∴ ৬০ এর ২/৬ = ২০ ফুট

প্রশ্ন: 2a² - 9a - 35 এবং a² - 4a - 21 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² - 9a - 35 
= 2a²  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

a² - 4a - 21
= a² - 7a + 3a - 21
= a(a - 7) + 3(a - 7)
= (a - 7)(a + 3)

(x² + y²)² = (x² - y²)² + ৪ . x² . y²
⇒ ১৩^২ = (x² - y²)² + ৪.৬^২
⇒ (x² - y²)² = ১৬৯ - ১৪৪
= ২৫
∴ x² - y² = 5

∴ x² - y² = ৫ …… (১)
x² + y² = ১৩ …… (২)

(১) নং + (২) নং দ্বারা পাই,
2x² = ১৮
বা, x² = ৯
∴ x = ±৩

(২) নং - (১)নং দ্বারা পাই,
2y² = ৮
বা, y² = ৪
∴ y = ±২
∴ xy > 0

∴ x, y একই চিহ্ন বিশিষ্ট হবে।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × (a + 11d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৭টি লাল, ৯টি কালো এবং ৬টি সাদা বল আছে। এলোমেলো ভাবে ১টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে লাল আছে = ৭টি 
বাক্সে  কালো আছে = ৯টি 
সাদা বল আছে = ৬টি 

∴ মোট বল = (৭ + ৯ + ৬)টি  = ২২ টি 

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২২ = ৩/১১  
বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/২২

∴ বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা  = (৩/১১) + (৭/২২)
= (৬ + ৭)/২২
= ১৩/২২

সুতরাং, বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা ১৩/২২।

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭/৫ বছর ও ৩ বছর ছিল।
তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৫+৩) বছর = ২৮ বছর এবং মেয়ের বয়স = (৩+৩) বছর = ৬ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (২৮+৫) বছর = ৩৩ বছর এবং (৬+৫) বছর = ১১ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৩ঃ১১
= ৩ঃ১

প্রশ্ন: A = 40° হলে cos(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 40°

এখন,
cos(3A/2)
= cos{(3 × 40°)/2}
= cos60°
= 1/2